2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练14　导数与函数的单调性

2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练14　导数与函数的单调性

课时分层训练(十四)　导数与函数的单调性 ‎(对应学生用书第227页)‎ A组　基础达标 一、选择题 ‎1．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是(　　)‎ A．(－∞，1]　　　　　 B．[1，＋∞)‎ C．(－∞，0] D．[0，＋∞)‎ D　[∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex－1，令f′(x)≥0，得ex－1≥0，即x≥0，故f(x)的单调递增区间是[0，＋∞)．]‎ ‎2．已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．]‎ ‎3．若幂函数f(x)的图像过点，则函数g(x)＝exf(x)的单调递减区间为(　　) ‎ ‎【导学号：79140078】‎ A．(－∞，0) B．(－∞，－2)‎ C．(－2，－1) D．(－2,0)‎ D　[设幂函数f(x)＝xα，因为图像过点，所以＝，α＝2，所以f(x ‎)＝x2，故g(x)＝exx2，令g′(x)＝exx2＋2exx＝ex(x2＋2x)＜0，得－2＜x＜0，故函数g(x)的单调递减区间为(－2,0)．]‎ ‎4．已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如图2112所示，则该函数的图像是(　　)‎ 图2112‎ B　[由y＝f′(x)的图像知，y＝f(x)在[－1,1]上为增函数，且在区间[－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1]上增长速度越来越慢．]‎ ‎5．(2017·安徽二模)已知f(x)＝，则(　　)‎ A．f(2)＞f(e)＞f(3) B．f(3)＞f(e)＞f(2)‎ C．f(3)＞f(2)＞f(e) D．f(e)＞f(3)＞f(2)‎ D　[f(x)的定义域是(0，＋∞)，‎ f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝e.‎ 所以当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，故x＝e时，f(x)max＝f(e)＝，而f(2)＝＝，f(3)＝ ‎＝，所以f(e)＞f(3)＞f(2)，故选D.]‎ 二、填空题 ‎6．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间为________．‎ ‎(2，＋∞)　[函数f(x)＝(x－3)ex的导数为f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)＞0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)ex＞0，解得x＞2.]‎ ‎7．已知函数f(x)＝ax＋ln x，则当a＜0时，f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________．‎ 　　[由已知得f(x)的定义域为(0，＋∞)；当a＜0时，因为f′(x)＝a＋＝，所以当x≥－时，f′(x)≤0，当0＜x＜－时，f′(x)＞0，所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.]‎ ‎8．若函数f(x)＝－x3＋x2＋2ax在上存在单调递增区间，则a的取值范围是________. ‎ ‎【导学号：79140079】‎ 　[对f(x)求导，得f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－2＋＋2a.‎ 当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a.‎ 令＋2a＞0，解得a＞－，‎ 所以a的取值范围是.]‎ 三、解答题 ‎9．已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的单调区间．‎ ‎[解]　(1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，‎ 由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x，得f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝＋－ln x－，则f′(x)＝，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.‎ 因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．‎ 当x∈(0,5)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．‎ 所以f(x)的单调减区间为(0,5)，单调增区间为(5，＋∞)．‎ ‎10．(2017·河南新乡第一次调研)已知函数f(x)＝ex－x2＋2ax.‎ ‎(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；‎ ‎(2)若f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)∵f′(x)＝ex－2x＋2，∴f′(1)＝e，‎ 又f(1)＝e＋1，‎ ‎∴所求切线方程为y－(e＋1)＝e(x－1)，即ex－y＋1＝0.‎ ‎(2)f′(x)＝ex－2x＋2a，‎ ‎∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)≥0在R上恒成立，‎ ‎∴a≥x－在R上恒成立，令g(x)＝x－，‎ 则g′(x)＝1－，令g′(x)＝0，则x＝ln 2，‎ 在(－∞，ln 2)上，g′(x)＞0；在(ln 2，＋∞)上，g′(x)＜0，‎ ‎∴g(x)在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减，‎ ‎∴g(x)max＝g(ln 2)＝ln 2－1，∴a≥ln 2－1，‎ ‎∴实数a的取值范围为[ln 2－1，＋∞)．‎ B组　能力提升 ‎11．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)＜0，设a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则(　　)‎ A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a C　[依题意得，当x＜1时，f′(x)＞0，f(x)为增函数；‎ 又f(3)＝f(－1)，且－1＜0＜＜1，‎ 因此有f(－1)＜f(0)＜f，‎ 即有f(3)＜f(0)＜f，c＜a＜b.]‎ ‎12．(2017·安徽江淮十校第三次联考)设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a ‎＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．1＜a≤2 B．a≥4‎ C．a≤2 D．0＜a≤3‎ A　[易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－，由f′(x)＝x－＜0，解得0＜x＜3.因为函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，所以解得1＜a≤2，选A.]‎ ‎13．若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围为________. ‎ ‎【导学号：79140080】‎ 　[∵f′(x)＝6x2－6mx＋6，‎ 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，‎ 即x2－mx＋1≥0恒成立，∴m≤x＋恒成立．‎ 令g(x)＝x＋，g′(x)＝1－，‎ ‎∴当x＞2时，g′(x)＞0，即g(x)在(2，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴m≤2＋＝.]‎ ‎14．已知函数f(x)＝x2＋aln x.‎ ‎(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调递减区间；‎ ‎(2)若函数g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上单调，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，当a＝－2时，f′(x)＝2x ‎－＝，由f′(x)＜0得0＜x＜1，故f(x)的单调递减区间是(0,1)．‎ ‎(2)由题意得g′(x)＝2x＋－，函数g(x)在[1，＋∞)上是单调函数．‎ ‎①若g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数，则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x)＝－2x2，‎ ‎∵φ(x)在[1，＋∞)上单调递减，‎ ‎∴φ(x)max＝φ(1)＝0，∴a≥0.‎ ‎②若g(x)为[1，＋∞)上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能．‎ ‎∴实数a的取值范围为[0，＋∞)．‎