2020届二轮复习“立体几何”专题提能课课时作业(全国通用)

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2020届二轮复习“立体几何”专题提能课课时作业(全国通用)

课时跟踪检测(九) “立体几何”专题提能课 A组——易错清零练 ‎1.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )‎ A.12          B.18‎ C.24 D.30‎ 解析:选C 由三视图知,该几何体是一个长方体的一半再截去一个三棱锥后得到的,如图所示,该几何体的体积V=×4×3×5-××4×3×(5-2)=24,故选C.‎ ‎2.如图,一个三棱锥的三视图均为直角三角形.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为(  )‎ A.4π         B.16π C.24π       D.25π 解析:选C 由三视图知该几何体是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥,三条侧棱长分别为2,2,4,将该三棱锥补成一个长方体,可知该三棱锥的外接球直径就是长方体的体对角线,所以外接球直径2R==2,则R=,故该球的表面积为4πR2=24π,故选C.‎ ‎3.《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示,俯视图中间的实线平分矩形的面积,则该“堑堵”的侧面积为(  )‎ A.2 B.4+2 C.4+4 D.4+6 解析:选C 由三视图知,该几何体是直三棱柱ABCA1B‎1C1,其中AB=AA1=2,BC=AC=,∠C=90°,其直观图如图所示,侧面为三个矩形,故该“堑堵”的侧面积S=(2+2)×2=4+4,故选C.‎ ‎4.正方体的8个顶点中,有4个恰是正四面体的顶点,则正方体与正四面体的表面积之比为________.‎ 解析:如图,设正方体的棱长为a,则正方体的表面积为S1=‎6a2.‎ 正四面体PABC的边长为=a,则其表面积为S2=4××a×a×sin 60°=‎2a2.‎ 所以正方体与正四面体的表面积之比为S1∶S2=‎6a2∶‎2a2=∶1.‎ 答案:∶1‎ B组——方法技巧练 ‎1.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(  )‎ A.6 B.8‎ C.10 D.12‎ 解析:选D 根据题中所给的三视图,可以还原几何体,如图所示.‎ 该几何体可以将凸出的部分补到凹进去的地方成为一个长、宽、高分别是3,2,2的长方体,所以该几何体的体积为2×2×3=12,故选D.‎ ‎2.圆锥的母线长为L,过顶点的最大截面的面积为L2,则圆锥底面半径与母线长的比的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选D 设圆锥的高为h,过顶点的截面的顶角为θ,则过顶点的截面的面积S=L2sin θ,而0r≥Lcos 45°=L,所以≤<1.‎ ‎3.在长方体ABCDA1B‎1C1D1中,AB=AD=2,AA1=1,则点B到平面D‎1AC的距离等于________.‎ 解析:如图,连接BD1,易知D1D就是三棱锥D1ABC的高,AD1=CD1=,AC=2,取AC的中点O,连接D1O,则D1O⊥AC,所以D1O==.‎ 设点B到平面D‎1AC的距离为h,则由VBD‎1AC=VD1ABC,即S△D‎1AC·h=S△ABC·D1D,又S△D‎1AC=D1O·AC=××2=,S△ABC=AB·BC=×2×2=2,所以h=.‎ 答案: ‎4.如图,侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B‎1C1的底面ABC位于平行四边形ACDE中,AE=2,AC=AA1=4,∠E=60°,点B在线段ED上.‎ ‎(1)当点B在何处时,平面A1BC⊥平面A1ABB1;‎ ‎(2)点B在线段ED上运动的过程中,求三棱柱ABCA1B‎1C1表面积的最小值.‎ 解:(1)由于三棱柱ABCA1B‎1C1为直三棱柱,则AA1⊥平面ABC,因为BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC.而AA1∩AB=A,只需BC⊥平面A1ABB1,即AB⊥BC,就有“平面A1BC⊥平面A1ABB‎1”‎.‎ 在平行四边形ACDE中,‎ 因为AE=2,AC=AA1=4,∠E=60°.‎ 过B作BH⊥AC于H,则BH=.‎ 若AB⊥BC,有BH2=AH·CH.‎ 由AC=4,得AH=1或3.‎ 两种情况下,B为ED的中点或与点D重合.‎ ‎(2)三棱柱ABCA1B‎1C1的表面积等于侧面积与两个底面积之和.‎ 显然三棱柱ABCA1B‎1C1其底面积和平面A1ACC1的面积为定值,只需保证侧面A1ABB1和侧面B1BCC1面积之和最小即可.‎ 过B作BH⊥AC于H,则BH=.‎ 令AH=x,则侧面A1ABB1和侧面B1BCC1面积之和等于4(AB+BC)=4[+].‎ 其中+可以表示动点(x,0)到定点(0,-)和(4,)的距离之和,当且仅当x ‎=2时取得最小值.所以三棱柱的表面积的最小值为2××4×+42+4×2=4+8+16.‎ ‎5.(2019届高三·宁波十校联考)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E为CD中点.把△ADE沿AE翻折,使得平面ADE⊥平面ABCE.‎ ‎(1)求证:AD⊥BE;‎ ‎(2)求BD与平面DEC所成角的正弦值.‎ 解:(1)证明:∵在矩形ABCD中,AD=1,AB=2,E为CD中点,‎ ‎∴AE==EB,则AE2+BE2=AB2,‎ ‎∴BE⊥AE.‎ ‎∵平面ADE⊥平面ABCE,平面ADE∩平面ABCE=AE,‎ ‎∴BE⊥平面ADE,∴AD⊥BE.‎ ‎(2)法一:取AE的中点O,连接DO,则DO⊥AE.‎ ‎∵平面ADE⊥平面ABCE,平面ADE∩平面ABCE=AE,‎ ‎∴DO⊥平面ABCE,‎ ‎∴VDBCE=S△BEC·DO=××1×1×=.‎ 连接OB,OC,∵OA=,AB=2,∠OAB=45°,‎ ‎∴在△OAB中,由余弦定理得,‎ OB==,‎ 同理可得OC=.‎ 在Rt△DOB中,BD==.‎ 在Rt△DOC中,DC==.‎ ‎∵DE=1,EC=1,‎ ‎∴在△DEC中,由余弦定理得,cos∠DEC==-,‎ ‎∴∠DEC=120°,∴S△DEC=×1×1×=.‎ 设B到平面DEC的距离为h,‎ ‎∴VBDEC=×S△DEC×h=,解得h=.‎ 设DB与平面DEC所成的角为α,‎ 则sin α==,‎ ‎∴BD与平面DEC所成角的正弦值为.‎ 法二:取AE的中点O,连接DO,则DO⊥AE,‎ ‎∵平面ADE⊥平面ABCE,平面ADE∩平面ABCE=AE,‎ ‎∴DO⊥平面ABCE,‎ ‎∴以O为坐标原点,OD所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 则B,D,E,‎ C,‎ ‎∴=,=(0,1,0),‎ =,‎ 设m=(x,y,1)为平面DEC的一个法向量,‎ 则即 取z=1,可得m=(-,0,1),‎ 设BD与平面DEC所成的角为α,‎ ‎∴sin α=|cos〈,m〉|==,‎ 即BD与平面DEC所成角的正弦值为.‎ C组——创新应用练 ‎1.已知正方体ABCDA1B‎1C1D1的棱长为2,点P是平面AA1D1D的中心,点Q是上底面A1B‎1C1D1上一点,且PQ∥平面AA1B1B,则线段PQ的长的最小值为(  )‎ A.1 B. C. D. 解析:选A 由PQ∥平面AA1B1B知Q在过点P且平行于平面AA1B1B的平面上,易知点Q在A1D1,B‎1C1中点的连线MN上,故 PQ的最小值为PM=AA1=1.‎ ‎2.(2018·昆明模拟)古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳,获得可供食用的大米,用于舂米的“臼”多用石头或木头制成.一个“臼”的三视图如图所示,则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为(  )‎ A.63π B.72π C.79π D.99π 解析:选A 由三视图得,凿去部分是一个半球与一个圆柱的组合体,其中半球的半径为3,体积为×π×33=18π,圆柱的底面半径为3,高为5,体积为π×32×5=45π.所以凿去部分的体积为18π+45π=63π.故选A.‎ ‎3.(2018·沈阳质检)在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,在鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,且BD⊥CD,AB=BD=CD,点P在棱AC上运动,设CP的长度为x,若△PBD的面积为f(x),则f(x)的图象大致是(  )‎ 解析:选A 如图,作PQ⊥BC于Q,作QR⊥BD于R,连接PR,则由鳖臑的定义知PQ∥AB,QR∥CD,PQ⊥QR.设AB=BD=CD=1,CP=x,则==,即PQ=,又===,所以QR=,所以PR=== ,又由题知PR⊥BD,所以f(x)= = ,结合选项知选A.‎ ‎4.(2018·长春模拟)已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形,则该圆锥体积的最大值为________.‎ 解析:由题意得圆锥的母线长为3,设圆锥的底面半径为r,高为h,则h=,所以圆锥的体积V=πr2h=πr2=π.设f(r)=9r4-r6(r>0),则f′(r)=36r3-6r5,令f′(r)=36r3-6r5=6r3(6-r2)=0,得r=,所以当00,f(r)单调递增,当r>时,f′(r)<0,f(r)单调递减,所以f(r)max=f()=108,所以Vmax=π×=2π.‎ 答案:2π ‎5.(2018·惠州模拟)某三棱锥的三视图如图所示,且图中的三个三角形均为直角三角形,则xy的最大值为________.‎ 解析:将三视图还原为如图所示的三棱锥PABC,其中底面ABC是直角三角形,AB⊥BC,PA⊥平面ABC,BC=2,PA2+y2=102,(2)2+PA2=x2,所以xy=x=x≤=64,当且仅当x2=128-x2,即x=8时取等号,因此xy的最大值是64.‎ 答案:64‎ ‎6.(2019届高三·湖北七市(州)联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵,将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵ABMDCP与刍童ABCDA1B‎1C1D1的组合体中,AB=AD,A1B1=A1D1.‎ ‎(1)证明:直线BD⊥平面MAC;‎ ‎(2)若AB=1,A1D1=2,MA=,三棱锥AA1B1D1的体积V′=,求该组合体的体积.‎ 解:(1)证明:由题可知ABMDCP是底面为直角三角形的直棱柱,‎ ‎∴AD⊥平面MAB,‎ ‎∴AD⊥MA,‎ 又MA⊥AB,AD∩AB=A,‎ ‎∴MA⊥平面ABCD,‎ ‎∴MA⊥BD.‎ 又AB=AD,‎ ‎∴四边形ABCD为正方形,∴BD⊥AC,‎ 又MA∩AC=A,‎ ‎∴BD⊥平面MAC.‎ ‎(2)设刍童ABCDA1B‎1C1D1的高为h,‎ 则三棱锥AA1B1D1的体积V′=××2×2×h=,∴h=,‎ 故该组合体的体积V=×1××1+×(12+22+)×=+=.‎
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