天津市耀华中学2020届高三年级上学期月考数学试题

天津市耀华中学2020届高三年级上学期月考数学试题

天津市耀华中学2019～2020学年度高三年级第一学期第二次月考 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.若集合,集合,则图中阴影部分表示 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将阴影部分对应的集合的运算表示出来，然后根据集合表示元素的范围计算结果.‎ ‎【详解】因为阴影部分是：；‎ 又因为，所以或，所以或，所以，又因为，所以，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查根据已知集合计算图所表示的集合，难度较易.对于图中的阴影部分首先要将其翻译成集合间运算，然后再去求解相应值.‎ ‎2.设是首项为正数的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的（ ）．‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别判断充分性和必要性：当时，；当时，；‎ 当时，，故不充分；当时，‎ ‎，必要性，得到答案.‎ ‎【详解】若，则 当时，；当时，；‎ 当时，；故不充分；‎ 当时，即 故，必要性；‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.‎ ‎3.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，…．该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则（ ）．‎ A. 1 B. ‎2019 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算部分数值，归纳得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】；；；…‎ 归纳总结： ‎ 故 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了数列的归纳推理，意在考查学生的推理能力.‎ ‎4.已知非零向量，满足 ，且 ，则与的夹角为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量数量积定义以及向量垂直表示化简条件，解得夹角.‎ ‎【详解】由已知可得，设的夹角为，则有 ‎，又因为，所以，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积定义以及向量垂直表示，考查基本求解能力.‎ ‎5.设函数,则使成立的的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得成立，∴，∴，∴的范围为故答案为A.‎ 考点：抽象函数的不等式.‎ ‎【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．根据函数的表达式可知函数为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把可转化为，解绝对值不等式即可．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎6.已知β为锐角，角α的终边过点（3，4），sin（α+β）＝，则cosβ＝（）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用任意角的三角函数的定义求得 sinα和cosα，再利用同角三角函数的基本关系求得cos（α+β）的值，再利用两角差的余弦公式求得cosβ＝cos[（α+β）﹣α]的值．‎ ‎【详解】β为锐角，角α的终边过点（3，4），∴sinα，cosα，sin（α+β）sinα，‎ ‎∴α+β为钝角，∴cos（α+β），‎ 则cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β） cosα+sin（α+β） sinα••，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．‎ ‎7.已知函数，若，且的最小值为，则（ ）．‎ A. 在上是增函数 B. 在上是减函数 C. 在上是增函数 D. 在上是减函数 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，分别计算和时的单调性得到答案.‎ ‎【详解】，‎ ‎，且的最小值为，故 ‎ 当时，，函数有增有减，故错误；‎ 当时，，函数单调递减，故正确，错误；‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的最值，周期，单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.‎ ‎8.已知函数，若方程在上有3个实根，则的取值范围为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的极值和最值，利用数形结合进行求解即可．‎ ‎【详解】当时，，则不成立，‎ 即方程没有零解.‎ 当时，，即，则 设则由，得，此时函数单调递增；由，得，此时函数单调递减，所以当时，函数取得极小值；当时，；当时，；‎ ‚当时，，即，则.设则由得（舍去）或，此时函数单调递增；由得，此时单调递减，所以当时，函数取得极大值；当时，当时，作出函数和的图象，可知要使方程在上有三个实根，则.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ 二、填空题 ‎9.若复数满足（为虚数单位），则______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由，得，则，故答案为.‎ ‎10.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是 ‎，那么这个三棱柱的体积是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由球的体积公式，得，解得,所以正三棱柱的高h=2R=4．设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：，得，所有该正三棱柱的体积为.‎ 考点：1.球的体积；2.柱体的体积 ‎11.已知的展开式中，的系数为，则常数的值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ ，所以由 得 ，从而 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.‎ ‎12.已知，，则的最小值为______．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，再利用均值不等式计算得到答案.‎ 详解】‎ 当即时，等号成立.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力.‎ ‎13.甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 前三局，乙获胜一场，计算得到概率.‎ ‎【详解】根据题意知：前三局，乙获胜一场，故 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的理解应用能力.‎ ‎14.在平行四边形中，，，，为的中点，若是线段上一动点，则的取值范围是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：设，用表示出题中所涉及的向量，得出关于的函数，根据的范围，结合二次函数的性质求得结果.‎ 详解：根据题意，设，则，结合二次函数的性质，可知当 时取得最小值，当时取得最大值，故答案是.‎ 点睛：该题是有关向量的数量积的范围问题，在解题的过程中，需要提炼题的条件，将其转化为已知向量的数量积的问题，之后应用公式，求得关于的函数关系，之后转化为二次函数在某个闭区间上的值域问题来求解.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，b=2.‎ ‎（1）求c；‎ ‎（2）设D为BC边上一点，且，求△ABD的面积.‎ ‎【答案】（1）c=4（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据同角三角函数的基本关系式求得，由此求得的大小，利用余弦定理列方程，解方程求得.‎ ‎（2）先求得三角形和三角形的面积比，再由三角形的面积，求得三角形的面积.‎ ‎【详解】（1）由已知可得，所以.‎ 在△ABC中，由余弦定理得，‎ 即，解得c=-6（舍去），c=4.‎ ‎（2）由题设可得，所以.‎ 故△ABD与△ACD面积的比值为.‎ 又△ABC的面积为，‎ 所以△ABD的面积为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.‎ ‎16.如图，在三棱锥中，底面，．点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值；‎ ‎（3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取中点，连接、，证明平面平面得到答案.‎ ‎（2）以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系．平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案.‎ ‎（3）设，则，，，利用夹角公式计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）取中点，连接、，∵为中点，∴，‎ ‎∵平面，平面，∴平面．‎ ‎∵为中点，∴，‎ 又、分别为、的中点，∴，则．‎ ‎∵平面，平面，∴平面．‎ 又，平面，平面 ‎∴平面平面，又平面，则平面．‎ ‎（2）∵底面，．‎ ‎∴以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系．‎ ‎∵，，‎ ‎∴，，，，，，‎ 则，，设平面的一个法向量为，‎ 由，得，取，得．‎ 由图可得平面的一个法向量为．‎ ‎∴．‎ ‎∴二面角的余弦值为，则正弦值为．‎ ‎（3）设，则，，．‎ ‎∵直线与直线所成角的余弦值为，∴．‎ 解得：或（舍）．‎ ‎∴当与重合时直线与直线所成角的余弦值为，此时线段的长为4．‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行，二面角，异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ ‎17.在平面直角坐标系中，已知、分别为椭圆的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点的直线交椭圆于另一点，点在直线上，且，若，求直线的斜率．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将点和点代入椭圆方程计算得到答案.‎ ‎（2）设直线的斜率为，直线的方程为，联立方程解得点坐标为 ‎，点坐标为，根据计算得到答案.‎ 详解】（1）∵椭圆经过点和点，∴，‎ ‎∴解得，，，∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）设直线的斜率为，∴直线的方程为，‎ ‎∵由方程组，∴消去，整理得，‎ ‎∴解得或，∴点坐标为．‎ 由知，点在的中垂线上，又∵在直线上，∴点坐标为，‎ ‎∴，，‎ 若∵，∴，‎ ‎∴解得，∴，∴直线的斜率．‎ ‎【点睛】本题考查了求椭圆方程，直线的斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎18.已知数列的前项和为，满足，且．正项数列满足，其前7项和为42．‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）令，数列的前项和为，若对任意正整数，都有，求实数的取值范围；‎ ‎（3）将数列，的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：，，，，，，，，，，‎ ‎，…，求这个新数列的前项和．‎ ‎【答案】（1），；（2）；（3），‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）是首项为，公差为等差数列，计算得到；化简得到，计算得到答案.‎ ‎（2），，设，根据单调性得到，只需即可.‎ ‎（3）讨论为偶数，和三种情况，分别计算得到答案.‎ ‎【详解】（1），故是首项为，公差为的等差数列，故 ‎，当时，，时满足，故 ‎ ‎，则，即 前7项和，故 ‎（2）‎ ‎，即 易知函数，单调递增，故 ‎ ‎（3）当为偶数时： ‎ ‎；‎ 当时，；‎ 当时，‎ 故 ‎【点睛】本题考查了数列的通项公式，前项和，恒成立问题，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.‎ ‎19.设函数．‎ ‎（1）若不等式对恒成立，求的值；‎ ‎（2）若在内有两个极值点，求负数的取值范围；‎ ‎（3）已知，，若对任意实数，总存在正实数，使得成立，求正实数的取值集合．‎ ‎【答案】（1）=；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）讨论，和三种情况，分别计算得到答案.‎ ‎（2）求导得到，讨论，，三种情况，分别计算得到答案.‎ ‎（3）在上是增函数，其值域为，若，则函数在上是增函数，值域为，记，则 根据得到答案.‎ ‎【详解】（1）若，则当时，，，，不合题意；‎ 若，则当时，，，，不合题意；‎ 若，则当时，，，，‎ 当时，，，，‎ 当时，，满足题意，因此=．‎ ‎（2），，‎ 令，，则，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 因此 点，在 ‎（i）当时，，，在内至多有一个极值点．‎ ‎（ii）当时，由于，所以，‎ 而，，，‎ 因此在上无零点，在上有且仅有一个零点，‎ 从而上有且仅有一零点，在内有且仅有一个极值点．‎ ‎（iii）当时，，，，‎ 因此在上有且仅有一个零点，‎ 从而在上有且仅有两个零点，在内有且仅有两个极值点．‎ 综上所述，的取值范围为．‎ ‎（3）因为对任意实数，总存在实数，使得成立，‎ 所以函数的值域为．‎ 在上是增函数，其值域为，‎ 对于函数，，当时，，‎ 当时，，函数在上为单调减函数，‎ 当时，，函数在上为单调增函数．‎ 若，则函数在上是增函数，在上是减函数，其值域为，又，不符合题意，舍去；‎ 若，则函数在上是增函数，值域为，‎ 由题意得，即 ①‎ 记，则 当时，，在上单调减函数．‎ 当时，，在上为单调增函数．所以，当时，有最小值，‎ 从而恒成立（当且仅当时， ②‎ 由①②得，，所以．‎ 综上所述，正实数的取值集合为．‎ ‎【点睛】本题考查了恒成立问题，存在性问题，极值点，意在考查学生对于函数和导数知识的综合应用.‎