贵州省思南中学2019-2020学年高二5月摸底数学（理）试题

贵州省思南中学2019-2020学年高二5月摸底数学（理）试题

高二摸底考试数学（理科)‎ 一、单选题（每小题5分，共60分)‎ ‎1．已知复数满足，则（ ）.‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎2．曲线y=在点（1，1）处的切线方程为( )‎ A．x-y-2=0 B．x+y-2=0 C．x+4y-5=0 D．x-4y-5=0‎ ‎3．要证明，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（ ）.‎ A．综合法 B．分析法 C．比较法 D．归纳法 ‎4．已知函数，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．用火柴棒按如图的方法搭三角形：‎ 按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为（ ）‎ A．401 B．201 C．402 D．202‎ ‎6．的展开式中的系数为（ ）‎ A．10 B． C．5 D．‎ ‎7．用数学归纳法证明不等式“（，）”的过程中，由推导时，不等式的左边增加的式子是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8．汽车以(单位：)作变速直线运动时，在第至第间的内经过的位移是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎9．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（ ）．‎ A．420 B．180 C．64 D．25‎ ‎10．函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．我省5名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情现把专家全部分配到A，B，C三个集中医疗点，每个医疗点至少要分配1人，其中甲专家不去A医疗点，则不同分配种数为（ ）‎ A．116 B．100 C．124 D．90‎ ‎12．已知函数在处有极值10，则的值为（ ）‎ A．， B．，或，‎ C．， D．以上都不正确 二、填空题（每小题5分，共20分)‎ ‎13．已知，设，则_____.‎ ‎14．已知随机变量X的分布列为，则等于________.‎ ‎15．有一批种子的发芽率为，出芽后的幼苗成活率为，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为_____.‎ ‎16．设函数，其中，若存在唯一的整数，使得 ‎，则实数的取值范围是__________．‎ 三、解答题（共70分，需写出必要的证明过程和演算步骤。)‎ ‎17．（10分）已知等差数列，若，且，，成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，设，求数列的前项和．‎ 小组 甲 乙 丙 丁 人数 ‎12‎ ‎9‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎18．（12分）4月23日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组（每名学生只能参加一个读书小组）学生抽取12名学生参加问卷调查．各组人数统计如右：‎ ‎（1）从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率；‎ ‎（2）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人，用表示抽得甲组学生的人数，求随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎19．（12分）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）作角的平分线交边于点，记和的面积分别为，，求的取值范围.‎ ‎20．（12分，若没有作出必要的辅助线或坐标系则不给分！）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面底面，为的中点，是棱的中点，.‎ ‎（1）证明：平面平面.‎ ‎（2）求二面角的大小.‎ ‎21．（12分）设椭圆的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点的距离之和是4.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知过的直线与椭圆交于两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值．‎ ‎22．（12分）已知两数．‎ ‎（1）当时，求函数的极值点；‎ ‎（2）当时，若恒成立，求的最大值．‎ 高二数学参考答案 ‎1．A ‎2．B ‎3．B ‎4．D ‎5．B ‎6．B ‎7．D ‎8．C ‎9．B ‎10．B ‎11．B ‎12．A ‎13．‎ ‎【详解】‎ 解：在中，令，‎ 可得，‎ 再令，‎ 可得.‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎14．‎ ‎【详解】‎ ‎，，解得a=5，‎ 则.‎ 故答案为：．‎ ‎15．‎ ‎【详解】‎ 设“种子发芽成功”，“种子能成长为幼苗”.根据题意知，‎ 故由知，‎ 又由，故，‎ 即这粒种子能成长为幼苗的概率为.‎ 故答案为：‎ ‎16．‎ ‎【详解】‎ 设，，由题设可知存在唯一的整数，使得在直线的下方，因为，故当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；故，而当时，，，故当且，解之得 故答案为：．‎ ‎17．（Ⅰ）或（Ⅱ）‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）∵，∴①‎ ‎∵，，成等比数列，∴，∴化简得，‎ 若，‎ 若，②，由①②可得，，‎ 所以数列的通项公式是或 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ‎∴‎ ‎18．（1）（2）见解析， ‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题设易得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为4，3，2，3（人），‎ 从参加问卷调查的12名学生中随机抽取两名的取法共有（种），‎ 抽取的两名学生来自同一小组的取法共有（种），‎ 所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为 ‎（2）由（1）知，在参加问卷调查的12名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为4人、2人，所以，抽取的两人中是甲组的学生的人数的可能取值为0，1，2,‎ 因为 所以随机变量的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 所求的期望为 ‎19．（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ） .‎ 因此，又，所以.‎ ‎（Ⅱ），‎ 由正弦定理，知.‎ 因为，‎ 所以.‎ ‎20．（1）证明见解析；（2）‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：∵，，为的中点，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴.‎ ‎∵，∴，即.‎ 又∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面.‎ ‎∵平面，平面平面.‎ ‎（2）解：由（1）可知，，两两互相垂直，以为坐标原点，以 的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，，‎ 所以，.‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则 令，得.‎ 取平面的法向量，记二面角为，‎ 则.‎ 由图可知为钝角，所以二面角的大小为.‎ ‎21．（1）；（2）6‎ 详解：（1）依题意，，‎ 因为，所以，所以椭圆方程为；‎ ‎（2）设 ，则由，可得，‎ 即，，，‎ 又因为，所以四边形是平行四边形，‎ 设平面四边形的面积为，则设，则，所以，因为， 所以，所以，所以四边形面积的最大值为.‎ ‎22．（1）唯一的极大值点1，无极小值点．（2）1‎ ‎【详解】‎ 解：（1）定义域为，当时，‎ ‎，‎ 令得，当 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以有唯一的极大值点，无极小值点．‎ ‎（2）当时，．‎ 若恒成立，则恒成立，‎ 所以恒成立，‎ 令，则，由题意，函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，所以 所以，‎ 所以，‎ 故的最大值为1．‎