数学理卷·2018届天津市南开中学高三第四次月考（2018

数学理卷·2018届天津市南开中学高三第四次月考（2018

天津南开中学2018届高三第四次月考 数  学（理工类）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.‎ 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.‎ 祝各位考生考试顺利！‎ 第Ⅰ卷 注意事项：‎ ‎1. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.‎ ‎2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分.‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.    集合，，则 ‎       A.                           (0, +¥)               B. {-2, -1, 1, 2} ‎       C. {-2, -1}            D. {1, 2} ‎2.    执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ‎       A.                           14                            B. 15‎ ‎       C. 16                       D. 17‎ ‎3.    已知p，q是简单命题，那么“p Ù q是真命题”是“Ø p是真命题”的 ‎       A.                           充分而不必要条件 ‎       B. 必要而不充分条件 ‎       C.                           充分必要条件        ‎ ‎       D. 既不充分也不必要条件 ‎4.    在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2 = (a - b)2 + 6，，则△ABC的面积为 ‎       A.                           3                                                             B. ‎ ‎       C.                                                  D. ‎ ‎5.    设变量x，y满足不等式 则x2 + y2的最小值是 ‎       A.                                                  B.                        C.  D. ‎ ‎6.    设实数a, b, c分别满足2a3 + a = 2，blog2 b = 1，clog5 c = 1，则a, b, c的大小关系为 ‎       A.                           a > b > c                                                B. b > a > c ‎       C. c > b > a                                            D. a > c > b ‎7.    已知O为直角坐标系的坐标原点，双曲线C：（b > a > 0）上有一点P（m > 0），点P在x轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点.过点P作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形PAOB的面积为1，则双曲线的标准方程是 ‎       A.                                        B.         C.    D. ‎ ‎8.    定义在(-1, 1]上的函数f (x)满足，当xÎ[0, 1]时，f (x) = x.若函数在(-1, 1]内恰有3个零点，则实数m的取值范围是 ‎       A.                                              B.                C.   D. ‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9.    设复数，则z的虚部为__________.‎ ‎10.   的展开式中，常数项为__________.‎ ‎11.   已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ =sin (θ +)，则圆上的点到直线l的最大距离为__________.‎ ‎12.   某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________.‎ ‎13.   已知圆C：(x - m)2 + (y - n)2 = 9的圆心在第一象限，直线l：x + 2y + 2 = 0与圆C相交的弦长为4，则的最小值为__________.‎ ‎14.   在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB = 2CD = 2，.动点E和F分别在线段CD和BC上，且的最大值为，则的取值范围为__________.‎ 三. 解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15.   （本小题满分13分）‎ 中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拔赛于2016年7月14日在山东威海开赛．种子选手M与B1，B2，B3三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M获胜的概率分别为，，，且各场比赛互不影响．‎ ‎（Ⅰ）若M至少获胜两场的概率大于，则M入选征战里约奥运会的最终大名单，否则不予入选，问M是否会入选最终的大名单？‎ ‎（Ⅱ）求M获胜场数X的分布列和数学期望．‎ ‎ ‎ ‎16.   （本小题满分13分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求f (x)在区间[0, π]内的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若，，求sin x0的值.‎ ‎ ‎ ‎17.   （本小题满分13分）‎ 如图，已知菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，其中BE∥AF，AB⊥AF，，，P为DF的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：PE∥平面ABCD；‎ ‎（Ⅱ）求二面角D - EF - A的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）设G为线段AD上一点，， 若直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为，求AG的长.‎ ‎ ‎ ‎18.   （本小题满分13分）‎ 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2 = 4，an+12 = 6Sn + 9n + 1，nÎN*.各项均为正数的等比数列{an}满足b1 = a1，b3 = a2.‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}，{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若cn = (3n - 2)·bn，数列{cn}的前n项和为Tn.‎ ‎①求Tn；②若对任意n≥2，nÎN*，均有(Tn- 5)m≥6n2 - 31n + 35恒成立，求实数m的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎19.   （本小题满分14分）‎ 已知椭圆C：（a > b > 0）的离心率为，直线y = 1与椭圆C的两交点间距离为8.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）如图，设R(x0, y0)是椭圆C上的一动点，由原点O向圆(x - x0)2 + (y - y0)2 = 4引两条切线，分别交椭圆C于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率均存在，并分别记为k1，k2，求证：k1·k2为定值.‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问ïOPï2 + ïOQï2是否为定值?若是，求出该值，若不是，请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎20.   （本小题满分14分）‎ 已知函数f (x) = - x3 + x2 + b，g(x) = aln x.‎ ‎（Ⅰ）若f (x)在上的最大值为，求实数b的值；‎ ‎（Ⅱ）若对任意xÎ[1, e]，都有g(x)≥- x2 + (a + 2)x恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设对任意给定的正实数a，曲线y = F(x)上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（O为坐标原点），且此三角形斜边中点在y轴上?请说明理由.‎ 天津南开中学2018届高三第四次月考 数学（理工类）参考答案 一. 选择题：每小题5分，满分40分.‎ ‎       1. C                          2. C                          3. D                          4. C ‎       5. B                           6. C                          7. A                          8. C 二. 填空题：每小题5分，满分30分.‎ ‎       9.                                    10. -40                                11. ‎ ‎       12.                            13.                                  14. ‎ ‎7.    设其中一条直线为，与联立，得，故，点P到直线的距离.‎ 所以，又因为，所以联立解得ab = 2，又因为，所以a = 1，b = 2.‎ ‎8.    当xÎ(-1, 0)时，x + 1Î(0, 1)，又xÎ[0, 1]时，f (x) = x，所以，所以，所以 令，xÎ(-1, 1]，作出h(x)的图象.‎ ‎，y = mx + m - 1恒过点P(-1, -1)，，，设C(x0, y0)，则时，，‎ 所以，，‎ 所以，解得，故.‎ 所以，即为所求.‎ ‎13.   由题意，得，又因为m > 0，n > 0，所以m + 2n = 3，‎ 所以（当且仅当时等号成立）.‎ ‎14.   因为，所以.又因为AÎ[0, π]，所以，又因为的最大值为，BA = 2，所以在上的射影最大为.‎ 过D作DM⊥AB于M点，则，‎ 所以，.‎ 过C作CN⊥AB于N点，过B作BQ⊥AC于Q点.‎ 则，‎ 所以，，‎ 所以的最小值为，‎ 最大值为.‎ 三.  解答题 ‎15.   （本小题满分13分）‎ 解  （Ⅰ）记M与B1，B2，B3进行对抗赛获胜的事件分别为A，B，C，M至少获胜两场的事件为D，则，，，，由于事件A，B，C相互独立，所以 由于，所以M会入选最终的大名单.‎ ‎（Ⅱ）M获胜场数X的可能取值为0，1，2，3，则 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 数学期望.‎ ‎16.   （本小题满分13分）‎ 解  （Ⅰ）‎ ‎.‎ 因为xÎ[0, π]，所以.‎ 令，因为y = sin t在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以f (x)的单调递增区间是，单调递减区间是.‎ ‎（Ⅱ），‎ 因为，所以，‎ 所以 ‎17.   （本小题满分13分）‎ 方法一：‎ 解   （Ⅰ）取AD的中点Q，连接PQ，BQ，‎ 则PQ∥AF∥BE，且 所以四边形BEPQ为平行四边形，‎ 所以PE∥BQ.‎ 又BQÌ平面ABCD，PEË平面ABCD，‎ 所以PE∥平面ABCD.‎ ‎（Ⅱ）取AB中点O，连接CO，‎ 则CO⊥AB，‎ 因为平面ABCD⊥平面ABEF，交线为AB，所以CO⊥平面ABEF，‎ 作OM∥AF，分别以OB，OM，OC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，F(-1, 4, 0)，E(1, 2, 0)，于是，，‎ 设平面DEF的法向量 则，令x = 1，则y = 1，‎ 平面AEF的法向量，所以，‎ 又因为二面角D - EF - A为锐角，所以其余弦值为.‎ ‎（Ⅲ）A(-1, 0, 0)，，，‎ 则，，平面ABEF的法向量为，‎ 设直线FG与平面ABEF所成角为θ，于是，‎ 于是，.‎ 方法二：‎ 解   （Ⅰ）作AD中点Q ‎∵且PQ∥BE  ∴四边形BEPQ是平行四边形 ‎∴PE∥BQ  ∵BQÌ平面ABCD  ∴PE∥平面ABCD ‎（Ⅱ）过D作DH⊥AB，垂足记为H，过H作HK⊥EF，连接DK 则cosÐDKH即为所求 易得，，‎ 故即为所求.‎ ‎（Ⅲ）记G在平面ABEF的射影为M，则∠GFM即直线FG与平面ABEF所成角 设AG＝m，则，，，‎ 令，解得即为所求.‎ ‎18.   （本小题满分13分）‎ 解  （Ⅰ）因为an+12 = 6Sn + 9n + 1，‎ 所以，an2 = 6Sn-1 + 9(n - 1) + 1‎ 所以an+12 - an2 = 6an + 9（n≥2）‎ 所以an+12 = (an + 3)2，又各项为正数 所以an+1 = an + 3（n≥2）‎ 所以数列{an}从第2项开始成等差数列，‎ 又a2 = 4，42 = 6a2 + 9 + 1，‎ 所以a1 = 1，‎ 所以a2 - a1 = 3，‎ 所以{an}是公差为3的等差数列.‎ 所以an = 3n - 2（nÎN+）.‎ 因为b1 = 1，b3 = 4，‎ 所以bn = 2n-1（nÎN+）.‎ ‎（Ⅱ）①因为cn = (3n - 2)·2n - 1.‎ Tn = 1·20 + 4·21 + ¼ + (3n - 2)·2n - 1‎ ‎2Tn = 1·21 + 4·22 + ¼ + (3n - 2)·2n 两式相减，得Tn = (3n - 5)·2n + 5‎ ‎②(3n - 5)·2n·m≥6n2 - 31n + 35恒成立 所以，即恒成立.‎ 设，，，‎ 当n≤4时，f (n + 1) > f (n)；当n≥5时，f (n + 1) < f (n)，‎ 所以，所以.‎ ‎19.   （本小题满分14分）‎ 解  （Ⅰ）由题意得椭圆C过点(4, 1)，即 而c2 = a2 - b2，，‎ 所以 解得 所以椭圆C的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设直线OP：y = k1x，OQ：y = k2x，‎ 因为直线OP为圆R的切线，所以，‎ 整理得到，‎ 同理可得，.‎ 所以k1，k2是关于k的方程的两个不等实根.‎ 所以x02 - 4 ¹ 0，∆ > 0，，‎ 因为点R(x0, y0)在椭圆C上，‎ 所以，即.‎ 所以，即k1·k2为定值.‎ ‎（Ⅲ）ïOPï2 + ïOQï2是定值.‎ 设P(x1, y1)，将直线y = k1x与椭圆C联立得，‎ 所以.  设Q(x2, y2)，同理可得.‎ 由（Ⅱ）可知，即，‎ 则 所以，ïOPï2 + ïOQï2 = 25.‎ ‎20.   （本小题满分14分）‎ 解  （Ⅰ）由f (x) = - x3 + x2 + b，得f ′(x) = -3x2 + 2x = -x(3x - 2) 令f ′(x) = 0，得x = 0或 列表如下：‎ x ‎0‎ f ′(x) - ‎0‎ + ‎0‎ - f (x) ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 由，，所以，‎ 即最大值为，所以b = 0.‎ ‎（Ⅱ）由g(x)≥- x2 + (a + 2)x，得(x - ln x)a≤x2 - 2x.‎ 因为xÎ[1, e]，所以ln x≤1≤x，且等号不等同时取得，‎ 所以ln x < x，即x - ln x > 0，‎ 所以恒成立，即 令（xÎ[1, e]），则，‎ 当xÎ[1, e]时，x - 1≥0，ln x≤1，x + 2 - 2ln x > 0，‎ 从而t′(x)≥0，所以t(x)在[1, e]上为增函数，‎ 所以tmin(x) = t(1) = -1，所以a≤-1.‎ ‎（Ⅲ）存在.‎ 由条件， 假设曲线y = F(x)上存在两点P，Q满足题意，‎ 则P，Q只能在y轴两侧，‎ 不妨设P(t, F(t))（t > 0），则P(-t, t3 + t2)，且t ¹ 1‎ 因为△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形 所以，所以-t2 + F(t)(t3 + t2) = 0…………………(※) 是否存在P，Q等价于方程(※)在t > 0且t ¹ 1时是否有解.‎ ‎①若0 < t < 1时，方程(※)为-t2 + (-t3 + t2)(t3 + t2) = 0，‎ 化简得t4 - t2 + 1 = 0，此方程无解.‎ ‎②若t > 1时，方程(※)为-t2 + aln t·(t3 + t2) = 0，‎ 即，设h(t) = (t + 1)ln t（t > 1），则，‎ 显然，当t > 1时，h′(t) > 0，即h(t)在(1, +¥)上为增函数 所以h(t)的值域为(h(1), +¥)，即(0, +¥)，‎ 所以当a > 0时，方程(※)总有解.‎ 所以对任意给定的正实数a，曲线y = F(x)上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上.‎