【数学】北京市顺义区2018-2019学年高一下学期期末考试试题 （解析版）

【数学】北京市顺义区2018-2019学年高一下学期期末考试试题 （解析版）

北京市顺义区2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）‎ ‎1.直线的倾斜角为（ ）‎ A. 45° B. 60° C. 120° D. 135°‎ ‎【答案】A ‎【解析】设直线的倾斜角为，‎ 由题得直线的斜率为.‎ 所以直线的倾斜角为.‎ 故选：A.‎ ‎2.掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】掷两颗均匀的骰子，共有36种基本事件，点数之和为5的事件有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）这四种，因此所求概率为，选B．‎ ‎3.某中学进行了学年度期末统一考试，为了了解高一年级2000名学生的考试成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩，在这个问题中，100名学生的成绩是（ ）‎ A. 总体 B. 个体 C. 从总体中抽取的一个样本 D. 样本的容量 ‎【答案】C ‎【解析】根据题意得，本题的总体、个体与样本考查的对象都是学生成绩，而不是学生，‎ 高一年级2000名学生的考试成绩为总体，每个学生的考试成绩为个体，100名学生的成绩为从总体中抽取的一个样本，样本容量为100；‎ 故选：C．‎ ‎4.从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）‎ A. 取出的球至少有1个红球；取出的球都是红球 B. 取出的球恰有1个红球；取出的球恰有1个白球 C. 取出的球至少有1个红球；取出的球都是白球 D. 取出的球恰有1个白球；取出的球恰有2个白球 ‎【答案】D ‎【解析】A答案中的两个事件可以同时发生，不是互斥事件 B答案中的两个事件可以同时发生，不是互斥事件 C答案中的两个事件不能同时发生，但必有一个发生，既是互斥事件又是对立事件 D答案中的两个事件不能同时发生，也可以都不发生，故是互斥而不对立事件 故选：D ‎5.设为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】B ‎【解析】若，则或，故A错误；‎ 若，，则，故B正确；‎ 若，，则可以平行、相交或异面，故C错误；‎ 由，，推不出，故D错误 故选：B ‎6.甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、标准差分别为、，则 ‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故.故选.‎ ‎【点睛】本题考查平均数及标准差的实际意义，是基础题.‎ ‎7.若在△ABC中，2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ）‎ A 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 ‎【答案】C ‎【解析】∵在△ABC中，2cosBsinA＝sinC，‎ ‎∴2cosBsinA＝sinC＝sin（A+B），‎ ‎∴2cosBsinA＝sinAcosB+cosAsinB，‎ ‎∴sinAcosB﹣cosAsinB＝0，‎ ‎∴sin（A﹣B）＝0，‎ ‎，‎ ‎∴A﹣B＝0，即A＝B，‎ ‎∴△ABC为等腰三角形，‎ 故选：C．‎ ‎8.在正方体-中，E、F分别是，的中点，给出下列结论：①⊥②//③⊥平面，其中正确的是（ ）‎ A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③‎ ‎【答案】C ‎【解析】取的中点，连接，则，，‎ 则四边形平行四边形，得，‎ 在正方形中，可得△，则，‎ 可得，即，则，故①正确；‎ 在平面内，在平面外，而平面，‎ 由异面直线的定义可得与是异面直线，故②错误；‎ 在正方体中，棱平面，则，‎ 由①知，且，平面，平面，‎ 平面，故③正确．‎ 综上，正确命题的序号是①③．‎ 故选：．‎ 二、填空题(共6个小题，每小题5分，共30分)‎ ‎9.已知圆C：C（1，-3），半径为5，则圆C的方程是____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，圆 ，半径为5，‎ 则圆的方程是；‎ 故答案为：．‎ ‎10.为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本．其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是____．‎ ‎【答案】7500‎ ‎【解析】设总人数为，则分层抽取比例为，而大一，大二共抽取300人，且大一，大二的总人数为，所以得 ‎11.三条直线相交于一点，则=____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，联立方程组，解得，即两直线的交点坐标为 ‎ 又因为点也在直线上，即，解得 ‎ 故答案为：‎ ‎12.已知圆锥的底面半径为3，体积是，则圆锥侧面积等于___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求圆锥侧面积必须先求圆锥母线，既然已知体积，那么可先求出圆锥的高，再利用圆锥的性质(圆锥的高，底面半径，母线组成直角三角形)可得母线，，，，．‎ 考点：圆锥的体积与面积公式，圆锥的性质．‎ ‎13..若，，则的最小值为____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由 由，则 当，即时，有最小值，其最小值为：‎ 故答案为：‎ ‎14.过点的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2＝4交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为_____．‎ ‎【答案】2x﹣4y+3＝0‎ ‎【解析】由题得,当∠ACB最小时,直线l与直线垂直,此时 ,又,故,又直线l过点,所以,即 .‎ 故答案为 三、解答题(共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎15.已知直线：x+y-1=0.‎ ‎（1）求过原点且与直线平行的直线方程.‎ ‎（2）求过点(2，3)且与直线垂直的直线方程.‎ 解：（1）直线的斜率为，‎ 过原点且与直线平行的直线方程为：，即；‎ ‎（2）直线的斜率为，‎ 与直线垂直的直线的斜率为1，‎ 过点且与直线垂直的直线方程为：，即．‎ ‎16.‎2019年3月22日是第二十七届“世界水日”，‎3月22日-28日是第三十二届“中国水周”为了倡导“坚持节约用水”，某兴趣小组在本校4000名同学中，随机调查了40名同学家庭中一年月均用水量(单位：吨)，并将月均用水量分为6组：，[4，6)，[6，8)，[8，10)，[10，12)，[12，14]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）求出图中实数a的值；‎ ‎（2）根据样本数据，估计本校4000名同学家庭中，月均用水量低于8吨的约有多少户 ‎（3）在月均用水量大于或等于10吨的样本数据中，该兴趣小组决定随机抽取2‎ 名同学的家庭进行回访，求这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10，12)组的概率.‎ 解：（1）‎ 解得：.‎ ‎（2）（户）.‎ ‎（3）设“这2名同学中恰有1人所在家族的月均水量属于”为事件A，‎ 由图可知，样本数据中月均水量在的户数为：‎ 记这四名同学家族分别为a，b，c，d.‎ 月均用水量在的用户数为：.‎ 记这两名同学家族分别为e、f，‎ 则选取的同学家庭的所有可能结果为：‎ ‎，共15种.‎ 事件A的可能结果为：，共8种.‎ ‎∴.‎ ‎17.在△ABC中，a=1，b=2，‎ ‎（1）求c和的值；‎ ‎（2）求BC边上的高.‎ 解：（1）由余弦定理，得 ‎∴∵‎ ‎∴‎ 由正弦定理得：‎ ‎∴.‎ ‎（2）设BC边上的高为h，‎ ‎，所以，所以 ‎∴BC边上的高为.‎ ‎18.已知函数的最小正周期为π，为正实数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的单调递减区间及对称轴方程.‎ 解：（1）‎ ‎∴.‎ ‎（2）由（1）知：‎ 令，，得，‎ ‎∴函数的单调递减区间为 令，，得，‎ 所以函数的对称轴方程为.‎ ‎19.如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.‎ ‎（1）求证：PB∥平面AEC；‎ ‎（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；‎ ‎（3）当PA=AB=2，∠ABC=时，求三棱锥的体积.‎ 解：（1）取AC、BD中点为O，连接EO.‎ 证明：∵底面ABCD为菱形且O为AC、BD的交点 ‎∴OBD中点.∵E为PD中点，∴.‎ ‎∵平面ABC，平面AEC，∴平面AEC.‎ ‎（2）∵底面ABCD为菱形，∴.‎ ‎∵平面ABCD，平面ABCD，∴.‎ ‎∵，平面，∴平面PAC.‎ ‎∵平面PBD，∴平面平面PBD.‎ ‎（3）∵，∴‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴.‎ ‎.‎ ‎20.已知圆O的方程为，圆O与y轴的交点为A，B(点A在点B的上方)，直线与圆O相交于M，N两点 ‎（1）当k=1时，求弦长；‎ ‎（2）若直线y=4与直线BM交于点D，求证：D、A、N三点共线.‎ 解：（1）∵，∴直线l的方程为.‎ 圆心到直线的距离，‎ ‎∴；‎ ‎（2）由题可得，，‎ 设，，联立 得：，‎ ‎，，‎ ‎，令，‎ 得，∴，‎ ‎，，‎ ‎∵‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴D、A、N三点共线.‎