2017-2018学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二上学期期中考试数学(理)试题

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2017-2018学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二上学期期中考试数学(理)试题

‎2017-2018学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二上学期期中考试 数学科试卷(理科)‎ 答题时间:120分钟;满分:150分;命题人:高二备课组 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知等比数列的前三项依次为,则( ) ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.下列命题正确的个数是( )‎ ‎①对于实数,若,则;②命题“若,则”的否命题为:“若,则”;③“”是“”的充分不必要条件;④命题“”的否定是“”.‎ ‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎3.已知,命题:方程=l表示椭圆,命题,‎ 则命题是命题成立的( )‎ ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.设是等差数列,公差为,是其前项的和,且,,则下列结论错误的是( )‎ ‎ A. B. C. D.和均为的最大值 ‎5.已知命题,,命题.若命题且是真命题,则实数的取值范围为( ) ‎ A.或 B. C. D.‎ ‎6.两等差数列、的前项和分别为和,且,则的值是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.设集合,,若动点,则的取值范围是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.设离心率为的双曲线: 的右焦点为,直线过点且斜率为,则直线与双曲线的左、右两支相交的充要条件是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知椭圆的焦距为2,过M(1,1)斜率为直线交曲线C于且M是线段AB的中点,则椭圆的标准方程为( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎10.如图所示点是抛物线的焦点,点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动,且总是平行于轴,则的周长的取值范围是( )‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎11.已知等差数列的公差,且,,成等比数列,若,是数列的前项的和,则的最小值为( )‎ x y A1‎ A2‎ B1‎ B2‎ F2‎ O ‎ P ‎ ‎ A.4 B.3 C. D.‎ ‎12.如图,椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,为椭圆顶点,为右焦点,延长与交于点,若为钝角,则该椭圆离心率的取值范围是( )‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题纸上.‎ ‎13.点是双曲线的一个交点,且,其中、是双曲线C1的两个焦点,则双曲线C1的离心率为 . ‎ ‎14.下列命题:‎ ‎①数列的前n项和为,则是数列为等差数列的必要不充分条件;②,不等式成立的充要条件;③“ ”是“或”的充分不必要条件; ④已知都是不等于零的实数,关于的不等式和的解集分别为P,Q,则是的既不充分也不必要条件.则其中所有真命题的序号是 .‎ ‎15.设x,y满足约束条件,若的最小值为,则的值_____.‎ ‎16.在等差数列中,,,记数列的前项和为,若 对恒成立,则正整数的最小值为_____.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.(本题满分10分)‎ 设命题:实数满足,其中,命题:实数满足 ‎.‎ ‎(Ⅰ)若,且为真,求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.‎ ‎18.(本题满分12分)‎ 已知数列满足 ‎(Ⅰ)求数列的通项;‎ ‎(Ⅱ)若,求数列的前n项和.‎ ‎19.(本题满分12分)‎ 已知椭圆的离心率是,其左、右顶点分别为、,为短轴的一个端点,的面积为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)直线与轴交于,是椭圆上异于、的动点,直线、分别交直线于、两点,求证:为定值.‎ ‎20.(本题满分12分)‎ 已知数列的前项和为,且,其中.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若,数列的前项和为,求证:.‎ ‎21.(本题满分12分)‎ 已知轨迹上的点到点的距离比它到直线的距离小2.‎ ‎(Ⅰ)求轨迹的方程;‎ ‎(Ⅱ)过点,作轨迹的两条互相垂直的弦、,设、的中点分别为、,试判断直线是否过定点?并说明理由.‎ ‎22.(本题满分12分)‎ 已知,分别是椭圆的左,右焦点,,分别是椭圆的上顶点和右顶点,且,离心率.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设经过的直线与椭圆相交于,两点,求的最小值.‎ ‎2017—2018学年度上学期高二年级期中考试 数学科试卷(理科)‎ 答题时间:120分钟;满分:150分;命题人:高二备课组 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知等比数列的前三项依次为,则( ) ‎ ‎ A. B. C. D.‎ 答案:C ‎2.下列命题正确的个数是( )‎ ‎①对于实数,若,则;②命题“若,则”的否命题为:“若,则”;③“”是“”的充分不必要条件;④命题“”的否定是“”.‎ ‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案:A ‎3.已知,命题:方程=l表示椭圆,命题,‎ 则命题是命题成立的( )‎ ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:D ‎4.设是等差数列,公差为,是其前项的和,且,,则下列结论错误的是( )‎ ‎ A. B. C. D.和均为的最大值 答案:C ‎5.已知命题,,命题.若命题且 是真命题,则实数的取值范围为( ) ‎ A.或 B. C. D.‎ 答案:A ‎6.两等差数列、的前项和分别为和,且,则的值是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 答案:D ‎7.设集合,,若动点,则的取值范围是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 答案:A ‎8.设离心率为的双曲线: 的右焦点为,直线过点且斜率为,则直线与双曲线的左、右两支相交的充要条件是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 答案:C ‎9.已知椭圆的焦距为2,过M(1,1)斜率为直线交曲线C于且M是线段AB的中点,则椭圆的标准方程为( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 答案: C ‎10.如图所示点是抛物线的焦点,点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动,且总是平行于轴,则 的周长的取值范围是( )‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ 答案:B ‎11.已知等差数列的公差,且,,成等比数列,若, 是数列的前项的和,则的最小值为( )‎ ‎ A.4 B.3 C. D.‎ 答案:A ‎12.如图,椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,为椭圆顶点,为右焦点,延长与交于点,若为钝角,则该椭圆离心率的取值范围是( )‎ ‎ A. B. ‎ C. D.‎ 答案:D ‎ 二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题纸上.‎ ‎13.点是双曲线的一个交点,且,其中、是双曲线C1的两个焦点,则双曲线C1的离心率为 . ‎ 答案:‎ ‎14.下列命题:‎ ‎①数列的前n项和为,则是数列为等差数列的必要不充分条件;②,不等式成立的充要条件;③“ ”是“或”‎ 的充分不必要条件; ④已知都是不等于零的实数,关于的不等式和的解集分别为P,Q,则是的既不充分也不必要条件.则其中所有真命题的序号是 .‎ 答案:②③④‎ ‎15.设x,y满足约束条件,若的最小值为,则的值_____.‎ 答案:1‎ ‎16.在等差数列中,,,记数列的前项和为,若 对恒成立,则正整数的最小值为_____.‎ 答案:5‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.(本题满分10分)‎ 设命题:实数满足,其中,命题:实数满足 ‎.‎ ‎(Ⅰ)若,且为真,求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.‎ 解:(Ⅰ)当时,为真时,实数的取值范围是1<<3……………2分 由,得2<≤3‎ 当为真时,实数的取值范围是2<≤3……………4分 若为真,则真且真,所以实数的取值范围是2<<3……………5分 ‎(Ⅱ):或,:或……………7分 是的充分不必要条件,即⇒,且 所以实数的取值范围是1<≤2……………10分 ‎18.(本题满分12分)‎ 已知数列满足 ‎(Ⅰ)求数列的通项;‎ ‎(Ⅱ)若,求数列的前n项和.‎ 解:(Ⅰ) (1)‎ 当时,(2)‎ ‎(1)- (2)得即……………4分 当时,也满足上式 ‎……………6分 ‎(Ⅱ)(1)‎ ‎(2)……………8分 ‎(1)-(2) 得 ‎……………12分 ‎19.(本题满分12分)‎ 已知椭圆的离心率是,其左、右顶点分别为、,为短轴的一个端点,的面积为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)直线与轴交于,是椭圆上异于、的动点,直线、分别交直线于、两点,求证:为定值.‎ 解:(Ⅰ)由已知得,解得 椭圆方程为……………4分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,‎ 设,(),直线的方程为 令,得,……………7分 直线的方程为 令,得,……………9分 ‎……………12分 ‎20.(本题满分12分)‎ 已知数列的前项和为,且,其中.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若,数列的前项和为,求证:.‎ 解:(Ⅰ)令,得,即,‎ ‎……………1分 ‎(1)‎ 当时,(2)‎ ‎(1)-(2)得 即得:……………3分 即……………5分 ‎,所以 ‎,……………7分 ‎(Ⅱ)由(1)知 又……………10分 ‎ ‎ ‎……………12分 ‎21.(本题满分12分)‎ 已知轨迹上的点到点的距离比它到直线的距离小2.‎ ‎(Ⅰ)求轨迹的方程;‎ ‎(Ⅱ)过点,作轨迹的两条互相垂直的弦、,设、的中点分别为、,试判断直线是否过定点?并说明理由.‎ 解:(Ⅰ)设为轨迹上任意一点,‎ 依题意,点到的距离与它到直线的距离相等,‎ 点轨迹是以点为焦点,为准线的抛物线.……………2分 所以曲线的方程为.……………4分 ‎(Ⅱ)设AB:代入得 设,则 设,则 ‎∴……………6分 同理……………8分 ‎∴……………10分 ‎∴:,‎ 整理得……………11分 ‎∴直线恒过定点……………12分 ‎22.(本题满分12分)‎ 已知,分别是椭圆的左,右焦点,,分别是椭圆的上顶点和右顶点,且,离心率.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设经过的直线与椭圆相交于,两点,求的最小值.‎ ‎(Ⅰ)依题意得……………2分 ‎ 解得,椭圆方程为 ……………4分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,设,的方程为,‎ 代入椭圆的方程得,‎ 设,则……………6分 ‎ ‎……………8分 ‎…………10分 ‎……………11分 ‎ 当时的最小值为 ……………12分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎
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