2017-2018学年广东省中山市高二上学期期末数学理试题（解析版）

2017-2018学年广东省中山市高二上学期期末数学理试题（解析版）

绝密★启用前 广东省中山市2017-2018学年高二上学期期末（理）考卷 考试范围：必修五、常用逻辑用语、立体几何、解析几何、导数.考试时间：120分钟 ‎【名师解读】本卷难度中等，全卷梯度设置合理．命题内容符合考试说明命题要求，全卷涵盖了高中数学的必修五、常用逻辑用语、立体几何、解析几何、导数等内容，无偏难怪出现，命题所占比例基本符合教章所占比例，重点内容重点考查，如解三角形、数列、立体几何、解析几何、导数等.‎ 一、单选题 ‎1．设是实数，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎2．的三个内角所对的边分别为，且满足，则（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎3．等比数列的前n项和为，已知 ， = 9，则= （ ）‎ A. B. C. D. ‎4．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的处测得水柱顶端的仰角为，沿向北偏东方向前进后到达处，在处测得水柱顶端的仰角为，则水柱的高度试（ ）‎ A. B. C. D. ‎5．已知等差数列的前项和为，，，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎6．设满足约束条件，则取值范围是（ ）‎ ‎ ‎ ‎7．直线y＝x＋b与曲线y＝－x＋ln x相切，则b的值为( )‎ A. －2 B. 1 C. － D. －1‎ ‎8．已知函数是函数的导函数，则的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9．双曲线上一点到左焦点的距离为是的中点，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎10．空间四点的位置关系式（ ）‎ A. 共线 B. 共面 C. 不共面 D. 无法确定 ‎11．已知点为双曲线的右支上的一点， 为双曲线的左、右焦点，使（为坐标原点）且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎12．设等差数列的前项和为.在同一个坐标系中， 及的部分图象如图所示，则（ ）‎ A. 当时， 取得最大值 B. 当时， 取得最大值 C. 当时， 取得最小值 D. 当时， 取得最小值 二、填空题 ‎13．抛物线的准线方程为__________．‎ ‎14．已知的解集为，则不等式的解集为__________．‎ ‎15．若，则的最大值为 ．‎ ‎16．定义在上的函数的导函数为，若对任意的实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是__________．‎ 三、解答题 ‎17．已知分别为三个内角的对边，且．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若为边上的中线， ， ，求的面积．‎ ‎18．设数列的前项积为，且.‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎19．某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x(万件)之间大体满足关系：(其中c为小于6的正常数)． ‎ ‎(注：次品率＝次品数/生产量，如P＝0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品)，已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产出1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．‎ ‎(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x (万件)的函数；‎ ‎(2)当日产量为多少时，可获得最大利润？‎ ‎20．如图所示的几何体中，四边形为等腰梯形， ， ， ，四边形为正方形，平面平面.‎ ‎（1）若点是棱的中点，求证： 平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎21．设函数 ‎ (I)讨论的单调性；‎ ‎（II）若有两个极值点和，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎22．在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点与上顶点分别为，椭圆的离心率为，且过点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）如图，若直线与该椭圆交于两点，直线的斜率互为相反数.‎ ‎①求证：直线的斜率为定值；‎ ‎②若点在第一象限，设与的面积分别为，求的最大值.‎ ‎1．B【解析】当a＞b，c=0时，ac2＞bc2不成立，即充分性不成立，‎ 当ac2＞bc2，则c≠0，则a＞b，即必要性成立，‎ 即“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件，‎ 故选：B.‎ ‎3．C【解析】由题意可知， ， ，解得： ， ，求得 ，故选C.‎ ‎4．A【解析】‎ 如图所示，AO⊥平面OCD．CD=100．‎ ‎∠ACO=30°，∠ADO=45°．∠ODC=60°．‎ 设OA=h．‎ 在Rt△OAD，则OD=h．‎ 同理可得：OC=h．‎ 在△OCD中，OC2=OD2+CD2﹣2OD•CD•cos60°．‎ ‎∴（h）2=h2+1002﹣2×h×100×，‎ 化为：h2+50h﹣5000=0，‎ 解得h=50．‎ 因此水柱的高度是50m．‎ 故选：A．‎ 考点：等差数列通项公式、前项和公式及性质.‎ ‎6．D【解析】略 ‎7．D【解析】试题分析：设切点为， ，由题意可得，解方程组可得 考点：导数的几何意义 ‎8．A【解析】由于f（x）= ，‎ ‎∴=x﹣sinx，‎ ‎∴=﹣，故为奇函数，其图象关于原点对称，排除B、D，‎ 又当x=时， =﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合，‎ 故选：A．‎ 点睛：识图常用的方法 ‎(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；‎ ‎(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；‎ ‎(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．‎ ‎10．C【解析】设平面方程为ax+by+cz+d=0，‎ 代入A、B、C、D 四点的坐标，得：‎ ‎,‎ 解得a=b=c=d=0，‎ ‎∴A，B，C，D四点不共面．‎ 故选：C．‎ ‎11．D【解析】∵（O为坐标原点），‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴∠F1PF2=90°，‎ 设|PF2|=x，则|PF1|= ， ，‎ 解得， ，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选：D．‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ 但是， ，说明数列单调递增，且从第一项至第八项均小于，那么前7项和必然大于，又产生矛盾。说明横坐标为处的点表示的是数列的前8项和，此时需要分析横坐标为处的两个点各自的含义，若，则，说明数列单调递减，那么可知数列在第一项至第8项均为正数，那么，与图象信息矛盾，故， ， ，可以解得，可知等差数列公差为，接下来可以有两种基本思路去处理.‎ 方法一：直接求解数列通项，根据公差，解得，那么可以解得前项和的表达式为，可知其对称轴，距它最近的整数为，故其在时取最大值，故选A.学*科网 方法二：从前项和的最值性质可以看出，数列本身正负发生改变的地方是产生最值的地方，根据分析可知， ‎ ‎，那么 ， ，可见，数列从第一项至第四项均是正数，此时前项和越加越大，最大值在第四项取到，故选A.‎ 考点：等差数列及其前项和性质.‎ ‎13．【解析】抛物线的标准形式为 ‎∴抛物线的准线方程为 故答案为： ‎ ‎14．或【解析】不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|1＜x＜2}，‎ ‎∴1，2是方程ax2+bx+c=0的两个实数根，且a＜0，‎ ‎∴，‎ 解得b=﹣3a，c=2a；‎ ‎∴不等式cx2+bx+a＜0化为2ax2﹣3ax+a＜0，‎ ‎2x2﹣3x+1＞0‎ 解得，或x＞1；‎ ‎∴所求不等式的解集为或．‎ 故答案为： 或．‎ 考点：1．三角恒等变换；2．基本不等式的应用．‎ ‎16．【解析】设2017g（x）=，由f（x）＞f′（x），‎ 得：g′（x）=＜0，‎ 故函数g（x）在R递减，‎ 由f（x）+2017为奇函数，得f（0）=﹣2017，‎ ‎∴g（0）=﹣1，‎ ‎∵f（x）+2017ex＜0，∴＜﹣2017，即g（x）＜g（0），‎ 结合函数的单调性得：x＞0，‎ 故不等式f（x）+2017ex＜0的解集是（0，+∞）．‎ 故答案为： ．‎ 点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造， 构造， 构造， 构造等.‎ ‎17．（Ⅰ）（Ⅱ）‎ 解析:‎ ‎（Ⅰ）∵，由正弦定理得：‎ ‎，即 ‎，化简得： ，∴．在中， ，∴，得．‎ ‎（Ⅱ）在中， ，得，‎ 则 ，由正弦定理得．‎ 设，在中，由余弦定理得： ，‎ 则，解得，即， ‎ 故．‎ 点睛: 本题考查了正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式，以及两角和差的正弦公式等，注意内角的范围，考查化简、变形、计算能力．注意当已知三角形的一个边和两个角时,用正弦定理.已知两角一对边时,用正弦定理,已知两边和对角时用正弦较多.‎ ‎18．(1)见解析(2) ‎ ‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为，所以，即，所以 又，所以，‎ 即，‎ 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 所以 所以.‎ 点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有：‎ ‎（1）已知数列的通项公式为，求前项和： ；‎ ‎（2）已知数列的通项公式为，求前项和：‎ ‎；‎ ‎（3）已知数列的通项公式为，求前项和:.‎ ‎19．（1）T＝；‎ ‎（2）当时，日产量为c万件时，可获得最大利润，当时，日产量为3万件时，可获得最大利润 ‎【解析】‎ 考点：函数模型的运用 点评：主要是考查了分段函数的实际运用，求解函数的最值，属于中档题。‎ ‎20．（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）要证线面平行，一般先证线线平行，由是中点及其他已知可证与平行且相等，从而得平行四边形，也就有线线平行，从而得线面平行；‎ ‎（2）由已知证得两两垂直，以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，求出平行的法向量，由直线的方向向量与平面法向量夹角余弦的绝对值等于直线与平面所成角的正弦值可得结论．‎ 所以// . ‎ 因为平面， 平面，‎ 所以//平面．‎ 解：（2）因为四边形为正方形，所以.‎ 因为平面平面，‎ 平面平面， 平面，‎ 所以平面.‎ 在△中，因为， ，‎ 所以由余弦定理，得，‎ 所以． ‎ 在等腰梯形中，可得. ‎ 如图，以为原点，以所在直线分别为 轴， 建立空间坐标系，‎ 则， ， ， ， ，‎ 所以， ， . ‎ 设平面的法向量为，由 ‎ 所以，取，则，得．‎ ‎21．（I）（1）当时，故在上单调递增 ；‎ ‎（2）当时，的两根都小于，在上，，故在上单调递增；‎ ‎（3）分别在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（II）不存在，使得 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）的定义域为 1分 令，其判别式 2分 ‎（1）当时，故在上单调递增 3分 ‎（2）当时，的两根都小于，在上，，‎ 故在上单调递增 4分 ‎（3）当时，的两根为，‎ 当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减． 6分 若存在，使得则．即． 9分 亦即 0分 再由（I）知，函数在上单调递增， 11分 而，所以这与式矛盾．‎ 故不存在，使得 12分 考点：本题主要考查导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性、极值，存在性问题探讨。‎ 点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。通过研究函数的单调区间，得到直线斜率表达式。存在性问题，往往要假设存在，利用已知条件探求。本题涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。‎ ‎22．(1) (2) ①见解析，②‎ ‎【解析】试题分析：（1）通过将点代入椭圆方程，结合离心率为计算即得结论；‎ ‎（2）通过（1）可知A（2，0）、B（0，1）．①通过设直线的方程为，则由题意直线的方程为，分别与椭圆方程联立，计算可知P、Q，利用斜率计算公式计算即可；②通过①可知P、Q，利用点P在第一象限可知，分别计算出点P、Q到直线AB的距离，利用三角形面积公式计算、结合基本不等式化简即得结论．‎ ‎（2）①设直线的方程为，则由题意直线的方程为，‎ 由，得，‎ 所以点的坐标为，‎ 同理可求得点的坐标为.‎ 所以直线的斜率为.‎ ‎②设两点到直线的距离分别为，‎ 因为点在第一象限，则点必在第三象限，‎ 所以，且点分别在直线的上、下两侧，‎ 所以，‎ 从而，‎ ‎，‎ 所以，‎