专题5-7 热点题型六 解三角形-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点+题型全突破

专题5-7 热点题型六 解三角形-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点+题型全突破

热点题型六 解三角形 ‎【基础知识整合】‎ ‎1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos_A；‎ b2＝c2＋a2－2accos_B；‎ c2＝a2＋b2－2abcos_C 变形 ‎(1)a＝2Rsin A，‎ b＝2Rsin_B，‎ c＝2Rsin_C；‎ ‎(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；‎ ‎(3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；‎ ‎(4)asin B＝bsin A，‎ bsin C＝csin B，‎ asin C＝csin A cos A＝；‎ cos B＝；‎ cos C＝ ‎2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.‎ ‎3．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：‎ A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin Ab 解的个数 一解 两解 一解 一解 类型一 利用正弦、余弦定理解三角形 ‎【典例1】【2016高考新课标3理数】在中，，边上的高等于,则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C 考点：余弦定理．‎ ‎【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．‎ ‎【变式训练】【2015高考重庆，理13】在ABC中，B=，AB=，A的角平分线AD=,则AC=_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由正弦定理得，即，解得 ‎，，从而，所以，.‎ ‎【考点定位】解三角形（正弦定理，余弦定理）‎ ‎【思路点拨】解三角形就是根据正弦定理和余弦定理得出方程进行的．当已知三角形边长的比时使用正弦定理可以转化为边的对角的正弦的比值，本例第一题就是在这种思想指导下求解的；当已知三角形三边之间的关系式，特别是边的二次关系式时要考虑根据余弦定理把边的关系转化为角的余弦关系式，再考虑问题的下一步解决方法．‎ ‎【典例2】【2014高考广东卷.理.12】在中，角..所对应的边分别为..，已知，则 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】，由边角互化得，‎ 即，即，所以.‎ ‎【考点定位】本题考查正弦定理中的边角互化思想的应用以及两角和的三角函数，属于中等题.‎ ‎【思路点拨】本题主要考查的是正弦定理和两角和的正弦公式，属于中等题．解题时要弄清楚是求边还是求角， 否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是正弦定理、两角和的正弦公式和三角函数的诱导公式，即（其中为外接圆的半径），，．‎ ‎【变式训练1】【2015高考北京，理12】在中，，，，则 ．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 考点定位：本题考点为正弦定理、余弦定理的应用及二倍角公式，灵活使用正弦定理、余弦定理进行边化角、角化边.‎ ‎【思路点拨】本题考查二倍角公式及正弦定理和余弦定理，本题属于基础题，题目所求分式的分子为二倍角正弦，应用二倍角的正弦公式进行恒等变形，变形后为角的正弦、余弦式，灵活运用正弦定理和余弦定理进行角化边，再把边长代入求值.‎ ‎【变式训练2】【2015高考广东，理11】设的内角，，的对边分别为，，，若， ，，则 . ‎ ‎【答案】．‎ ‎【考点定位】三角形的内角和定理，正弦定理应用．‎ ‎【思路点拨】本题主要考查三角形的内角和定理、运用正弦定理解三角形，属于容易题，解答此题要注意由得出或时，结合三角形内角和定理舍去．‎ ‎【典例3】【2015高考新课标1，理16】在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 . ‎ ‎【答案】（，）‎ ‎【解析】如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）.‎ ‎【考点定位】正余弦定理；数形结合思想 ‎【思路点拨】本题考查正弦定理及三角公式，作出四边形，发现四个为定值，四边形的形状固定，边BC长定，平移AD，当AD重合时，AB最长，当CD重合时AB最短，再利用正弦定理求出两种极限位置是AB的长，即可求出AB的范围，作出图形，分析图形的特点是找到解题思路的关键.‎ ‎【变式训练】【2016年高考北京理数】‎ 在ABC中，.‎ ‎（1）求 的大小；‎ ‎（2）求 的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据余弦定理公式求出的值，进而根据的取值范围求的大小；‎ ‎（2）由辅助角公式对进行化简变形，进而根据的取值范围求其最大值.‎ 试题解析：（1）由余弦定理及题设得，‎ 又∵，∴；（2）由（1）知，‎ ‎，因为，所以当时，‎ 取得最大值.‎ 考点：1.三角恒等变形；2.余弦定理.‎ ‎【思路点拨】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．‎ ‎【解题技巧】‎ ‎1．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．‎ ‎2．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．‎ 类型二、利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 ‎【典例4】(教材改编)在△ABC中，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为________三角形．‎ ‎【答案】　直角 ‎【解析】　由已知得sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2A，‎ ‎∴sin(B＋C)＝sin2A，∴sin A＝sin2A，‎ 又sin A≠0，∴sin A＝1，A＝，‎ ‎∴△ABC为直角三角形．‎ ‎【典例5】【2015·贵州安顺二模】若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC的形状是 ‎ ‎【答案】钝角三角形 ‎【变式训练】【2015·临沂模拟】在△ABC中,若sin B·sin C=cos2,且sin2B+sin2C=sin2A,则△ABC的形状是 ‎ ‎【答案】等腰直角三角形 ‎【解析】因为sin Bsin C=cos2=,‎ 所以2sin Bsin C=1+cos【π-(B+C)】‎ ‎=1-cos(B+C)‎ ‎=1-cos Bcos C+sin Bsin C,‎ 即cos Bcos C+sin Bsin C=1,‎ 所以cos(B-C)=1.‎ 因为B,C是△ABC的内角,‎ 所以B-C=0,即B=C,‎ 又因为sin2B+sin2C=sin2A,即b2+c2=a2.‎ 所以A=90°,‎ 故△ABC为等腰直角三角形.‎ ‎【解题技巧】‎ 判定三角形形状的两种常用途径 ‎(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．‎ ‎(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．‎ 提醒：在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响．‎ 类型三、与三角形面积有关的问题 ‎【典例6】【2016高考新课标1卷】 ‎ 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 ‎ ‎（I）求C；‎ ‎（II）若的面积为,求的周长．‎ ‎【答案】（I）（II）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）先利用正弦定理进行边角代换化简得得,故；（II）根据．及得．再利用余弦定理得 ．再根据可得的周长为．‎ 试题解析：（I）由已知及正弦定理得,,‎ 即．‎ 故．‎ 可得,所以．‎ 考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式 ‎【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式, ,就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”‎ ‎【变式训练1】‎ ‎【2016高考浙江理数】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=2a cos B.‎ ‎（I）证明：A=2B；‎ ‎（II）若△ABC的面积，求角A的大小.‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）或．‎ ‎【解析】试题分析：（I）先由正弦定理可得，进而由两角和的正弦公式可得，再判断的取值范围，进而可证；（II）先由三角形的面积公式可得，进而由二倍角公式可得，再利用三角形的内角和可得角的大小．‎ ‎（II）由得，故有 ‎，‎ 因，得．‎ 又，，所以．‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 综上，或．‎ 考点：1、正弦定理；2、两角和的正弦公式；3、三角形的面积公式；4、二倍角的正弦公式．‎ ‎【思路点睛】（I）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有，的式子，根据角的范围可证；（II）先由三角形的面积公式及二倍角公式可得含有，的式子，再利用三角形的内角和可得角的大小．‎ ‎【变式训练2】【2015高考新课标2，理17】‎ 中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．‎ ‎(Ⅰ) 求；‎ ‎(Ⅱ)若，，求和的长． ‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．‎ ‎【考点定位】1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理．‎ ‎【名师点睛】本题考查了三角形的面积公式、角分线、正弦定理和余弦定理，由角分线的定义得角的等量关系，由面积关系得边的关系，由正弦定理得三角形内角正弦的关系；分析两个三角形中和互为相反数的特点结合已知条件，利用余弦定理列方程，进而求．‎ ‎【解题技巧】‎ 三角形面积公式的应用原则 ‎(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．‎ ‎(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．‎