河北省衡水市衡水中学2020届高三上学期二调考试数学（文）试题

河北省衡水市衡水中学2020届高三上学期二调考试数学（文）试题

‎2019—2020学年度上学期高三年级二调考试 数学（文科）试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第I卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．‎ 第I卷 一．选择题（从每小题给出的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）‎ ‎1.若集合，，则=(　 　).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据并集的定义求解即可.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以，根据并集的定义：是属于或属于的元素所组成的集合，‎ 可得，故选C.‎ ‎【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.‎ ‎2.设，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的单调性，并结合取中间值法即可判断大小.‎ ‎【详解】由于，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则，即.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查对数与对数函数和指数与指数函数，利用函数的单调性比较大小是常用手段，属基础题.‎ ‎3.函数的图象大致为( )‎ A B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对称性排除A，C；利用单调性排除D，从而得到结果.‎ ‎【详解】由于为偶函数，所以关于直线轴对称，‎ 从而可排除A，C；‎ 在上为增函数，所以在 上为增函数，排除D;‎ 故选B ‎【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.‎ ‎4.在中，角ABC的对边分别为a,b,c,且 则a的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得到角C，又，故A=，利用正弦定理即可得到结果.‎ ‎【详解】由可得：,即tanC=1,故C=A=‎ 由正弦定理：‎ 可得：,‎ ‎∴‎ 故选D ‎【点睛】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．‎ ‎5.已知，且，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解法一：由题意求出的值，然后代入求出结果；解法二：由两角差的余弦公式求出结果 ‎【详解】解法一：由，且得，，代入得，‎ ‎=，故选C．‎ 解法二：由，且得，，‎ 所以，故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了运用两角差的余弦公式来求出三角函数值，较为基础 ‎6.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos‎2A+cos ‎2A=0,a=7,c=6,则b等于(　　)‎ A. 10 B. ‎9 ‎C. 8 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 详解】由题意知,23cos‎2A+2cos‎2A-1=0,‎ 即cos‎2A=,‎ 又因△ABC为锐角三角形,‎ 所以cosA=.‎ ‎△ABC中由余弦定理知72=b2+62-2b×6×,‎ 即b2-b-13=0,‎ 即b=5或b=-(舍去),故选D.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎7.已知奇函数满足，当时，，则　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的周期性结合奇偶性推导出，利用时，能求出结果．‎ ‎【详解】奇函数满足，‎ ‎ ‎ 因为，‎ 所以 所以 又因为当时，，‎ 所以 ‎ ,故选A．‎ ‎【点睛】本题考查对数的运算法则，考查函数的奇偶性、周期性等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．解答函数周期性、奇偶性、解析式相结合的问题，通常先利用周期性与奇偶性转化自变量所在的区间，然后根据解析式求解.‎ ‎8.已知，则=(　 　).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将两边平方，求出，利用诱导公式可得结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 所以，，故选C.‎ ‎【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．‎ ‎9.在中，角所对的边分别为，若则的面积的最大值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知式子和正弦定理可得B，再由余弦定理和基本不等式可得ac≤16，代入三角形的面积公式可得最大值．‎ 详解】∵在△ABC中，‎ ‎∴（‎2a﹣c）cosB＝bcosC，‎ ‎∴（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC，‎ ‎∴2sinAcosB＝sinCcosB+sinBcosC＝sin（B+C）＝sinA，‎ 约掉sinA可得cosB＝，即B＝，‎ 由余弦定理可得16＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac≥‎2ac﹣ac，‎ ‎∴ac≤16，当且仅当a＝c时取等号，‎ ‎∴△ABC的面积S＝acsinB＝ac≤‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查解三角形，涉及正余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式，属中档题．‎ ‎10.已知函数，对于实数，“”是“”的(　 　).‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断出函数为奇函数，且为的单调增函数，结合单调性与奇偶性利用充分条件与必要条件的定义判断即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以为奇函数，‎ 时，，在上递增，‎ 所以函数在上为单调增函数，‎ 对于任意实数和，‎ 若，则，‎ 函数为奇函数，，‎ ‎，充分性成立；‎ 若，则，‎ 函数在上为单调增函数，，‎ ‎，必要性成立，‎ 对于任意实数和，“”，是“”的充要条件，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，属于综合题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.‎ ‎11.如图是函数在区间上的图像，将该图像向右平移个单位长度后，所得图像关于直线对称，则的最大值为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数图像可得函数解析式为：，由三角函数图像的平移变换可得平移后的解析式为，再结合三角函数图像的对称性可得，再求解即可.‎ ‎【详解】解：由题意可知，，所以，‎ 根据五点作图法可得，解得，‎ 所以，将该函数图像向右平移个单位长度后，‎ 得到的图像，‎ 又的图像关于直线对称，‎ 所以，即，‎ 因为，‎ 所以当时，取最大值，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了由函数图像求解析式及三角函数图像的平移变换，重点考查了三角函数图像的对称性，属基础题.‎ ‎12.若函数恰有一个零点，则实数的值为　　‎ A. B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将函数零点转化为直线与曲线相切问题，再利用导数求切点即得切线斜率，即得的值.‎ ‎【详解】函数的定义域为，‎ 若函数恰有一个零点，‎ 等价为恰有一个根，‎ 即只有一个根，‎ 即函数和的图象只有一个交点，‎ 即当时，是函数的切线,‎ 设，切点为，则，‎ 因为，切线斜率，‎ 则切线方程为，‎ 切线过原点，‎ 即，‎ 因为 所以，此时，‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查函数零点以及导数几何意义，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ 第II卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意求出和，然后再利用倍角公式求解．‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查同角三角函数关系及倍角公式，解题时容易出现的错误是忽视函数值的符号，属于简单题．‎ ‎14.将函数的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数图象，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平移后关于轴对称可知关于对称，进而利用特殊值构造方程，从而求得结果.‎ ‎【详解】向左平移个单位长度后得到偶函数图象，即关于轴对称 关于对称 ‎ 即： ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题，关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴，进而利用特殊值的方式来进行求解.‎ ‎15.设定义域为的函数满足，则不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件构造函数F（x），求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．‎ ‎【详解】设F（x），‎ 则F′（x），‎ ‎∵，‎ ‎∴F′（x）＞0，即函数F（x）在定义域上单调递增．‎ ‎∵‎ ‎∴，即F（x）＜F（2x）‎ ‎∴，即x＞1‎ ‎∴不等式的解为 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．‎ ‎16.设的内角的对边长成等比数列，，延长至，若，则面积的最大值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可得，由成等比数列，结合正弦定理 可得，两式相减，可求得，从而得为正三角形，‎ 设正三角形边长为， ，利用基本不等式可得结果.‎ ‎【详解】 ，‎ ‎，①‎ 又成等比数列，，‎ 由正弦定理可得，②‎ ‎①-②得 ‎，‎ ‎，解得，‎ 由，‎ 得，‎ ‎，为正三角形，‎ 设正三角形边长为，‎ 则，‎ ‎，时等号成立．‎ 即面积的最大值为，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查对比中项的应用、正弦定理的应用以及基本不等式求最值，属于难题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ 三．解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图像，设函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由已知可得，则,由，解不等式即可得结果；(Ⅱ)由得，从而可得.‎ ‎【详解】(Ⅰ)由已知可得，‎ 则 ‎.‎ 令，解得.‎ ‎∴函数的单调递增区间为.‎ ‎(Ⅱ)由得，‎ ‎∴，即.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换以及三角函数的单调性，属于中档题.函数 的单调区间的求法：若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间.‎ ‎18.已知的内角，，的对边分别为，，，且，．‎ ‎（1）证明：为等腰三角形．‎ ‎（2）设点在边上，，，求的长．‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理，化角为边可得，再运算可得证；‎ ‎（2）设，余弦定理可得，再运算可得解.‎ ‎【详解】（1）证明：因为，‎ 所以由正弦定理，可得，整理可得．‎ 因为，所以，为等腰三角形，得证．‎ ‎（2）解：设，则，‎ 由余弦定理可得，．‎ 因为，‎ 所以，解得，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了解斜三角形及运算能力，属中档题.‎ ‎19.已知函数．‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对求导得到，代入切点横坐标得到斜率，再写出切线方程；‎ ‎（2）令，证明其导函数在上恒为正，即在上恒增，而要满足在上恒成立，从而得到的取值范围 ‎【详解】（1），，‎ ‎（1），又（1），即切线的斜率，切点为，‎ 曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）令，，则，‎ 令，则．‎ 当时，，函数在上为增函数，故（1）；‎ 从而，当时，（1）．‎ 即函数在上为增函数，故（1）．‎ 因此，在上恒成立，必须满足．‎ 实数的取值范围为，．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数在某一点的切线，利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，属于常规题.‎ ‎20.已知（m，n为常数），在处的切线方程为．‎ ‎（Ⅰ）求的解析式并写出定义域；‎ ‎（Ⅱ）若，使得对上恒有成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若有两个不同的零点，求证：.‎ ‎【答案】（Ⅰ），x∈（0，+∞）；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用导数的几何意义意义求得m，n的值，根据对数函数的定义得到函数定义域；‎ ‎（Ⅱ）f（x）在[，1]上的最小值为f（1）＝1，只需t3﹣t2﹣2at+2≤1，即对任意的上恒成立，构造函数m（t），利用导数求出m（t）的最大值，即可求得结论；‎ ‎（Ⅲ）不妨设x1＞x2＞0，得到g（x1）＝g（x2）＝0，根据相加和相减得到，再利用分析法，构造函数，求出函数单调性和函数的最小值，问题得以证明．‎ 详解】解：（Ⅰ）由f（x）=+nlnx可得，‎ 由条件可得，把x=-1代入x+y=2可得，y=1，‎ ‎∴，∴m=2，，∴，x∈（0，+∞），‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在上单调递减，∴f（x）在上的最小值为f（1）=1，‎ 故只需t3-t2-2at+2≤1，即对任意的上恒成立，‎ 令，‎ 易求得m（t）在单调递减，[1，2]上单调递增，‎ 而，，∴‎2a≥m（t）max=g（2），∴，即a的取值范围为 ‎ ‎（Ⅲ）∵，不妨设x1＞x2＞0，‎ ‎∴g（x1）=g（x2）=0，‎ ‎∴，，相加可得，相减可得，‎ 由两式易得：；要证，即证明，即证：，需证明成立，令，则t＞1，于是要证明，构造函数，∴，故ϕ（t）在（1，+∞）上是增函数，‎ ‎∴ϕ（t）＞ϕ（1）=0，∴，故原不等式成立．‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了利用已经证明的结论证明不等式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.‎ ‎21.已知函数 (，是自然对数的底数).‎ ‎ （1）设 (其中是的导数)，求的极小值；‎ ‎ （2）若对，都有成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)求出，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得 的范围，可得函数的减区间，结合单调性可求得函数的极值；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，在上单调递增，在(0，1)上单调递减，.讨论当时，当时两种情况，分别利用对数以及函数的单调性，求出函数最值，从而可筛选出符合题意的实数的取值范围.‎ ‎【详解】(Ⅰ)，.‎ 令，∴，‎ ‎∴在上为增函数，.‎ ‎∵当时，；当时，，‎ ‎∴的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为，‎ ‎∴.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，在上单调递增，在(0，1)上单调递减，‎ ‎∴.‎ 当时，，在上单调递增，，满足条件；‎ 当时，.‎ 又∵，∴，使得，‎ 此时，，；，，‎ ‎∴在上单调递减，，都有，不符合题意.‎ 综上所述，实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ ‎ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.‎ ‎22.已知函数（为自然对数的底数）．‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）证明：当时，不等式成立．‎ ‎【答案】（1） （2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求函数的导函数为，再由导数的几何意义可得，所求切线的斜率即为，再求切线方程即可；‎ ‎（2）先构造函数，，结合导数的应用判断函数的单调性求出函数的最小值，函数的最大值，再比较大小即可得证.‎ ‎【详解】（1）解：由题意知，当时，，解得，‎ 又，‎ 所以．则曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（2）证明：当时，得，‎ 要证明不等式成立，‎ 即证成立，‎ 即证成立，‎ 即证成立，‎ 令，，‎ 易知，‎ 由，知在区间内单调递增，‎ 在区间内单调递减，‎ 则，‎ 所以成立．即原不等式成立．‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义及利用导数证明不等式，重点考查了函数与不等式的相互转化，属综合性较强的题型.‎