天津市河东区2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

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河东区2019~2010学年度第一学期期中质量检测 高二数学试卷 一、选择题 ‎1.设是等比数列，下列说法一定正确的是（ ）‎ A. 成等比数列 B. 成等比数列 C. 成等比数列 D. 成等比数列 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ ‎ 项中，故项说法错误；项中，故项说法错误； 项中，故项说法错误；故项中，故项说法正确，故选D.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎2.在等差数列中，，且，则（ ）‎ A. 11 B. ‎12 ‎C. 13 D. 14‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列性质得，即，然后与联立方程组可求得．‎ ‎【详解】∵，∴等差数列是递增数列．∴．‎ 由数列是等差数列，得，即，‎ 由，∴（舍去），‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质，掌握等差数列的性质是解题基础．等差数列中，，若，则．‎ ‎3.若，则以下不等式一定成立的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式的运算性质分别判断，正确的进行证明，错误的举出反例.‎ ‎【详解】没有确定正负，时，，所以不选A；当时，，所以不选B；当时，，所以不选D；由，‎ 不等式成立.故选C.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的运算性质，比较法证明不等式，属于基本题.‎ ‎4.已知，，若，则（ ）‎ A. 有最小值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最大值 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本不等式的性质，即可求解有最小值，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，可知，，且，‎ 因为，则，即，‎ 所以，‎ 当且仅当时，等号成立，取得最小值，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎5.已知，，则“”是“表示椭圆”（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先要理解椭圆方程的基本形式，再利用两个命题的关系即可得出必要不充分．‎ ‎【详解】当且时，表示圆，充分性不成立；当表示椭圆时，且，必要性成立，所以“”是“表示椭圆”的必要不充分条件，故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆方程的基本形式，以及命题之间的关系．‎ ‎6.设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前n项和，若成等比数列，则=（ ）‎ A. 2 B. ‎-2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知用数列的首项和公差表示出来后就可解得．，‎ ‎【详解】因为成等比数列，所以，即 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的前项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．‎ ‎7.椭圆的短轴长为（ ）‎ A. 2 B. ‎4 ‎C. 6 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化椭圆方程为标准方程后可求得得短轴长．‎ ‎【详解】由题意椭圆的标准方程是，∴，短轴长为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程．在椭圆中，是长轴长，是短轴长，若焦点在轴上，则标准方程为，若焦点在轴上，则标准方程为．‎ ‎8.方程，化简的结果是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由所给方程,可知动点到定点和 距离和是定值,根据椭圆的定义可知其轨迹是椭圆,即可求出椭圆的,进而得到答案.‎ ‎【详解】根据两点间的距离公式可得: 表示点与点的距离,‎ 表示点与点的距离.‎ 所以原等式化简为 因为 所以由椭圆的定义可得:点的轨迹是椭圆: ‎ 根据椭圆中:,得:‎ 所以椭圆的方程为: .‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了由椭圆几何意义来求椭圆方程,能理解椭圆定义是解本题关键.‎ ‎9.下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对每个命题进行判断，注意存在命题与全称命题证明方法的不同．‎ ‎【详解】，∴A为假命题；‎ ‎，∴B为假命题；‎ ‎，当时，，∴C为假命题；‎ 恒成立，D为真命题．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假判断．存在命题要说明它是假命题必须证明，要证明它是真命题，只要举一例即可，而全称命题要证明它是真命题，必须给出证明，要说明它是假命题，只要举一反例．‎ 二、填空题 ‎10.在数列2，8，20，38，62，92中，第6项是______.‎ ‎【答案】92‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 第一个数是第一项，第二个数是第2项，依次数下去即可．‎ ‎【详解】数列中第6个数是92，即为第6项．‎ 故答案为：92．‎ ‎【点睛】本题考查数列的定义，考查数列项的概念．属于基础题．‎ ‎11.不等式解集为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用因式分解确定相应二次方程的根，得不等式的解集．‎ ‎【详解】由得，∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查解一元二次不等式，属于基础题．解一元二次不等式时一般要把二次项系数化为正数，然后再求解．‎ ‎12.______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列前项和公式计算．‎ ‎【详解】．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列前项和公式，属于基础题．‎ ‎13.在平面直角坐标系xOy中，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上一点P满足，若三角形为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，三角形为等腰直角三角形，知，化为的等式可得离心率．‎ ‎【详解】∵，且三角形为等腰直角三角形，∴，即，‎ ‎∴，，（舍去）．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查求椭圆的离心率，关键是列出关于的等式，然后利用转化为的等式，再求得离心率．‎ ‎14.若命题“”是假命题，则实数a的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用原命题否定是真命题求解．‎ ‎【详解】∵命题“”是假命题，∴命题“”是真命题．∴，解得．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查由命题的真假求参数取值范围，当一个命题为假命题时，其否定一定是真命题，从真命题角度求解比较容易理解，易得出解题方法．‎ ‎15.已知，若关于x的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先分析整数只有是不等式的解，然后根据不等式的解集与二次方程根的关系，确定二次方程根的分布，由此可求解.‎ ‎【详解】记题中不等式的解集为，易知，而，因此只有，∴，‎ ‎∴设方程的两根为，则有，，‎ 记，，∴，此时恒成立，若，（∵），此时原不等式为，解集为，满足题意，若，则，∴，，∴（∵），综上的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查解一元二次不等式，解题关键是掌握“三个二次”的关系，即二次方程的解，二次函数图象与一元二次不等式的解集之间存在的联系.本题不等式的解集问题最终转化为二次方程根的分布问题.‎ 三、解答题 ‎16.已知椭圆对称轴为坐标轴，离心率且经过点，求该椭圆的标准方程.‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由离心率得，从而可得，按焦点在轴和轴分类设椭圆方程为和，再代入点的坐标后可求解.‎ ‎【详解】依题意，得：，又，即，即，‎ 当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆方程为：，‎ 点在椭圆上，所以，，即，解得：，‎ 所以，椭圆方程为：；‎ 当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆方程为：，‎ 点在椭圆上，所以，，即，解得，‎ 所以，椭圆方程为：‎ 综上：椭圆方程为：或.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程，在不确定焦点所在位置时，必须分类讨论.当然如果已知椭圆过两点，可设方程为或 ()，代入两点坐标解出，而不必分类设方程.‎ ‎17.记为等差数列的前项和，已知，．‎ ‎ （1）求的通项公式；‎ ‎ （2）求，并求的最小值．‎ ‎【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.‎ 详解：（1）设{an}的公差为d，由题意得‎3a1+3d=–15．‎ 由a1=–7得d=2．‎ 所以{an}的通项公式为an=2n–9．‎ ‎（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．‎ 所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．‎ 点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.‎ ‎18.已知不等式的解集为或.‎ ‎（1）求实数a，b的值；‎ ‎（2）解不等式.‎ ‎【答案】（1）；（2）答案不唯一，见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）题意说明是方程的解，代入可得，把代入可求得原不等式的解集，从而得值；‎ ‎（2）因式分解后讨论和6的大小可得不等式的解集.‎ ‎【详解】（1）依题意，得：，解得，‎ 所以，不等式为，解得，或，所以，‎ 所以，；‎ ‎（2）不等式为：，即，‎ 当时，解集为 当时，解集为 当时，解集为 ‎【点睛】本题考查解一元二次不等式，考查一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，在解含参数的一元二次不等式时要注意分类讨论.‎ ‎19.若数列的前项和，且，等比数列的前项和，且.‎ ‎（1）求和的通项公式 ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）,；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据求解通项公式，同理根据求解的通项公式，都要注意的验证；（2）符合等差乘以等比的形式，用错位相减法完成求和.‎ ‎【详解】（1）由，‎ 得：，‎ ‎∵符合公式，‎ 同理：由，‎ 推得：，‎ ‎∵是等比数列，‎ ‎∴‎ 或：‎ ‎（2），是其前项和，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 两式相减得：‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查求数列的通项以及错位相减法求和，难度一般.（1）当一个数列的通项公式符合：等差等比的形式，此时对数列求和用错位相减法；（2）利用求解通项公式时，一定要记得检验的情况.‎ ‎20.已知椭圆的右焦点为，A是椭圆短轴的一个端点，直线 AF与椭圆另一交点为B，且.‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）若斜率为1的直线l交椭圆于C，D，且CD为底边的等腰三角形的顶点为，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）右焦点为，则，设，，由可得点坐标（用表示），代入椭圆方程可解得；‎ ‎（2）直线l方程，，直线方程与椭圆方程联立后可得（注意），中点为，由可求得（满足），然后计算的值.‎ ‎【详解】（1）∵右焦点为，设,∴，‎ ‎∵A是椭圆短轴的一个端点，直线AF与椭圆另一交点为B，且.‎ 设，∴，∴.‎ 代入椭圆方程，得，‎ ‎∴椭圆方程为.‎ ‎（2）设直线l方程，得，‎ ‎，.‎ ‎∴，，，，‎ 又∵CD为底边的等腰三角形的顶点为，‎ ‎∴设CD中点为M，则，即.，∴，‎ ‎∴，得，满足.‎ ‎∴，，，，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆的位置关系问题.在直线与椭圆相交时，可设交点坐标为，设直线方程，直线方程与椭圆方程联立后可得，把代入题中的条件可得参数值或参数范围，这就是解析几何中的“设而不求”思想.‎