2020九年级数学下册 第2章垂径定理

2020九年级数学下册 第2章垂径定理

‎2.3　垂径定理 知|识|目|标 ‎1．通过圆的对称性折叠操作，理解垂径定理．‎ ‎2．通过对垂径定理的理解，采用转化和对称思想解决有关直角三角形的计算与证明问题．‎ ‎3．在掌握垂径定理的基础上，能应用垂径定理解决实际生活中的问题.‎ 目标一　理解垂径定理 例1 教材补充例题如图2－3－1所示的图形中，哪些图形能得到AE＝BE的结论，哪些不能，为什么？‎ ‎ ①　　 　 　②　 　 　　③　 　 　　④‎ 图2－3－1‎ ‎【归纳总结】理解垂径定理的“三点注意”：‎ ‎(1)这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线(线段)，其本质是“过圆心”；‎ ‎(2)垂径定理中的弦为直径时，结论仍然成立；‎ ‎(3)平分弦所对的两条弧，是指平分弦所对的劣弧和优弧，不要漏掉优弧．‎ 目标二　能运用垂径定理进行计算或推理证明 例2 教材补充例题如图2－3－2，⊙O的半径为17 cm，弦AB∥CD，AB＝30 cm，CD＝16 cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD之间的距离．‎ 5‎ 图2－3－2‎ ‎【归纳总结】垂径定理中常用的两种辅助线：‎ ‎(1)若已知圆心，则作垂直于弦的直径；‎ ‎(2)若已知弦、弧的中点，则作弦、弧中点的连线或连半径等．‎ 目标三　能利用垂径定理解决实际问题 例3 教材补充例题赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图2－3－3，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约为10米，则桥弧AB所在圆的半径R＝________米．‎ 图2－3－3‎ 图2－3－4‎ ‎【归纳总结】‎ ‎1．垂径定理基本图形的四变量、两关系：‎ ‎(1)四变量：如图2－3－4，弦长a，圆心到弦的距离d，半径r，弧的中点到弦的距离(弓形高)h，这四个变量知任意两个可求其他两个．‎ ‎(2)两关系：①＋d2＝r2；②h＋d＝r.‎ ‎2．垂径定理在应用中常作的辅助线：‎ 作垂线，连半径，构造直角三角形．‎ ‎3．垂径定理在应用中常用的技巧：‎ 设未知数，根据勾股定理列方程．‎ 5‎ 知识点　垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条____，并且平分________________．‎ ‎[点拨] (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．‎ ‎(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．‎ ‎(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．‎ 已知CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB＝10，CD＝8，求BE的长．‎ 解：如图2－3－5，连接OC，则OC＝5.‎ 图2－3－5‎ ‎∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，‎ CD＝8，‎ ‎∴CE＝CD＝4.‎ 在Rt△OCE中，‎ OE＝＝3，‎ ‎∴BE＝OB＋OE＝5＋3＝8.‎ 以上解答完整吗？若不完整，请进行补充．‎ 5‎ 5‎ 教师详解详析 ‎【目标突破】‎ 例1　解：①②能，③④不能．理由略．‎ 例2　[解析] 如图，过圆心O作弦AB的垂线，易证它也与弦CD垂直，由垂径定理知AE＝BE，CF＝DF，根据勾股定理可求OE，OF的长，进而可求出AB和CD之间的距离．‎ 解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，连接OA，OC.∵AB∥CD，∴OF⊥CD.‎ 在Rt△OAE中，‎ ‎∵OA＝17 cm，AE＝BE＝AB＝15 cm，‎ ‎∴OE＝＝8(cm)．‎ 同理可求OF＝＝15(cm)．‎ ‎∵圆心O位于AB，CD的上方，‎ ‎∴EF＝OF－OE＝15－8＝7(cm)．‎ 即AB和CD之间的距离是7 cm.‎ 例3　[答案] 25‎ ‎[解析] 根据垂径定理，得AD＝AB＝‎20米．在Rt△AOD中，根据勾股定理，得R2＝202＋(R－10)2，解得R＝25(米)．‎ ‎【总结反思】‎ ‎[小结] 知识点　弦　弦所对的两条弧 ‎[反思] 不完整．‎ 补充：若垂足E在线段OA上，则BE＝OB＋OE＝5＋3＝8；‎ 若垂足E在线段OB上，‎ 则BE＝OB－OE＝5－3＝2.‎ 综上所述，BE的长为8或2.‎ 其长度保持不变．‎ 5‎