【数学】2018届一轮复习人教A版第四章第2讲平面向量基本定理及坐标表示学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第四章第2讲平面向量基本定理及坐标表示学案

第2讲　平面向量基本定理及坐标表示 ‎,　　　　　　 　　[学生用书P89])‎ ‎1．平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．‎ 其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．‎ ‎2．平面向量的坐标运算 ‎(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，‎ λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．‎ ‎(2)向量坐标的求法 ‎①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．‎ ‎②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，‎ ‎||＝．‎ ‎3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．‎ ‎1．辨明三个易误点 ‎(1)注意能作为基底的两个向量必须是不共线的．‎ ‎(2)注意运用两个向量a，b共线坐标表示的充要条件应为x1y2－x2y1＝0.‎ ‎(3)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．‎ ‎2．有关平面向量的两类本质 平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．‎ 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键．‎ ‎1. 下列哪组向量可以作为平面向量的一组基底(　　)‎ A．e1＝(－2，4)，e2＝(1，－2)‎ B．e1＝(4，3)，e2＝(－3，8)‎ C．e1＝(2，3)，e2＝(－2，－3)‎ D．e1＝(3，0)，e2＝(4，0)‎ ‎　B　[解析] 对于A，e1＝－2e2，对于C，e1＝－e2，对于D，e1＝e2，对于B，不存在λ∈R，使e1＝λe2，故选B.‎ ‎2. 向量a，b满足a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，则b为(　　)‎ A．(－3，4)　　　　　　　　 B．(3，4)‎ C．(3，－4) D．(－3，－4)‎ ‎　A　[解析] 由a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，8)，所以b＝(－6，8)＝(－3，4)，故选A.‎ ‎3．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)‎ A．(－7，－4) B．(7，4)‎ C．(－1，4) D．(1，4)‎ ‎　A　[解析] 法一：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，‎ 所以从而＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A.‎ 法二：＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，‎ ＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．‎ 故选A.‎ ‎4．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，3)，若ma－nb与2a＋b共线(其中m，n∈R且n≠0)，则＝(　　)‎ A．－2 B．2‎ C．－ D． ‎　A　[解析] 因为ma－nb＝(m＋2n，2m－3n)，2a＋b＝(0，7)，ma－nb与2a＋b共线，所以m＋2n＝0，即＝－2，故选A.‎ ‎5. 已知A(－2，－3)，B(2，1)，C(1，4)，D(－7，t)，若与共线，则t＝________．‎ ‎[解析]　＝(2，1)－(－2，－3)＝(4，4)，‎ ＝(－7，t)－(1，4)＝(－8，t－4)．‎ 因为与共线，‎ 所以4(t－4)－4×(－8)＝0.‎ 即4t＋16＝0，所以t＝－4.‎ ‎[答案] －4‎ ‎　平面向量基本定理及其应用[学生用书P89]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)已知a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)，则c等于(　　)‎ A．－a＋b　　　　　　 B．a－b C．－a－b D．－a＋b ‎(2)(2017·江西南昌二模)如图，在△ABC中，设＝a，＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则＝(　　)‎ A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b ‎【解析】　(1)设c＝λa＋μb，‎ 所以(－1，2)＝λ(1，1)＋μ(1，－1)，‎ 所以 所以 所以c＝a－b.‎ ‎(2)如图，连接BP，则＝＋＝b＋，①‎ ＝＋＝a＋－，②‎ ‎①＋②，得2＝a＋b－，③‎ 又＝＝(－)＝，④‎ 将④代入③，得2＝a＋b－，‎ 解得＝a＋b.‎ ‎【答案】　(1)B　(2)C 用平面向量基本定理解决问题的一般思路 ‎(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．‎ ‎(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．(2017·潍坊模拟)在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP＝AB，BQ＝BC，若＝a，＝b，则＝(　　)‎ A．a＋b B．－a＋b C．a－b D．－a－b ‎　A　[解析] 由题意知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A.‎ ‎2．(2017·绵阳模拟)在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值为________．‎ ‎[解析] 法一：因为B，P，N三点共线，‎ 所以∥，‎ 设＝λ，即－＝λ(－)，＝＋，①‎ 又＝，所以＝2，‎ 所以＝m＋＝m＋，②‎ 结合①②，由平面向量的基本定理可得＝m，‎ ＝，得m＝.‎ 法二：因为B，P，N三点共线，‎ 所以＝t＋(1－t)＝t＋(1－t)，所以，解得m＝t＝.‎ ‎[答案] ‎　平面向量的坐标运算[学生用书P90]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.‎ ‎(1)求3a＋b－3c；‎ ‎(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎(3)求M、N的坐标及向量的坐标．‎ ‎【解】　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．‎ ‎(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)‎ ‎＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．‎ ‎(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，‎ 所以解得 ‎(3)设O为坐标原点，因为＝－＝3c，‎ 所以＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．‎ 所以M(0，20)．又因为＝－＝－2b，‎ 所以＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，‎ 所以N(9，2)．所以＝(9，－18)．‎ 平面向量坐标运算的技巧 ‎(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．‎ ‎(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4，3)，＝(1，5)，则等于(　　)‎ A．(－2，7)　　　　　　　　　 B．(－6，21)‎ C．(2，－7) D．(6，－21)‎ ‎　B　[解析] ＝3＝3(2－)＝6－3＝(6，30)－(12，9)＝(－6，21)．‎ ‎2．(2017·开封月考)平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C(－1，c)(c＞0)，且||＝2，若＝λ＋μ，则实数λ，μ的值分别是________．‎ ‎[解析] 因为||＝2，‎ 所以||2＝1＋c2＝4，‎ 因为c＞0，所以c＝.‎ 因为＝λ＋μ，‎ 所以(－1，)＝λ(1，0)＋μ(0，1)，‎ 所以λ＝－1，μ＝.‎ ‎[答案] －1， ‎　平面向量共线的坐标表示(高频考点)[学生用书P90]‎ 平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，属容易题．‎ 高考对平面向量共线的坐标表示的考查主要有以下三个命题角度：‎ ‎(1)利用两向量共线求参数； ‎ ‎(2)利用两向量共线的条件求向量坐标；‎ ‎(3)三点共线问题．‎ ‎[典例引领]‎ ‎　已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．‎ ‎(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；‎ ‎(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．‎ ‎【解】　(1)因为a＝(1，0)，b＝(2，1)，‎ 所以ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，‎ a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)，‎ 因为ka－b与a＋2b共线，‎ 所以2(k－2)－(－1)×5＝0，‎ 所以k＝－.‎ ‎(2)＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，‎ ＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．‎ 因为A，B，C三点共线，‎ 所以∥，‎ 所以8m－3(2m＋1)＝0，‎ 所以m＝.‎ ‎(1)向量共线的两种表示形式 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.‎ ‎(2)两向量共线的充要条件的作用 判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，‎ 利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．　 ‎ ‎[题点通关]‎ ‎ 角度一　利用两向量共线求参数 ‎1．(2017·广州一模)设向量a＝(x，1)，b＝(4，x)，若a，b方向相反，则实数x的值为(　　)‎ A．0　　　　　　　　　　　 B．±2‎ C．2 D．－2‎ ‎　D　[解析] 由题意得x2－1×4＝0，解得x＝±2.当x＝2时，a＝(2，1)，b＝(4，2)，此时a，b方向相同，不符合题意，舍去；当x＝－2时，a＝(－2，1)，b＝(4，－2)，此时a，b方向相反，符合题意．‎ ‎ 角度二　利用两向量共线的条件求向量坐标 ‎2．已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为________．‎ ‎[解析] 法一：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4，4λ)．‎ 又＝－＝(－2，6)，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3，3)，‎ 所以P点的坐标为(3，3)．‎ 法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)，且与共线，所以＝，即x＝y.‎ 又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且与共线，‎ 所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，‎ 所以P点的坐标为(3，3)．‎ ‎[答案] (3，3)‎ ‎ 角度三　三点共线问题 ‎3．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A、B、C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是(　　)‎ A．k＝－2 B．k＝ C．k＝1 D．k＝－1‎ ‎　C　[解析] 若点A、B、C不能构成三角形，则向量，共线，因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，所以1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.‎ ‎,　　　　　　　 　　[学生用书P261(独立成册)])‎ ‎1．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－2)．若实数k与向量c满足a＋2b＝kc，则c可以是(　　)‎ A．(，－1)　　　　　　　　　 B．(－1，－)‎ C．(－，－1) D．(－1，)‎ ‎　D　[解析] 因为a＝(，1)，b＝(0，－2)，‎ 所以a＋2b＝(，－3)＝－(－1，)，‎ 故向量c可以是(－1，)．‎ ‎2. 如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则(　　)‎ A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ ‎　A　[解析] 由题意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝.‎ ‎3．已知平面向量a＝(1，－2)，b＝(2，m)，若a∥b，则3a＋2b＝(　　)‎ A．(7，2)　　　　　　　　 B．(7，－14)‎ C．(7，－4) D．(7，－8)‎ ‎　B　[解析] 因为a∥b，‎ 所以m＋4＝0，‎ 所以m＝－4，‎ 所以b＝(2，－4)，‎ 所以3a＋2b＝(7，－14)．‎ ‎4．已知在▱ABCD中，＝(2，8)，＝(－3，4)，对角线AC与BD相交于点M，则＝(　　)‎ A． B． C． D． ‎　B　[解析] 因为在▱ABCD中，有＝＋，＝，所以＝(＋)＝×(－1，12)＝，故选B.‎ ‎5．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝，||＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)‎ A．2 B． C．2 D．4 ‎　A　[解析] 因为||＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又＝λ＋μ，所以(，)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.‎ ‎6．(2017·洛阳统考)如图，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是(　　)‎ A．(0，1) B．(1，＋∞)‎ C．(－∞，－1) D．(－1，0)‎ ‎　D　[解析] 由点D是圆O外一点，可设＝λ(λ＞1)，则＝＋λ＝λ＋(1－λ).又C，O，D三点共线，令＝－μ(μ＞1)，则＝－－·(λ＞1，μ＞1)，所以m＝－，n＝－，则m＋n＝－－＝－∈(－1，0)．‎ ‎7．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4，3)，＝(1，5)，则＝________．‎ ‎[解析]　＝－＝(－3，2)，‎ 所以＝2＝(－6，4)．‎ ＝＋＝(－2，7)，‎ 所以＝3＝(－6，21)．‎ ‎[答案] (－6，21)‎ ‎8．已知向量a＝，b＝(x，1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x的值为________．‎ ‎[解析] a－2b＝，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，‎ 由已知(a－2b)∥(2a＋b)，‎ 显然2a＋b≠0，‎ 故有＝λ(16＋x，x＋1)，λ∈R，‎ 所以⇒x＝4(x>0)．‎ ‎[答案] 4‎ ‎9．已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，||＝2||，则向量的坐标是________．　‎ ‎[解析] 由点C是线段AB上一点，||＝2||，得＝－2.设点B为(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2)，即解得所以向量的坐标是(4，7)．‎ ‎[答案] (4，7)‎ ‎10．在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M、N分别为CD、BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．‎ ‎[解析] 由＝λ＋μ，得＝λ·(＋)＋μ·(＋)，则＋＋＝0，得＋＋＝0，得＋＝0.又与不共线，所以解得，‎ 所以λ＋μ＝.‎ ‎[答案] ‎11．(2017·太原模拟)已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，＝t1＋t2.‎ ‎(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；‎ ‎(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线．‎ ‎[解] (1)＝t1＋t2 ‎＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2)．‎ 当点M在第二或第三象限时，有 故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0.‎ ‎(2)证明：当t1＝1时，由(1)知＝(4t2，4t2＋2)．‎ 因为＝－＝(4，4)，‎ ＝－＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2，且有公共点A，所以不论t2为何实数，A、B、M三点都共线．‎ ‎12．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为(　　)‎ A．(2，0) B．(0，－2)‎ C．(－2，0) D．(0，2)‎ ‎　D　[解析] 因为a在基底p，q下的坐标为(－2，2)，‎ 即a＝－2p＋2q＝(2，4)，‎ 令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，‎ 所以即 所以a在基底m，n下的坐标为(0，2)．‎ ‎13. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．‎ ‎[解] 以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，‎ 则A(1，0)，B，‎ 设∠AOC＝α，则C(cos α，sin α)，‎ 由＝x＋y，得 所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α，‎ 所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin，‎ 又α∈，‎ 所以α＋∈，‎ 所以sin∈，‎ 故x＋y的最大值为2.‎ ‎14. 如图，设Ox，Oy为平面内相交成60°角的两条数轴，e1、e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量＝xe1＋ye2，则把有序实数对(x，y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标．若的坐标为(1，1)．‎ ‎(1)求||；‎ ‎(2)过点P作直线l分别与x轴、y轴正方向交于点A、B，试确定A，B的位置，使△AOB的面积最小，并求出最小值．‎ ‎[解] (1)过点P作x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于点M、N.‎ ‎||＝1，||＝||＝1，∠ONP＝120°，‎ 所以||＝‎ ＝.‎ ‎(2)设||＝x，||＝y.‎ ＝m＋n(m＋n＝1)，‎ 则＝m＋n＝mxe1＋nye2.‎ 得⇒＋＝1.‎ S△AOB＝||||sin 60°＝xysin 60°＝xy.‎ 因为＋＝1≥，所以≥2，S△AOB＝xy≥，‎ 当且仅当x＝y＝2，即当A(2，0)，B(0，2)时，△AOB面积最小，最小值为.‎