高考文科数学复习备课课件：第五节　指数与指数函数

高考文科数学复习备课课件：第五节　指数与指数函数

文数 课标 版 第五节　指数与指数函数 1.指数幂的概念 (1)根式的概念 教材研读 根式的概念 符号表示 备注 如果①      x n = a      ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根 n >1且 n ∈N * 当 n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个② 　正数     ,负数的 n 次方根是一个③ 　负数       零的 n 次方根是零 当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有④ 　两个     ,它们互为⑤ 　相反数     ±   负数没有偶次方根 (2)两个重要公式   =   (   ) n =⑨      a      (注意 a 必须使   有意义). 2.有理数指数幂 (1)分数指数幂的表示 (i)正数的正分数指数幂:   =⑩             ( a >0, m , n ∈N * , n >1). (ii)正数的负分数指数幂:   =               =               ( a >0, m , n ∈N * , n >1). (iii)0的正分数指数幂是   　0     ,0的负分数指数幂无意义. (2)有理数指数幂的运算性质 (i) a r a s =        a r + s      ( a >0, r , s ∈Q). (ii)( a r ) s =        a rs      ( a >0, r , s ∈Q). (iii)( ab ) r =        a r b r      ( a >0, b >0, r ∈Q). 3.指数函数的图象与性质 a >1 0< a <1 图象     定义域       R     值域   　(0,+ ∞ )     性质 过定点   　(0,1)     当 x >0时,        y >1     ; 当 x <0时,   　0< y <1     当 x >0时,   　0< y <1     ; 当 x <0时,        y >1     在(- ∞ ,+ ∞ )上是   　单调增函数     在(- ∞ ,+ ∞ )上是   　单调减函数       　　判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“ × ”) (1)   与(   ) n 都等于 a ( n ∈N * ).   ( × ) (2)当 n ∈N * 时,(   ) n 总有意义.   ( × ) (3)分数指数幂   可以理解为   个 a 相乘.   ( × ) (4)函数 y =3·2 x 与 y =2 x +1 都不是指数函数.   (√) (5)若 a m < a n ( a >0且 a ≠ 1),则 m < n .   ( × )   1.计算[(-2) 6   -(-1) 0 的结果为   (　　) A.-9　    B.7　    C.-10　    D.9 答案     B　原式=   -1=2 3 -1=7.故选B. 2.化简   ( x <0, y <0)得   (　　) A.2 x 2 y 　    B.2 xy 　    C.4 x 2 y 　    D.-2 x 2 y 答案     D　∵ x <0, y <0,∴ 4   =(16 x 8 · y 4   =1   ·( x 8   ·( y 4   =2 x 2 | y |=-2 x 2 y . 3.函数 f ( x )=3 x +1的值域为   (　　) A.(-1,+ ∞ )　    B.(1,+ ∞ )　    C.(0,1)　    D.[1,+ ∞ ) 答案     B　∵3 x >0,∴3 x +1>1,即函数 f ( x )=3 x +1的值域为(1,+ ∞ ). 4.函数 f ( x )=2 | x -1| 的大致图象是   (　　)   答案     B　当 x ≥ 1时, f ( x )=2 x -1 ;当 x <1时, f ( x )=2 1- x ,选B. 5.当 a >0且 a ≠ 1时,函数 f ( x )= a x -2 -3的图象必过定点 　　　     . 答案 　(2,-2) 解析 　令 x -2=0,则 x =2, 此时 f ( x )=1-3=-2, 故函数 f ( x )= a x -2 -3的图象必过定点(2,-2). 6.若指数函数 f ( x )=( a -2) x 为减函数,则实数 a 的取值范围为 　　　     . 答案 　(2,3) 解析 　∵ f ( x )=( a -2) x 为减函数, ∴0< a -2<1,即2< a <3. 考点一　指数幂的化简与求值 典例1 　化简下列各式: 考点突破 (1)   +2 -2 ×   -(0.01) 0.5 ; (2)     · b -2 ·(-3   b -1 ) ÷ (4   · b -3   ; (3)   . 解析 　(1)原式=1+   ×   -   =1+   ×   -   =1+   -   =   . (2)原式=-     b -3 ÷ (4   · b -3   =-     b -3 ÷ (     ) =-     ·   =-   ·   =-   . (3)原式=   =   ·   =   . 易错警示 (1)指数幂的运算首先将根式、小数指数幂统一化为分数指数幂,以便 利用法则计算,但应注意:①必须同底数幂相乘,指数才能相加;②运算的 先后顺序.(2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.(3)运算 结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 1-1        +(0.002   -10 × (   -2) -1 +(   -   ) 0 = 　　　     . 答案 　-   解析 　原式=   +   -   +1 =   +50   -10(   +2)+1 =   +10   -10   -20+1=-   . 1-2        ÷   ·   = 　　　     . 答案      a 2 解析 　原式=   ÷   ·   =   (   -2   )·   ·   =   · a ·   = a 2 . 考点二　指数函数的图象及应用 典例2　 (1)函数 f ( x )= a x - b 的图象如图,其中 a , b 为常数,则下列结论正确的 是   (　　)   A. a >1, b <0　    B. a >1, b >0 C.0< a <1, b >0　    D.0< a <1, b <0 (2)若曲线| y |=2 x +1与直线 y = b 没有公共点,则 b 的取值范围是 　　　     . 答案 　(1)D　(2)[-1,1] 解析 　(1)由 f ( x )= a x - b 的图象可以观察出,函数 f ( x )= a x - b 在定义域上单调递 减,所以0< a <1. 函数 f ( x )= a x - b 的图象是在 f ( x )= a x 图象的基础上向左平移得到的,所以 b <0, 故选D. (2)作出曲线| y |=2 x +1(如图),要使该曲线与直线 y = b 没有公共点,只需-1 ≤ b ≤ 1.   方法技巧 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断选项中的图象是 否过这些点,若不满足则排除.(2)对于有关指数型函数的图象问题,一般 是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到 的.特别地,当底数 a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(3)有关指 数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结 合求解. 变式2-1 　若将本例(2)中的条件改为若曲线 y =|2 x -1|与直线 y = b 有两个公 共点,求 b 的取值范围. 解析　 曲线 y =|2 x -1|与直线 y = b 如图所示.由图象可得, b 的取值范围是(0, 1).   变式2-2　 若将本例(2)改为函数 y =|2 x -1|在(- ∞ , k ]上单调递减,求 k 的取值 范围. 解析 　因为函数 y =|2 x -1|的单调递减区间为(- ∞ ,0],所以 k ≤ 0,即 k 的取值 范围为(- ∞ ,0]. 变式2-3 　若将本例(2)改为直线 y =2 a 与函数 y =| a x -1|( a >0且 a ≠ 1)的图象 有两个公共点,求 a 的取值范围. 解析      y =| a x -1|的图象是由 y = a x 的图象先向下平移1个单位,再将 x 轴下方 的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的. 当 a >1时,如图1,两图象只有一个交点,不合题意; 当0< a <1时,如图2,要使两个图象有两个交点,则0<2 a <1,得到0< a <   .   综上可知, a 的取值范围是   . 考点三　指数函数的性质及应用 典例3     (2017福建南平模拟)已知 a =   , b =   , c =   ,则 a 、 b 、 c 的 大小关系是   (　　) A. c < a < b 　    B. a < b < c 　    C. b < a < c 　    D. c < b < a 答案     D 解析 　由指数函数 y =   的性质及-   <-   ,可得 a =   > b =   >1, 由指数函数 y =   的性质及-   <0可得 c =   <1, ∴ c < b < a ,故选D. 方法技巧 指数式值的大小比较的常见类型:同底不同指数;同指数不同底;底和指 数均不相同.指数式值的大小比较的常用方法:(1)化为相同指数或相同 底数后利用相应函数的单调性;(2)作差或作商法;(3)利用中间量(0或1 等). 3-1     (2015山东,14,5分)已知函数 f ( x )= a x + b ( a >0,且 a ≠ 1)的定义域和值域 都是[-1,0],则 a + b = 　　　     . 答案 　-   解析 　①当 a >1时, f ( x )在[-1,0]上单调递增,则   无解. ②当0< a <1时, f ( x )在[-1,0]上单调递减,则   解得   ∴ a + b =-   . 3-2　 已知函数 f ( x )=   . (1)若 a =-1,求 f ( x )的单调区间; (2)若 f ( x )有最大值3,求 a 的值; (3)若 f ( x )的值域是(0,+ ∞ ),求 a 的值. 解析 　(1)当 a =-1时, f ( x )=   ,令 g ( x )=- x 2 -4 x +3,由于 g ( x )在(- ∞ ,-2)上 单调递增,在(-2,+ ∞ )上单调递减,而 y =   在R上单调递减,所以 f ( x )在(- ∞ ,-2)上单调递减,在(-2,+ ∞ )上单调递增,即函数 f ( x )的单调递增区间是 (-2,+ ∞ ),单调递减区间是(- ∞ ,-2). (2)令 g ( x )= ax 2 -4 x +3, 则 f ( x )=   , 由于 f ( x )有最大值3,所以 g ( x )应有最小值-1, 因此必有   解得 a =1,即当 f ( x )有最大值3时, a 的值等于1. (3)由指数函数的性质知, 要使 f ( x )的值域为(0,+ ∞ ), 应使 y = ax 2 -4 x +3的值域为R, 因此只能 a =0(因为若 a ≠ 0, 则 y = ax 2 -4 x +3为二次函数,其值域不可能为R). 故 a 的值为0.