十年高考高考数学真题分类汇三角函数

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十年高考高考数学真题分类汇三角函数

‎2004-2013年高考数学真题分类汇:三角函数 一、选择填空题 ‎1.(江苏2004年5分)函数y=2cos2x+1(x∈R)的最小正周期为【 】‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】三角函数的周期性及其求法。‎ ‎【分析】把函数y=2cos2x+1(x∈R)化为一个角的一次三角函数的形式,求出周期即可:‎ ‎∵函数y=2cos2x+1=cos2x+2,∴它的最小正周期为:。故选B。‎ ‎2(江苏2005年5分)中,,BC=3,则的周长为【 】‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】正弦定理。‎ ‎【分析】根据正弦定理分别求得AC和AB,最后三边相加整理即可得到答案:‎ 根据正弦定理 ,‎ ‎∴,。‎ ‎∴△ABC的周长为+=‎ ‎=。故选D。‎ ‎3.(江苏2005年5分)若,则=【 】‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】运用诱导公式化简求值,二倍角的余弦。‎ ‎【分析】由可得,即。‎ ‎ 由二倍角的余弦公式,得 ‎。故选A。‎ ‎4.(江苏2006年5分)已知,函数为奇函数,则a=【 】 ‎ ‎(A)0 (B)1  (C)-1  (D)±1‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】函数的奇偶性,三角函数的奇偶性的判断。‎ ‎【分析】∵,,且函数为奇函数,‎ ‎ ∴,即。∴a=0。故选A。‎ ‎5.(江苏2006年5分)为了得到函数的图像,只需把函数的图像上所有的点【 】‎ ‎(A)向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)‎ ‎(B)向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)‎ ‎(C)向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)‎ ‎(D)向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换。‎ ‎【分析】先将的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3‎ 倍(纵坐标不变)得到函数的图像。故选C。‎ ‎7.(江苏2006年5分)在△ABC中,已知BC=12,A=60°,B=45°,则AC=  ▲  ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】正弦定理。‎ ‎【分析】解三角形,已知两角及任一边运用正弦定理,已知两边及其夹角运用余弦定理。因此,由正弦定理得,,解得。‎ ‎8.(江苏2006年5分)= ▲ ‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】弦切互化,同角三角函数基本关系的运用,两角和与差的正弦函数。‎ ‎【分析】在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看”即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化;(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称,例如把所有的切都转化为相应的弦,或把所有的弦转化为相应的切;(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式,如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用。‎ ‎9.(江苏2007年5分)下列函数中,周期为的是【 】‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】三角函数的周期性及其求法。‎ ‎【分析】根据公式对选项进行逐一分析即可得到答案:的周期为:T=4π ‎,排除A;的周期为:T=π,排除B;的周期为:T=8π,排除C;的周期为:T=。故选D。‎ ‎10.(江苏2007年5分)函数的单调递增区间是【 】‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】正弦函数的单调性,两角差的正弦公式。‎ ‎【分析】利用两角差的正弦公式对函数解析式化简整理,从而根据正弦函数的单调性求得答案:‎ ‎∵,∴。‎ ‎∴根据正弦函数的单调性,,即时,函数单调递增。故选D。‎ ‎11.(江苏2007年5分)若,.则  ▲  .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】两角和与差的余弦函数,弦切互化。‎ ‎【分析】先由两角和与差的公式展开,得到,的正余弦的方程组,两者联立解出两角正弦的积与两角余弦的积,再由商数关系求出两角正切的乘积:‎ ‎∵,。‎ ‎∴二式联立,得,。∴。‎ ‎12.(江苏2007年5分)某时钟的秒针端点到中心点O的距离为,秒针均匀地绕点O旋转,当时间时,点A与钟面上标的点B重合,将A,B两点的距离表示成的函数,则 ‎  ▲  ,其中。‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】在实际问题中建立三角函数模型。‎ ‎【分析】由题意知可以先写出秒针转过的角度,整个圆周对应的圆心角是360°,可以算出一秒转过的角度,再乘以时间,连接AB,过圆心向它做垂线,把要求的线段分成两部分,用直角三角形得到结果:‎ ‎∵ ∠AOB=,‎ ‎∴根据直角三角形的边长求法得到。‎ ‎13.(江苏2008年5分)若函数最小正周期为,则  ▲  .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】三角函数的周期公式。‎ ‎【分析】由三角函数的周期公式,得。‎ ‎14.(江苏2008年5分)满足条件的三角形ABC的面积的最大值  ▲  ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】三角形的计算。‎ ‎【分析】设BC=,则AC= ,根据面积公式得=,‎ 根据余弦定理得,代入上式得 ‎=。‎ 由三角形三边关系有,解得。‎ ‎∴当时取最大值。‎ ‎15.(江苏2009年5分)函数(为常数,‎ ‎)在闭区间上的图象如图所示,则= ▲ .‎ ‎【答案】3。‎ ‎【考点】三角函数的周期。‎ ‎【分析】根据函数图象求出函数的周期T,然后求出:‎ 由图中可以看出:,∴。∴。‎ ‎16.(江苏2010年5分)定义在区间上的函数的图像与的图像的交点为P,过点P作PP1⊥轴于点P1,直线PP1与的图像交于点P2,则线段P1P2的长为  ▲  。‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】余弦函数的图象,正切函数的图象。‎ ‎【分析】先将求P1P2的长转化为求的值,再由满足=可求出的值,从而得到答案:‎ 由三角函数的图象,运用数形结合思想,知线段P1P2的长即为的值,且其中的满足=,解得=。∴线段P1P2的长为。‎ ‎17.(江苏2010年5分)在锐角三角形ABC,A、B、C的对边分别为a、b、c,,则=  ▲  _。‎ ‎【答案】4。‎ ‎【考点】正、余弦定理,同角三角函数基本关系的运用。‎ ‎【分析】∵,‎ ‎ ∴‎ ‎ 。‎ ‎18.(江苏2011年5分)已知 则的值为  ▲  ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】三角函数的和差倍计算。‎ ‎【分析】∵,‎ ‎∴。‎ ‎∴。‎ ‎19.(江苏2011年5分)函数是常数,的部分图象如图所示,则  ▲  ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】三角函数的图象和性质的应用。‎ ‎【分析】由函数图象得,∴,,‎ 再结合三角函数图象和性质知,∴。∴。‎ ‎20. (2012年江苏省5分)设是定义在上且周期为2的函数,在区间上,‎ 其中.若,‎ 则的值为 ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】周期函数的性质。‎ ‎【解析】∵是定义在上且周期为2的函数,∴,即①。‎ ‎ 又∵,,‎ ‎ ∴②。‎ ‎ 联立①②,解得,。∴。‎ ‎11.(2012年江苏省5分)设为锐角,若,则的值为 ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数。‎ ‎【解析】∵为锐角,即,∴。‎ ‎ ∵,∴。∴。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴‎ ‎。‎ ‎7(2013江苏卷1)函数的最小正周期为 。‎ 答案:1.‎ ‎8(2013江苏卷11) 设为锐角,若,则的值为 .‎ ‎【解析】根据,,‎ 因为,所以 ,因为.‎ ‎【点评】重点考查两角和与差的三角公式、角的灵活拆分、二倍角公式的运用.在求解三角函数值时,要注意角的取值情况,切勿出现增根情况.本题属于中档题,运算量较大,难度稍高.‎ 二、解答题 ‎1.(江苏2004年12分)已知0<α<,tan+cot=,求sin()的值.‎ ‎【答案】解:由已知。‎ ‎。‎ ‎∴‎ ‎。‎ ‎【考点】弦切互化,两角差的正弦函数。‎ ‎【分析】根据求得的值,从而根据α的范围求得的值,最后根据两角和公式求得答案。‎ ‎3.(江苏2008年14分)如图,在平面直角坐标系中,以轴为始边作两个锐角,它们的终边分别交单位圆于A,B两点.已知A,B两点的横坐标分别是,.‎ B A x y O ‎(1)求的值; (2)求的值.‎ ‎【答案】解:(1)由已知条件即三角函数的定义可知,‎ ‎∵为锐角故,∴。‎ 同理可得 。‎ ‎∴。‎ ‎∴=。‎ ‎(2),‎ ‎∴由 ,得 。‎ ‎【考点】两角和与差的正切函数。‎ ‎【分析】(1)先由已知条件得 ;再求、,从而求出、;‎ 最后利用=解之。‎ B C D A O P ‎(2)利用(1)把转化为求之,再根据的范围确定角的值。‎ ‎4.(江苏2008年14分)如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两个顶点A,B及CD的中点P处.AB=‎20km,BC=‎10km.为了处理这三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界)且与A,B等距的一点O处,建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道AO,BO,PO.记铺设管道的总长度为ykm.‎ ‎(1)按下列要求建立函数关系式:‎ ‎(Ⅰ)设(rad),将表示成的函数;‎ ‎(Ⅱ)设(km),将表示成的函数; ‎ ‎(2)请你选用(1)中的一个函数关系确定污水处理厂的位置,使铺设的污水管道的总长度最短。‎ ‎【答案】解:(1)(Ⅰ)延长PO交AB于点Q,由条件知PQ 垂直平分AB,‎ 若∠BAO=(rad) ,则, ‎ ‎∴。‎ 又OP=,∴。‎ ‎∴所求函数关系式为。‎ ‎(Ⅱ)若OP=(km) ,则OQ=10-,‎ ‎∴OA =OB=。‎ ‎∴所求函数关系式为。‎ ‎(2)选择函数模型(Ⅰ),‎ ‎,‎ 令0 得sin 。‎ ‎∵,∴=。‎ 当时, ,是的减函数;当时, ,是的增函数 ‎∴当=时,。‎ 这时点P 位于线段AB 的中垂线上,在矩形区域内且距离AB 边km处。‎ ‎【考点】在实际问题中建立三角函数模型。‎ ‎【分析】(1)(Ⅰ)根据题意知PQ垂直平分AB,在直角三角形中由三角函数的关系可推得OP,从而得出y的函数关系式,注意最后要化为最简形式,确定自变量范围。(Ⅱ)已知OP,可得出OQ的表达式,由勾股定理推出OA,易得y的函数关系式。‎ ‎(2)欲确定污水处理厂的位置,使铺设的污水管道的总长度最短也就是最小值问题,(1)中已求出函数关系式,故可以利用导数求解最值,注意结果应与实际情况相符合。‎ ‎5.(江苏2009年14分)科网设向量 ‎(1)若与垂直,求的值;‎ ‎(2)求的最大值;‎ ‎(3)若,求证:∥..网 ‎【答案】解:(1)∵与垂直,∴‎ ‎ 即,‎ ‎ 即 ‎。‎ ‎ ∴。‎ ‎ (2)∵‎ ‎∴当时,取最大值,且最大值为。‎ ‎(3)∵,∴,即 ‎∴,即与共线。‎ ‎∴∥。‎ ‎【考点】向量的基本概念,同角三角函数的基本关系式,二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式。‎ ‎【分析】(1)先根据向量的线性运算求出,可求出的正余弦之间的关系,最后可求正切值。‎ ‎(2)根据向量的求模运算得到的关系,然后根据正弦函数的性质可确定答案。‎ ‎(3)将化成弦的关系整理即可得到,正是∥的充要条件,从而得证。‎ ‎6.(江苏2010年14分)某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位:m),如示意图,垂直放置的标杆BC的高度=‎4m,仰角∠ABE=,∠ADE=。‎ (1) 该小组已经测得一组、的值,tan=1.24,tan=1.20,请据此算出H的值;‎ (2) 该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位:m),使与之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为‎125m,试问d为多少时,-最大?‎ ‎【答案】解:(1)由得,同理:,。‎ ‎∵ AD-AB=DB,故得,解得:。‎ 因此,算出的电视塔的高度H是‎124m。‎ ‎(2)由题设知,得,‎ ‎。‎ ‎∵,(当且仅当时,取等号),‎ ‎∴当时,最大。‎ ‎∵,则,∴当时,-最大。‎ 故所求的是m。‎ ‎【考点】解三角形的实际应用,两角差的正切及不等式的应用。‎ ‎【分析】(1)在Rt△ABE中可得,在Rt△ADE中可得,在Rt△BCD中可得 ,再根据AD-AB=DB即可得到H。‎ ‎(2)先用分别表示出和,再根据两角和公式,求得,再根据均值不等式可知当 时,有最大值即有最大值,得到答案。‎ ‎7.(江苏2010年附加10分)已知△ABC的三边长都是有理数。‎ (1) 求证是有理数;(2)求证:对任意正整数,cosA是有理数。‎ ‎【答案】证明:(1)设三边长分别为,,‎ ‎∵是有理数,∴是有理数, 为正有理数。‎ 又∵有理数集对于除法的具有封闭性,∴必为有理数,∴cosA是有理数。‎ ‎(2)①当时,显然cosA是有理数,‎ 当时,∵,且cosA是有理数, ∴也是有理数。‎ ‎②假设当时,结论成立,即cosA、均是有理数。‎ 当时,‎ ‎,‎ ‎∴。‎ ‎∵cosA,,均是有理数,∴是有理数。‎ ‎∴是有理数。‎ 即当时,结论成立。‎ 综上所述,对于任意正整数,cosA也是有理数。‎ ‎【考点】余弦定理的应用,余弦的两角和公式,数学归纳法。‎ ‎【分析】(1)设出三边为,根据三者为有理数可推断出是有理数,是有理数,从而根据有理数集对于除法的具有封闭性推断出也为有理数,根据余弦定理可知=cosA,因此cosA是有理数。‎ ‎(2)先看当n=1时,根据(1)中的结论可知cosA是有理数,当n=2时,根据余弦的二倍角推断出cos‎2A也是有理数。再假设时,结论成立,从而可知,均是有理数,用余弦的两角和公式分别求得,根据cosA,,均是有理数推断出是有理数是有理数,即 是有理数。从而时成立.最后综合原式得证。‎ ‎8.(江苏2011年14分)在△ABC中,角A、B、C所对应的边为 ‎(1)若 求A的值;‎ ‎(2)若,求的值.‎ ‎【答案】解:(1)由题意知,从而,‎ ‎∴。‎ ‎∵,∴。‎ ‎(2)由,及,得,‎ ‎∴是直角三角形,且。∴。‎ ‎【考点】同角三角函数基本关系式、和差角公式、正余弦定理。‎ ‎【分析】(1)利用两角和的正弦函数化简,求出tanA,然后求出A的值即可。‎ ‎(2)利用余弦定理以及,求出是直角三角形,即可得出的值。也可以由正弦定理得:,而。‎ ‎9.(2012年江苏省14分)在中,已知.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若求A的值.‎ ‎【答案】解:(1)∵,∴,即。‎ ‎ 由正弦定理,得,∴。‎ ‎ 又∵,∴。∴即。‎ ‎ (2)∵ ,∴。∴。‎ ‎ ∴,即。∴。‎ ‎ 由 (1) ,得,解得。‎ ‎ ∵,∴。∴。‎ ‎【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形。‎ ‎【解析】(1)先将表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。‎ ‎ (2)由可求,由三角形三角关系,得到,从而根据两角和的正切公式和(1)的结论即可求得A的值。‎ ‎7、(2013江苏卷18).18.本小题满分16分。如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到。现有甲.乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为。在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到。假设缆车匀速直线运动的速度为,山路长为,经测量,,。‎ ‎(1)求索道的长;‎ ‎(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?‎ ‎(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?‎ C B A ‎18.解:(1)∵,‎ ‎∴∴,‎ ‎ ∴‎ ‎ 根据得 ‎(2)设乙出发t分钟后,甲.乙距离为d,则 ‎∴‎ ‎∵即 ‎∴时,即乙出发分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短。‎ ‎(3)由正弦定理得(m)‎ 乙从B出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走‎710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V ,则 ‎∴∴‎ ‎∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在范围内 法二:解:(1)如图作BD⊥CA于点D,‎ 设BD=20k,则DC=25k,AD=48k,‎ AB=52k,由AC=63k=‎1260m,‎ 知:AB=52k=‎1040m.‎ ‎(2)设乙出发x分钟后到达点M,‎ 此时甲到达N点,如图所示.‎ 则:AM=130x,AN=50(x+2),‎ 由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2 AM·ANcosA=7400 x2-14000 x+10000,‎ 其中0≤x≤8,当x=(min)时,MN最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.‎ ‎(3)由(1)知:BC=‎500m,甲到C用时:=(min).‎ 若甲等乙3分钟,则乙到C用时:+3= (min),在BC上用时: (min) .‎ 此时乙的速度最小,且为:500÷=m/min.‎ 若乙等甲3分钟,则乙到C用时:-3= (min),在BC上用时: (min) .‎ 此时乙的速度最大,且为:500÷=m/min.‎ 故乙步行的速度应控制在[,]范围内.‎ C B A D M N
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