云南省昆明市第一中学2020届高中新课标高三第一次摸底测试 数学(文)(扫描版)

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云南省昆明市第一中学2020届高中新课标高三第一次摸底测试 数学(文)(扫描版)

·1· ·2· ·3· ·4· ·5· 2020 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B D C C A B D C A D D 1. 解析:因为  0=B x x ,所以  1 ,0=−AB ,选 B. 2. 解析: ( )( ) ( )( ) 7i3 - 4i7i =1- i34i34i3 - 4i ++==++z ,选 B. 3. 解析:记 3 名同学及他们所写贺卡分别为 A B C、 、 ,则他们拿到的贺卡的排列方式分别为 ABC , A C B , BAC , B C A , C A B , C B A ,共 6 种,其中对应位置字母都不同的有 , ,共 2 种,则所求概率 21 63p ==,选 D. 4. 解析:因为用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为 45 的样本,其中高三年级抽 12 人, 高二年级抽 16 人,所以高一年级要抽取 45-12-16=17 人,因为该校高中学共有 2700 名学生,所 以各年级抽取的比例是 451 270060= ,所以该校高一年级学生人数为 117102060= 人,选 C. 5. 解析:因为 2 2 c a = , 2a = ,所以 41 42 m− = ,所以 2m = ,选 C. 6. 解析:因为 ( )cos3sin2sin() 6fxxxx =+=+ (  x  -,0 ),所以 5 +666 x− , 所以 11sin()262 x −+ ,所以 ()fx在  - ,0 上的最大值为 1 ,选 A. 7. 解析:因为 9 27S = ,所以 199( ) 272 aa+ = , 59 27a = ,选 5 3a = ,选 B. 8. 解析:连结 AC , 1DC,则 F 为 AC 的中点,所以 EF ∥ 1DC, 因为 11D C DC⊥ , 1D CAD⊥ , 1AD DC D= ,所以 1DC⊥ 平面 11AB C D , 所以 EF ⊥平面 ,选 D. 9. 解析:由 ( ) ( ) ( )e sin cosxf x a b x a b x =  − + +得 ( )00f a b = + = ,又 222ab+=,则 2 1a = , C1 B1A1 C A B D D1 E F ·6· 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5H B A F2F1 O B1 若 1a =− ,则 1b = ,此时 ( ) 2e sinxf x x = −  , 0x = 是 ( )fx的一个极大值点,舍去; 若 1a = ,则 1b =− ,此时 ( ) 2esinxfxx = , 是 的一个极小值点,满足题意,故 , 选 C. 10. 解析:第一次循环: 09=+S , 97=+T ; 第二次循环: 97=+S , 975= + +T ; 第三次循环: 975= + +S , 9 7 5 3= + + +T ; 第四次循环: 9 7 5 3= + + +S , 9 7 5 3 1= + + + +T ; 第五次循环: 97531=++++S , 97531(1)=+++++−T , 此时循环结束,可得 ( )591 252 +==S . 选 A. 11. 解析:如图, minmin=1=51PQPC −−,选 D. 12. 解析:因为 ()fx为偶函数,由题意可知, 2(1)(2)faxfx−+ , 在  )0+, 上为增函数, 所以 212axx−+ ,从而 22212xaxx−−−+ 在 x  R 恒成立,可得 2 12a  且 2 4a  , 所以 22a−   ,选 D. 二、填空题 13. 解析:因为 ab⊥ ,所以320 m+=, 3 2m =− . 14. 解析:因为 311 9aa = ,所以 7 3a = , 2 7 5 3aq a==, q = 3 . 15. 解析:设 AB 与轴交于点 H ,则 3AH c= ,所以 o 2 60AF H=, 所以 o 1 30AF H=,所以 1 23AFc= , 所以 2 3 2 2c c a−=, 所以双曲线 C 的离心率 31 2e += . 16. 解析:由题意可知,设△ PAB 和△ ABC 的外心的半径为 21,rr , O H B A C P O2 O1 ·7· 则 4 60sin 3222 21 === rr , 221 == rr , 12 =HO , 11 =HO , 3=AH , 52 1 2 1 222 =++== OOHOAHAOR , 5=R , 所以球的表面积为  204 2 == RS . 三、解答题 (一)必考题 17. 解:(1)由直方图可知,乙样本中数据在[70,80)的频率为 0 . 0 2 0 1 0 = 0 . 2 0 ,而这个组学生有 10 人,则 10 0 .2 0n = ,得 50n = . ………2 分 由乙样本数据直方图可知(0.0060.0160.0200.040)101 a++++= , 故 0 . 0 1 8a = . ………4 分 (2) 甲样本数据的平均值估计值为 55 0.005+65 0.010+75 0.020+85 0.045+95 0.0201 0( ) = 8 1 . 5 . ………7 分 乙样本数据直方图中前三组的频率之和为 0.006+0.016+0.02010=0.420.50( ) , 前四组的频率之和为 0.006+0.016+0.020+0.040 10=0.82 0.50( ) , 故乙样本数据的中位数在第 4 组,则可设该中位数为80+x , 由 0.006+0.016+0.02010+0.040 =0.50x( ) 得 2x = ,故乙样本数据的中位数为 802=82+ . 根据样本估计总体的思想,可以估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值约为 8 1 . 5 , 文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数约为82 . ………12 分 18. 解:(1)因为 2BC AC= ,所以sin 2sin 2sin( )3A B A= = − , sin3cossinAAA=−,可得 3tan 2A = . ………6 分 (2)因为CD 是角平分线,所以 60ACD = , 由 ,可得 3 21sin 77 A == , 2 2 7cos 77 A == , 所以 3 21sin sin( ) sin cos cos sin 14ADC A ACD A ACD A ACD =  +  =  +  = , ·8· 由 sinsin ACCD ADCA= 可得 21 sin2 7 sin3 321 14 ACACD ADC===  . ………12 分 19. (1)证明:因为正方形 A B C G 中, AB ∥ CG ,梯形 ABED 中, DE ∥ ,所以 ∥ , 所以 DE C G 四点共面; 因为 AG AB⊥ ,所以 AG DE⊥ ,因为 AD DE⊥ , AD AG A=I , 所以 DE ⊥平面 ADG , 因为 DG  平面 A DG ,所以 D E D G⊥ , 在直角梯形 ABED 中, 2AB = , 1DE = , 3BE = ,可求得 2AD = , 同理在直角梯形 G C E D 中,可求得 2DG = ,又因为 2A G B C==, 则 222ADDGAG+=,由勾股定理逆定理可知 ADDG⊥ , 因为 ADDE⊥ , DEDGD =I ,所以 AD ⊥ 平面 D E G , 因为 AD  平面 ABD ,故平面 ABD ⊥ 平面 D E G ,即平面 平面 D E C . ………6 分 (2)在等腰直角三角形 A D G 中, AG 边上的高为 1 ,所以点 D 到平面 ABC 的距离等于 , 因为 DE 与平面 ABC 平行,所以点 E 到平面 的距离 1 1h = , 三角形 ABC 的面积 1 1 22SABBC== , △ B C E 中, BC 边上的高为 2 2 22 BCBE −= , 又因为△ B C E 的面积 2 1 222SBC== , 设点 A 到平面 BCE 的距离为 2h ,由三棱锥 A BCE− 的体积 A BCE E ABCVV−−= , 得 2 2h = ,故点 到平面 的距离为 2 . ………12 分 20. 解:(1)设 11( , )A x y , 22( , )B x y ,直线 :1l y kx=+, 所以 2 4 1 xy y kx  =  =+ 得 2 4 4 0x kx− − = ,所以 12 12 4 4 x x k xx +=  =− , 由 2 14 2x y y x=  = ,所以 ( )1 1 1 1 1 2l y y x x x− = −: , ·9· 即 2 1 11 1 24 xl y x x=−: , 同理 2 2 22 1 24 xlyxx =−: ,联立得 12 0 12 0 22 14 xxxk xxy + ==  = = − , 即 0 1y =− . ………6 分 (2)因为 12,22 xxQF +=− , ( )2121 ,ABxxyy=−− , 所以 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 21202 2 2 x x x x x xQF AB y y− − − = − − = − = , QF AB⊥ ,即 M N A B⊥ , ( ) 2 1212 2444AByykxxk=++=++=+ , 同理 2 4 4MN k=+, ( )22 22 111 81182322AMBNSAB MNkk kk ==++=++  , 当且仅当 =1k  时,四边形 A M B N 面积的最小值为 32. ………12 分 21. 解:(1) ( ) ( )1 exxfxxa x − =−, 令 ( ) exgxxa =−,  1,2x  , 则 ( ) ( )1e0xgxx =+ ,则 ( )gx在 1,2 上单调递增, ①.若 ea  ,则 ( ) ( )1e0gxga =− ,则 ( ) ( ) ( )1 0xgxfx x − =,则 ( )fx在  1 ,2 上单调递增; ②.若 22ea  ,则 ( ) ( ) 22 2e 0g x g a = −  ,则 ( ) ( ) ( )1 0xg xfx x − =,则 在 上单调 递减; ③.若 2e 2ea ,则 ( )1e0ga=− , ( ) 222e0ga=− ,又 在 上单调递增, 结合零点存在性定理知:存在唯一实数 ( )0 1,2x  ,使得 ( )0 0gx = , 此时函数 ( )fx在区间( )1,2 内有极小值点 0x ,矛盾. 综上, ea  或 22ea  . ………6 分 ·10· (2) 由(1)可知, ( ) ( )2 e lnxf x x a x ax= − + − ①.若 ea  ,则 ( )fx在  1,2 上单调递增,则 ( )1emfa==−− ,而 ( )2ln 22Mfaa==− , 则 ( )ln 21eMma−=−+ 是关于 a 的减函数,故 ( )eln 21eeln 2Mm−−+= ; ②.若 22ea  ,则 在 上单调递减,则 ( )1eMfa==−− ,而 ( )2ln 22mfaa==− ; 则 ( )1ln 2eMma−=−− 是关于 的增函数,故 ( )2222e1ln 2e2ee2eln 2Mm−−−=−− ; 因为( ) ( )2e 1 2eln 2 ln 2 2 1 2 1 ln 2 0.024 0ee− − − = − − +  −  ,故 ( )e 2e 1 2eln 2 eln 2− −  , 综上, )222ee2eln 2,Mm−−−+ . ………12 分 (二)选考题:第 22、23 题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题记分。 22. 解:(1)直线 l 的普通方程为: 50xy−−= ,曲线 C 的直角坐标方程为: 22(2)4xy++= .……… 5 分 (2)曲线 的参数方程为 2cos (22sin x y   =  = −+ 为参数), 点 P 的直角坐标为 (33)−−, ,中点 32cos( 2 −+M , 52sin )2 −+ , 则点 M 到直线 的距离 22 cos()8 4 22 d  +− = , 当 cos()1 4  +=时, d 的最小值为 2 2 1 − , 所以 PQ 中点 到直线 的距离的最小值为 2 2 1− . ………10 分 23. 解:(1)要证不等式等价于( )2 3abc++ ,因为 ( ) ( )2 21 23 2 2 2 a b b c a ca b c a b cab bc ac + + ++ + = + + ++ +  ++ +=, 所以 3abc+ +  ,当且仅当 1 3abc=== 时取等号. ………5 分 (2)因为( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 3 11abc+ + + + + = ,所以 2 3 2 3 2 3+111 11 11 a b c+ + ++=, 又因为 23011 + a , 23011 + b , 2 +3 011 c ,所以 2 3 2 3 2 3 311 11 11 abc+ + ++ +  , ·11· 所以 23232333abc+++++ ,当且仅当 1 3abc= = = 时取等号. ………10 分
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