【数学】福建省漳州市2020届高三第一次教学质量检测卷试题（文）（解析版）

【数学】福建省漳州市2020届高三第一次教学质量检测卷试题（文）（解析版）

福建省漳州市2020届高三第一次教学质量检测卷 数学试题（文）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】或，，‎ 因此，或.‎ 故选：B.‎ ‎2.已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，在等式两边同时除以得，，‎ 因此，复数的虚部为.‎ 故选：D.‎ ‎3.如图，、、、为正方形各边上的点，图中曲线为圆弧，两圆弧分别以、为圆心，、为半径（为正方形的中心）.现向该正方形内随机抛掷枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设正方形的边长为，则该正方形的对角线长为，则扇形的半径为，‎ 两个扇形的面积之和为，正方形的面积为，‎ 因此，该枚豆子落在阴影部分的概率为.‎ 故选：A.‎ ‎4.记为正项等比数列的前项和.若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设等比数列的公比为，则，，由，可得，解得.‎ 因此，.‎ 故选：C.‎ ‎5.函数的大致图象为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，可得或，解得或，‎ 故选：B.‎ ‎6.在中，角、、所对的边分别为、、，若、、成等差数列，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，由正弦定理得，设，则，‎ 由于、、成等差数列，则，所以，，‎ ‎，，由锐角三角函数定义可得，‎ 因此，.‎ 故选：A.‎ ‎7.若实数，满足，则的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出不等式组所表示的可行域，如下图中的阴影部分区域所示：‎ 则为直线在轴上的截距，平移直线，‎ 当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，‎ 此时取得最大值，即.‎ 故选：C.‎ ‎8.、、表示空间中三条不同的直线，、表示不同的平面，则下列四个命题中正确的是（ ）‎ A. 若，，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，，，则 D. 若，，，，则 ‎【答案】D ‎【解析】对于A选项，若，，，则与无公共点，所以与平行或异面，A选项错误；‎ 对于B选项，若，，，，则与平行或相交，B选项错误；‎ 对于C选项，若，，，，，则与斜交或垂直，C选项错误；‎ 对于D选项，若，，，，由平面与平面垂直的判定定理可得，D选项正确.‎ 故选：D.‎ ‎9.已知、为椭圆：的左、右焦点，过点作斜率为的直线与交于、两点，则的面积为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】椭圆的左焦点为，右焦点为，‎ 设点、，由题意可知，直线的方程为，即，‎ 将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得，‎ ‎，由韦达定理得，.‎ 所以，的面积为.‎ 故选：A.‎ ‎10.若，则（ ）‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由二倍角的正切公式得，‎ 整理得，‎ 解得或，所以，.‎ 当时，原式；当时，原式.‎ 综上所述，.‎ 故选：D.‎ ‎11.已知、为双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线，交的左、右两支于、两点，若为线段的中点且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设双曲线的离心率为，则，如下图所示：‎ 为线段的中点，且，由中垂线的性质可得，‎ 由双曲线的定义可得，，‎ ‎，同理可得，‎ 由勾股定理得，即，‎ 整理得，等式两边同时除以得，解得.‎ 故选：B.‎ ‎12.已知函数，若与有三个公共点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】如下图所示：‎ 可知函数与的图象均过原点，则原点为两个函数图象的一个公共点.‎ 当时，，则.‎ 当直线与函数的图象相切于原点时，则，‎ 当直线与函数的图象相切时，‎ 由，即，，解得，‎ 且有，则.‎ ‎①当时，若直线过点时，则，‎ 若时，直线与函数的图象有三个交点；‎ ‎②当时，直线与函数的图象有三个交点；‎ ‎③当时，若时，直线与函数的图象有三个交点.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ 故选：C.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.函数在点处的切线方程为，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，则，‎ 由于函数在点处的切线方程为，‎ 则，解得，因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎14.已知向量、满足，，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得，‎ 因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎15.已知函数相邻的两个对称轴之间的距离为，的图象经过点，则函数在上的单调递增区间为______.‎ ‎【答案】和 ‎【解析】由题意可知，函数的最小正周期，，，‎ 将点的坐标代入函数的解析式得，‎ 得，，，‎ 所以，，解得，则.‎ 令，解得，‎ 所以，函数在上的增区间为.‎ ‎，因此，函数在区间上的单调递增区间为和.‎ 故答案为：和.‎ ‎16.在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的体积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】取线段的中点，连接、，如下图所示：‎ ‎，为线段的中点，则，‎ ‎，，，则，‎ ‎，‎ ‎，，，，，‎ ‎，，平面，‎ 三棱锥的外接球球心在直线上，设该球半径为，则，‎ 由勾股定理得，即，解得.‎ 因此，三棱锥的外接球的体积为.‎ 故答案为：.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.已知数列满足，.‎ ‎（1）证明：数列为等差数列；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎（1）证明：由得，‎ 又，所以数列首项为，公差为的等差数列；‎ ‎（2）解：由（1）得，，所以.‎ 所以，所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎18.高三学生为了迎接高考，要经常进行模拟考试，锻炼应试能力，某学生从升入高三到高考要参加次模拟考试，下面是高三第一学期某学生参加次模拟考试的数学成绩表：‎ 模拟考试第次 考试成绩分 ‎（1）已知该考生的模拟考试成绩与模拟考试的次数满足回归直线方程，若高考看作第次模拟考试，试估计该考生的高考数学成绩；‎ ‎（2）把次模拟考试的成绩单放在五个相同的信封中，从中随机抽取个信封研究成绩，求抽取的个信封中恰有个成绩不等于平均值的概率.‎ 参考公式：，.‎ 解：（1）可知，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 可知，，‎ 可知回归直线方程为，‎ 当时，可得，估计该学生高考数学的考试成绩为分；‎ ‎（2）记五个信封分别为、、、、，其中装有分成绩单的信封分别为、. 从个信封中随机抽取个的所有可能结果为、、、、、、、、、，共种. ‎ 其中抽取的个信封中恰有个成绩不等于平均值的所有可能结果为、、、、、，共种，‎ 所以抽取的个信封中恰有个成绩不等于平均值的概率为.‎ ‎19.如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面平面，，，为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎（1）证明：如图，连接交于，连接，则为的中点.‎ 又为上的中点，所以.‎ 又平面，平面，所以平面；‎ ‎（2）解：如图，取的中点，连接，‎ 因为，，所以，，，‎ 又平面平面，平面平面，平面，‎ 所以平面.‎ 同理可得平面，、平面，，.‎ 又因为，，所以平面，‎ 平面，则，所以，‎ 所以，又，‎ 设点到平面的距离为，‎ 由，得，‎ 所以，即点到平面距离为.‎ ‎20.过抛物线的焦点且斜率为的直线与抛物线交于、两点，.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）点为抛物线上一点，且，求面积的最大值.‎ 解：（1）抛物线的焦点为，直线的方程为．‎ 设、．由，得．‎ ‎，，‎ 故，所以，‎ 因此抛物线的方程为；‎ ‎（2）由（1）得的方程为.‎ 到直线的距离为.‎ 因，所以，‎ 所以，‎ 因此，所以面积的最大值为.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若，证明：.‎ ‎（1）解：函数的定义域为，，‎ 若时，则，此时在单调递减，‎ 若时，则由得，‎ 当时，，函数在单调递减，‎ 当时，，函数在单调递增，‎ 综上所述，当时，在单调递减；若时，在 单调递减，在单调递增；‎ ‎（2）证明：证法一：设，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以在上为减函数，又，所以，‎ 即，即；‎ 证法二：由（1）得，当时，在单调递减，‎ 因，所以，‎ 当时，在单调递减.‎ 因，所以，‎ 又因为，所以，所以.‎ 综上所述，.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）直线的参数方程为（为参数）.若直线与曲线交于、两点，且点，求的值.‎ 解：（1）曲线的极坐标方程为，即， ‎ 将代入上式，可得，‎ 所以曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）把直线的参数方程（为参数），代入曲线的方程中，得，显然，‎ 设、对应的参数分别为、，则，，‎ 因为点在直线上，‎ 所以.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.设函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若函数的最大值为，且正实数、满足，求的最小值.‎ 解：（1）因为，‎ 当时，由可得出，解得，此时；‎ 当时，由可得出，解得，此时；‎ 当时，由可得出，解得，此时.‎ 所以不等式的解集为；‎ ‎（2）根据（1）可知，函数的最大值为，即，‎ 所以.‎ ‎，‎ 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.‎