2012高中数学 3_2第3课时课时同步练习 新人教A版选修2-1

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第3章 3.2 第3课时 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1．如图，正棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，设AB＝1.‎ 则B(1,1,0)，A1(1,0,2)，A(1,0,0)，D1(0,0,2)‎ ＝(0,1，－2)，＝(－1,0,2)‎ cos〈，〉＝ ‎＝＝－ ‎∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为，故选D.‎ 答案：　D ‎2．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成的二面角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：　‎ 设正三棱锥P－ABC，PA，PB，PC两两互相垂直，设PA＝PB＝PC＝a.‎ 取AB的中点D，连结PD、CD，易知∠PDC为侧面PAB与底面ABC所成的角．‎ 易求PD＝a，CD＝a，‎ 故cos∠PDC＝＝.‎ 答案：　B ‎3．若平面α的一个法向量n＝(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(1,2,3)，则l与α所成角的正弦值为(　　)‎ A. B. C．－ D. 解析：　cos〈a，n〉＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ 答案：　B ‎4．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为(　　)‎ A．150° B．45°‎ C．60° D．120°‎ 解析：　由条件，知·＝0，·＝0，＝＋＋.‎ ‎∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2· ‎＋2·＝62＋42＋82＋2×6×8cos，＝(2)2，‎ ‎∴cos，＝－，，＝120°，‎ ‎∴二面角的大小为60°.故选C.‎ 答案：　C 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5．正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是________．‎ 解析：　如图，以DA、DC、DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，‎ 取正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，‎ 易证是平面A1BD的一个法向量．‎ ＝(－1,1,1)，＝(－1,0,1)．‎ cos〈，〉＝＝.‎ 所以BC1与平面A1BD所成角的正弦值为.‎ 答案：　 ‎6．正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A－BD－C的余弦值为________．‎ 解析：　取BC中点O，连结AO，DO.‎ 建立如右图所示坐标系，‎ 设BC＝1，则A，B，D.‎ ‎∴＝，＝，‎ ＝.‎ 由于＝为面BCD的法向量，可进一步求出面ABD的一个法向量n＝(1，－，1)，‎ ‎∴cos〈n，〉＝.‎ 答案：　 三、解答题(每小题10分，共20分)‎ ‎7．在长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2，E，F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝BF＝1，求直线EC1与FD1所成角的余弦值 解析：　以D为坐标原点，，，分别为x轴、y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 则有D1(0,0,2)，E(3,3,0)，F(2,4,0)，C1(0,4,2)，‎ 于是＝(－3,1,2)，＝(－2，－4,2)，‎ 设与所成的角为β，‎ 则cos β＝＝，‎ 所以直线EC1与FD1所成的角的余弦值为.‎ ‎8.如图，在正四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为BC的中点，F为CC1的中点．‎ ‎(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值；‎ ‎(2)求二面角F－DE－C的余弦值．‎ 解析：　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，E(1,2,0)，F(0,2,2)．‎ ‎(1)＝(－1,0,2)，易得平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，‎ 设与n的夹角为θ，则cos θ＝＝，‎ ‎∴EF与平面ABCD所成的角的余弦值为.‎ ‎(2)＝(－1,0,2)，＝(0,2,2)，‎ 设平面DEF的一个法向量为m，‎ 则m·＝0，m·＝0，‎ 可得m＝(2，－1,1)，‎ ‎∴cos〈m，n〉＝＝，‎ ‎∴二面角F－DE－C的余弦值为.‎ 尖子生题库☆☆☆‎ ‎9．(10分)如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，‎ ‎∠BCA＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.‎ ‎(1)求证：BC⊥平面PAC；‎ ‎(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；‎ ‎(3)是否存在点E，使得二面角A－DE－P为直二面角？并说明理由．‎ 解析：　以A为原点，，分别为y轴、z轴的正方向，过A点且垂直于平面PAB的直线为x轴，建立空间直角坐标系Axyz，‎ 设PA＝a，由已知可得：‎ A(0,0,0)，B(0，a,0)，‎ C，P(0,0，a)．‎ ‎(1)证明：＝(0,0，a)，‎ ＝，‎ ‎∴·＝0，‎ ‎∴BC⊥AP.‎ 又∵∠BCA＝90°，‎ ‎∴BC⊥AC，‎ ‎∴BC⊥平面PAC.‎ ‎(2)∵D为PB的中点，DE∥BC，‎ ‎∴E为PC的中点，‎ ‎∴D，E，‎ ‎∴由(1)知，BC⊥平面PAC，‎ ‎∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.‎ ‎∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，‎ ‎∵＝，＝，‎ ‎∴cos∠DAE＝＝，‎ ‎∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为.‎ ‎(3)∵DE∥BC，又由(1)知BC⊥平面PAC，‎ ‎∴DE⊥平面PAC，‎ 又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，‎ ‎∴DE⊥AE，DE⊥PE，‎ ‎∴∠AEP为二面角A－DE－P的平面角．‎ ‎∵PA⊥底面ABC，‎ ‎∴PA⊥AC，‎ ‎∴∠PAC＝90°.‎ ‎∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时∠AEP＝90°，‎ 故存在点E，使得二面角A－DE－P是直二面角．‎ ‎ ‎