数学理卷·2019届北京市东城区高二上学期期末考试（2018-01）

数学理卷·2019届北京市东城区高二上学期期末考试（2018-01）

北京市东城区2017-2018学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）‎ ‎ 2018.1‎ 本试卷共4页，共100分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分（选择题共36分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.若A，B两点的纵坐标相等，则直线AB的倾斜角为 A.0 B. C. D.π ‎2.已知命题，lgx0<0，那么命题为 A. ，lgx>0 B. ，lg x0>0‎ C. ，lgx≥0 D. ，lg x0≥0‎ ‎3.在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则边AB，AC所在直线的斜率之和为 A. B.-1 C.0 D. ‎ ‎4.已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面，且，则“m∥n”是“m∥α”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体），其中白点○代表钠原子，黑点●代表氯原子.建立空间直角坐标系O-xyz后，图中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是 ‎ ‎ A. B.(0,0,1) C. D. ‎ ‎6.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，四面体A-B1CD1在面AA1D1D上的正投影图形为 ‎ ‎ ‎7.设椭圆 (a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，线段F1F2被点分成3:1的两段，则此椭圆的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎8.已知直线l，m和平面α，β，且l⊥α，m∥β，则下列命题中正确的是 A.若α⊥β，则l∥m B.若α∥β，则l⊥m C.若l∥β，则m⊥α D.若l⊥m，则α∥β ‎9.若半径为1的动圆与圆(x-1)2+y2=4相切，则动圆圆心的轨迹方程为 A.(x-l)2+y2=9 B.(x-l)2+y2=3‎ C.(x-l)2+y2=9或(x-l)2+y2=1 D.(x-1)2+y2=3或(x-l)2+y2=5‎ ‎10.已知双曲线(a>0,b>0)的焦距为10，点P(2,l)在C的一条渐近线上，则C的方程为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎11.平面上动点P到定点F与定直线l的距离相等，且点F与直线l的距离为1.某同学建立直角坐标系后，得到点P的轨迹方程为x2=2y-1，则它的建系方式是 ‎ ‎ ‎12.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N为棱A1D1，AB上的动点，且，则线段MN中点P的轨迹为 ‎ ‎ A.线段 B.圆的一部分 C.椭圆的一部分 D.双曲线的一部分 第二部分（非选择题共64分）‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎13.在空间直角坐标系中，点P(2,-1,1)在yOz平面内的射影为Q(x,y,z)，则x+y+z=________.‎ ‎14.若直线l与直线2x-y-1=0垂直，且不过第一象限，试写出一个直线l的方程：________.‎ ‎15.已知直线l：x-y-m=0经过抛物线y2=8x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，则m=________，________.‎ ‎16.圆(x-l)2+y2=2绕直线kx-y-k=0旋转一周所得的几何体的表面积为________.‎ ‎17.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD1与DM所成的角为________.‎ ‎18.已知曲线C上的任意一点M(x,y)满足到两条直线的距离之积为12.给出下列关于曲线C的描述：‎ ‎①曲线C关于坐标原点对称；‎ ‎②对于曲线C上任意一点M(x,y)一定有；‎ ‎③直线y=x与曲线C有两个交点；‎ ‎④曲线C与圆x2+y2=16无交点.‎ 其中所有正确描述的序号是________.‎ 三、解答题（本大题共4小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎19.（本题满分10分）‎ 已知直线l过点A(0,4)，且在两坐标轴上的截距之和为1.‎ ‎（Ⅰ）求直线l的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l1与直线l平行，且l1与l间的距离为2，求直线l1的方程.‎ ‎20.（本题满分11分）‎ 已知圆C：x2+y2+10x+10y+34=0.‎ ‎（Ⅰ）试写出圆C的圆心坐标和半径；‎ ‎（Ⅱ）圆D的圆心在直线x=-5上，且与圆C相外切，被x轴截得的弦长为10，求圆D的方程；‎ ‎（Ⅲ）过点P(0,2)的直线交（Ⅱ）中圆D于E，F两点，求弦EF的中点M的轨迹方程.‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点.‎ ‎（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定实数t的值，使PA∥平面MQB；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小.‎ ‎ ‎ ‎22.（本题满分13分）‎ 已知椭圆(a>b>0)的焦点在圆x2+y2=3上，且离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，F为右焦点，若△FAB为直角三角形，求直线l的方程.‎ 参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C C D A A C B C D C B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ 答案 ‎0‎ ‎（答案不唯一）‎ ‎2 16‎ ‎8π ‎90°‎ ‎①③④‎ 注：两个空的填空题第一个空填对得1分，第二个空填对得2分.‎ 三、解答题（本大题共4小题，共46分）‎ ‎19.（本题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）由直线l过点(0,4)，所以直线l在y轴上的截距为4.‎ 由已知条件可得直线l在x轴上的截距为-3，即直线过点B(-3,0).‎ 故直线方程为，即4x-3y+12=0. 4分 ‎（Ⅱ）由条件设直线l1的方程为4x-3y+m=0，‎ 由两条直线间的距离为2，可得(0,4)到直线l1的距离为2，‎ 则有，解得m=2或m=22.‎ 故所求直线l1的方程为4x-3y+2=0或4x-3y+22=0. 10分 ‎20.（本题满分11分）‎ 解：（Ⅰ）将圆的方程改写为(x+5)2+(y+5)2=16，故圆心坐标为(-5,-5)，半径为4. 4分 ‎（Ⅱ）设圆D的半径为r，圆心纵坐标为b，由条件可得r2=(r-1)2+52，解得r=13.‎ 此时圆心纵坐标b=r-1=12.‎ 所以圆D的方程为(x+5)2+(y-12)2=169. 8分 ‎（Ⅲ）设M(x,y)，依题意有DM⊥PM.‎ 即（x≠0且x≠-5），‎ 整理得x2+y2+5x-14y+24=0（x≠0且x≠-5）.‎ 当x=0时，y=12，符合题意，当x=-5时，y=2，符合题意.‎ 故所求点M的轨迹方程为x2+y2+5x-14y+24=0. 11分 ‎21.（本题满分12分）‎ 证明：（Ⅰ）连接BD.‎ 因为AD=AB，∠BAD=60°，‎ 所以△ABD为正三角形.‎ 因为Q为AD的中点，‎ 所以AD⊥BQ.‎ 因为PA=PD，Q为AD中点，‎ 所以AD⊥PQ.‎ 又BQ∩PQ=Q，‎ 所以AD⊥平面PQB.‎ 因为，‎ 所以平面PQB⊥平面PAD. 4分 ‎ ‎ ‎（Ⅱ）连接AC，交BQ于点N.‎ 由AQ∥BC，可得△ANQ∽△CNB，‎ 所以.‎ 因为PA∥平面MQB，，平面PAC∩平面MQB=MN，‎ 所以PA∥MN.‎ 所以，即，所以. 8分 ‎（Ⅲ）由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，则PQ⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，‎ 所以PQ⊥平面ABCD.‎ 以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，则A(1,0,0)，，Q(0,0,0)，.，.‎ 设平面MQB的法向量为n=(x,y,z)，‎ 可得 因为PA∥MN，所以即 令z=1，则，y=0.‎ 于是.‎ 取平面ABCD的法向量m=(0,0,l)，‎ 所以.‎ 故二面角M-BQ-C的大小为60°. 12分 ‎ ‎ ‎22.（本题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在x轴上，所以焦点为圆x2+y2=3与x轴的交点，即，.‎ 所以.‎ 又离心率，所以a=2.‎ 故所求椭圆方程为. 4分 ‎（Ⅱ）当△FAB为直角三角形时，显然直线l斜率存在，‎ 可设直线l方程为y=kx，设A(x1,y1)，B(x2,y2).‎ ‎（ⅰ）当FA⊥FB时，，.‎ 由 消y得(4k2+1)x2-4=0.‎ 则x1+x2=0，.‎ 解得.‎ 此时直线l的方程为. 8分 ‎（ⅱ）当FA与FB不垂直时，根据椭圆的对称性，不妨设.‎ 所以解得 所以 此时直线l的方程为.‎ 综上，直线l的方程为或. 13分