2018中考数学分类汇编考点22勾股定理

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2018中考数学分类汇编考点22勾股定理

‎2018中考数学试题分类汇编:考点22 勾股定理 ‎ 一.选择题(共7小题)‎ ‎1.(2018•滨州)在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为(  )‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ ‎【分析】直接根据勾股定理求解即可.‎ ‎【解答】解:∵在直角三角形中,勾为3,股为4,‎ ‎∴弦为=5.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎2.(2018•枣庄)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°,∠FAD+∠AED=90°,根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE,即可得出EC=FC,再利用相似三角形的判定与性质得出答案.‎ ‎【解答】解:过点F作FG⊥AB于点G,‎ ‎∵∠ACB=90°,CD⊥AB,‎ ‎∴∠CDA=90°,‎ ‎∴∠CAF+∠CFA=90°,∠FAD+∠AED=90°,‎ ‎∵AF平分∠CAB,‎ ‎∴∠CAF=∠FAD,‎ ‎∴∠CFA=∠AED=∠CEF,‎ ‎∴CE=CF,‎ ‎∵AF平分∠CAB,∠ACF=∠AGF=90°,‎ ‎∴FC=FG,‎ ‎∵∠B=∠B,∠FGB=∠ACB=90°,‎ ‎∴△BFG∽△BAC,‎ ‎∴=,‎ ‎∵AC=3,AB=5,∠ACB=90°,‎ ‎∴BC=4,‎ ‎∴=,‎ ‎∵FC=FG,‎ ‎∴=,‎ 解得:FC=,‎ 即CE的长为.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎3.(2018•泸州)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为(  )‎ A.9 B.6 C.4 D.3‎ ‎【分析】由题意可知:中间小正方形的边长为:a﹣b,根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长.‎ ‎【解答】解:由题意可知:中间小正方形的边长为:a﹣b,‎ ‎∵每一个直角三角形的面积为: ab=×8=4,‎ ‎∴4×ab+(a﹣b)2=25,‎ ‎∴(a﹣b)2=25﹣16=9,‎ ‎∴a﹣b=3,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎4.(2018•温州)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为(  )‎ A.20 B.24 C. D.‎ ‎【分析】欲求矩形的面积,则求出小正方形的边长即可,由此可设小正方形的边长为x,在直角三角形ACB中,利用勾股定理可建立关于x的方程,解方程求出x的值,进而可求出该矩形的面积.‎ ‎【解答】解:设小正方形的边长为x,‎ ‎∵a=3,b=4,‎ ‎∴AB=3+4=7,‎ 在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,‎ 即(3+x)2+(x+4)2=72,‎ 整理得,x2+7x﹣12=0,‎ 解得x=或x=(舍去),‎ ‎∴该矩形的面积=(+3)(+4)=24,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎5.(2018•娄底)如图,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积为49,则sinα﹣cosα=(  )‎ A. B.﹣ C. D.﹣‎ ‎【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长,再利用勾股定理列式求出AC,然后根据正弦和余弦的定义即可求sinα和cosα的值,进而可求出sinα﹣cosα的值.‎ ‎【解答】解:∵小正方形面积为49,大正方形面积为169,‎ ‎∴小正方形的边长是7,大正方形的边长是13,‎ 在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,‎ 即AC2+(7+AC)2=132,‎ 整理得,AC2+7AC﹣60=0,‎ 解得AC=5,AC=﹣12(舍去),‎ ‎∴BC==12,‎ ‎∴sinα==,cosα==,‎ ‎∴sinα﹣cosα=﹣=﹣,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎6.(2018•长沙)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大?题中“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为(  )‎ A.7.5平方千米 B.15平方千米 C.75平方千米 D.750平方千米 ‎【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案.‎ ‎【解答】解:∵52+122=132,‎ ‎∴三条边长分别为5里,12里,13里,构成了直角三角形,‎ ‎∴这块沙田面积为:×5×500×12×500=7500000(平方米)=7.5(平方千米).‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎7.(2018•东营)如图所示,圆柱的高AB=3,底面直径BC=3,现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食,则它爬行的最短距离是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】要求最短路径,首先要把圆柱的侧面展开,利用两点之间线段最短,然后利用勾股定理即可求解.‎ ‎【解答】解:把圆柱侧面展开,展开图如右图所示,点A、C的最短距离为线段AC的长.‎ 在Rt△ADC中,∠ADC=90°,CD=AB=3,AD为底面半圆弧长,AD=1.5π,‎ 所以AC=,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ 二.填空题(共8小题)‎ ‎8.(2018•吉林)如图,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,3),以点A为圆心,AB长为半径画弧,交x轴的负半轴于点C,则点C坐标为 (﹣1,0) .‎ ‎【分析】求出OA、OB,根据勾股定理求出AB,即可得出AC,求出OC长即可.‎ ‎【解答】解:∵点A,B的坐标分别为(4,0),(0,3),‎ ‎∴OA=4,OB=3,‎ 在Rt△AOB中,由勾股定理得:AB==5,‎ ‎∴AC=AB=5,‎ ‎∴OC=5﹣4=1,‎ ‎∴点C的坐标为(﹣1,0),‎ 故答案为:(﹣1,0),‎ ‎ ‎ ‎9.(2018•玉林)如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,则AD的取值范围是 2<AD<8 .‎ ‎【分析】如图,延长BC交AD的延长线于E,作BF⊥AD于F.解直角三角形求出AE、AF即可判断;‎ ‎【解答】解:如图,延长BC交AD的延长线于E,作BF⊥AD于F.‎ 在Rt△ABE中,∵∠E=30°,AB=4,‎ ‎∴AE=2AB=8,‎ 在Rt△ABF中,AF=AB=2,‎ ‎∴AD的取值范围为2<AD<8,‎ 故答案为2<AD<8.‎ ‎ ‎ ‎10.(2018•襄阳)已知CD是△ABC的边AB上的高,若CD=,AD=1,AB=2AC,则BC的长为 2或2 .‎ ‎【分析】分两种情况:‎ ‎①当△ABC是锐角三角形,如图1,‎ ‎②当△ABC是钝角三角形,如图2,‎ 分别根据勾股定理计算AC和BC即可.‎ ‎【解答】解:分两种情况:‎ ‎①当△ABC是锐角三角形,如图1,‎ ‎∵CD⊥AB,‎ ‎∴∠CDA=90°,‎ ‎∵CD=,AD=1,‎ ‎∴AC=2,‎ ‎∵AB=2AC,‎ ‎∴AB=4,‎ ‎∴BD=4﹣1=3,‎ ‎∴BC===2;‎ ‎②当△ABC是钝角三角形,如图2,‎ 同理得:AC=2,AB=4,‎ ‎∴BC===2;‎ 综上所述,BC的长为2或2.‎ 故答案为:2或2.‎ ‎ ‎ ‎11.(2018•盐城)如图,在直角△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,P、Q分别为边BC、AB上的两个动点,若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形,则AQ= 或 .‎ ‎【分析】分两种情形分别求解:①如图1中,当AQ=PQ,∠QPB=90°时,②当AQ=PQ,∠PQB=90°时;‎ ‎【解答】解:①如图1中,当AQ=PQ,∠QPB=90°时,设AQ=PQ=x,‎ ‎∵PQ∥AC,‎ ‎∴△BPQ∽△BCA,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴x=,‎ ‎∴AQ=.‎ ‎②当AQ=PQ,∠PQB=90°时,设AQ=PQ=y.‎ ‎∵△BQP∽△BCA,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴y=.‎ 综上所述,满足条件的AQ的值为或.‎ ‎ ‎ ‎12.(2018•黔南州)如图,已知在△ABC中,BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F,且∠BAC=45°,BD=6,CD=4,则△ABC的面积为 60 .‎ ‎【分析】首先证明△AEF≌△BEC,推出AF=BC=10,设DF=x.由△ADC∽△BDF,推出=,构建方程求出x即可解决问题;‎ ‎【解答】解:∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠AEF=∠BEC=∠BDF=90°,‎ ‎∵∠BAC=45°,‎ ‎∴AE=EB,‎ ‎∵∠EAF+∠C=90°,∠CBE+∠C=90°,‎ ‎∴∠EAF=∠CBE,‎ ‎∴△AEF≌△BEC,‎ ‎∴AF=BC=10,设DF=x.‎ ‎∵△ADC∽△BDF,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ 整理得x2+10x﹣24=0,‎ 解得x=2或﹣12(舍弃),‎ ‎∴AD=AF+DF=12,‎ ‎∴S△ABC=•BC•AD=×10×12=60.‎ 故答案为60.‎ ‎ ‎ ‎13.(2018•滨州)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,点E、F分别在BC、CD上,若AE=,∠EAF=45°,则AF的长为  .‎ ‎【分析】取AB的中点M,连接ME,在AD上截取ND=DF,设DF=DN=x,则NF=x,再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA,利用相似三角形的性质:对应边的比值相等可求出x的值,在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长.‎ ‎【解答】解:取AB的中点M,连接ME,在AD上截取ND=DF,设DF=DN=x,‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴∠D=∠BAD=∠B=90°,AD=BC=4,‎ ‎∴NF=x,AN=4﹣x,‎ ‎∵AB=2,‎ ‎∴AM=BM=1,‎ ‎∵AE=,AB=2,‎ ‎∴BE=1,‎ ‎∴ME==,‎ ‎∵∠EAF=45°,‎ ‎∴∠MAE+∠NAF=45°,‎ ‎∵∠MAE+∠AEM=45°,‎ ‎∴∠MEA=∠NAF,‎ ‎∴△AME∽△FNA,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 解得:x=,‎ ‎∴AF==.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎14.(2018•湘潭)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图所示,△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的长,如果设AC=x,则可列方程为 x2+32=(10﹣x)2 .‎ ‎【分析】设AC=x,可知AB=10﹣x,再根据勾股定理即可得出结论.‎ ‎【解答】解:设AC=x,‎ ‎∵AC+AB=10,‎ ‎∴AB=10﹣x.‎ ‎∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,‎ ‎∴AC2+BC2=AB2,即x2+32=(10﹣x)2.‎ 故答案为:x2+32=(10﹣x)2.‎ ‎ ‎ ‎15.(2018•黄冈)如图,圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 20 cm(杯壁厚度不计).‎ ‎【分析】‎ 将杯子侧面展开,建立A关于EF的对称点A′,根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.‎ ‎【解答】解:如图:‎ 将杯子侧面展开,作A关于EF的对称点A′,‎ 连接A′B,则A′B即为最短距离,A′B===20(cm).‎ 故答案为20.‎ ‎ ‎ 三.解答题(共2小题)‎ ‎16.(2018•杭州)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交线段AB于点D;以点A为圆心,AD长为半径画弧,交线段AC于点E,连结CD.‎ ‎(1)若∠A=28°,求∠ACD的度数.‎ ‎(2)设BC=a,AC=b.‎ ‎①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根吗?说明理由.‎ ‎②若AD=EC,求的值.‎ ‎【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠B,根据等腰三角形的性质求出∠BCD,计算即可;‎ ‎(2)①根据勾股定理求出AD,利用求根公式解方程,比较即可;‎ ‎②根据勾股定理列出算式,计算即可.‎ ‎【解答】解:(1)∵∠ACB=90°,∠A=28°,‎ ‎∴∠B=62°,‎ ‎∵BD=BC,‎ ‎∴∠BCD=∠BDC=59°,‎ ‎∴∠ACD=90°﹣∠BCD=31°;‎ ‎(2)①由勾股定理得,AB==,‎ ‎∴AD=﹣a,‎ 解方程x2+2ax﹣b2=0得,x==﹣a,‎ ‎∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根;‎ ‎②∵AD=AE,‎ ‎∴AE=EC=,‎ 由勾股定理得,a2+b2=(b+a)2,‎ 整理得, =.‎ ‎ ‎ ‎17.(2018•台湾)嘉嘉参加机器人设计活动,需操控机器人在5×5的方格棋盘上从A点行走至B点,且每个小方格皆为正方形,主办单位规定了三条行走路径R1,R2,R3,其行经位置如图与表所示:‎ 路径 编号 图例 行径位置 第一条路径 R1‎ ‎_‎ A→C→D→B 第二条路径 R2‎ ‎…‎ A→E→D→F→B 第三条路径 R3‎ ‎▂‎ A→G→B 已知A、B、C、D、E、F、G七点皆落在格线的交点上,且两点之间的路径皆为直线,在无法使用任何工具测量的条件下,请判断R1、R2、R3这三条路径中,最长与最短的路径分别为何?请写出你的答案,并完整说明理由.‎ ‎【分析】利用勾股定理分别计算出三条路径的长,比较大小即可得.‎ ‎【解答】解:第一条路径的长度为++=2+,‎ 第二条路径的长度为++1+=+++1,‎ 第三条路径的长度为+=2+,‎ ‎∵2+<2+<+++1,‎ ‎∴最长路径为A→E→D→F→B;最短路径为A→G→B.‎ ‎ ‎
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