数学理卷·2017届云南省师大附中高三高考适应性月考卷（四）（2016

数学理卷·2017届云南省师大附中高三高考适应性月考卷（四）（2016

理科数学试卷 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎2.若，则（ ）‎ A． B． C．1 D．-1‎ ‎3.已知，为单位向量，且在上的投影为，则（ ）‎ A．1 B． C． D． 3‎ ‎4.某算法的程序框图如图所示，执行该程序后输出的是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.玲玲到丽江旅游，打电话给大学同学珊珊，忘记了电话号码的最后两位，只记得最后一位是6,8,9中的一个数字，则玲玲输入一次号码能够成功拨对的概率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.如图2，网格纸上小方格的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）‎ A．216 B．180 C.144 D．72‎ ‎7.在中，，，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，四点不共面，若球的体积为，则三棱锥的最大值为（ ）‎ A．36 B．48 C. 64 D．144‎ ‎9.设函数的导函数为，对任意，都有成立，则（ ）‎ A． B． ‎ C. D．与的大小不确定 ‎10.设双曲线右支上任意一点到其左、右两焦点的距离分别为，当取得最小值且最小值为时，双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D. ‎ ‎11.给出下列三个命题，其中真命题的个数是（ ）‎ ‎①函数的单调递增区间是；‎ ‎②将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于原点对称；‎ ‎③样本的平均数为，样本的平均数为，若样本，的平均数，若，则.‎ A．0 B．1 C.2 D．3‎ ‎12.设函数若对任意给定的，函数有唯一零点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.由直线，曲线以及轴围成的图形的面积为 ．‎ ‎14.已知数列满足，，则的最小值为 ．‎ ‎15.在中，已知，，且，则的面积 ．‎ ‎16.直线与抛物线相交于两点，点关于轴的对称点为，抛物线焦点为，，则直线的斜率为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 已知数列的各项均为正数，前项和为，，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，数列的前项和为，证明：.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 如图3，在直三棱柱中，，是棱的中点，‎ ‎.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加.现对一批该设备进行调查，得到这一批设备自购入使用之日起，前五年平均每台设备每年的维护费用大致如下表：‎ 年份（年）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 维护费（万元）‎ ‎1.1‎ ‎1.5‎ ‎1.8‎ ‎2.2‎ ‎2.4‎ ‎（1）求关于的线性回归方程；‎ ‎（2）若该设备的价格是每台5万元，甲认为应该使用满五年换一次设备，乙认为应该使用满十年换一次设备，你认为甲和乙谁更有道理？并说明理由.‎ ‎（附：线性回归方程中，，，其中为样本平均值）‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆经过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程、焦点坐标和离心率；‎ ‎（2）设椭圆的两焦点分别为，过焦点的直线与交于两点，当直线平分时，求的面积.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 设函数，.‎ ‎（1）讨论在上的单调性；‎ ‎（2）当时，求函数在上的零点个数.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，动抛物线（其中）顶点的轨迹为曲线，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是.‎ ‎（1）写出曲线的参数方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求直线被曲线截得的弦长.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集为，，求的最小值.‎ 云南师大附中2017届高考适应性月考卷（四）‎ 理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A C B D C A A A D C D ‎【解析】‎ ‎1．因为，，所以，故选B．‎ ‎2．，故选A．‎ ‎3．由题意，故，于是，所以，故 选C．‎ ‎4．第一次循环：，，；第二次循环：，，；…，第十次循环：，，，结束循环，故选B．‎ ‎5．拨打电话的所有可能结果共有种，所以玲玲输入一次号码能够成功拨对的概率是，故选D．‎ ‎6．该多面体是棱长为的正方体，截去左前上角和右后上角两个体积相等的三棱锥得到的几何体，则该多面体的体积为，故选C．‎ ‎7．，，，‎ ‎，两式相减得，从而，即，又，∴，故选A． ‎ 图1‎ ‎8．设球的半径为，则，．如图1，当点位于垂直于平面的直径的端点时，三棱锥的体积最大，，故选A．‎ ‎9．令，则所以是增函数，从而有，即，故选A．‎ ‎10．由双曲线定义可知，当且仅当时，取得最小值，此时．由题意，即，解得．又因为，故，故选D．‎ ‎11．，由，得，令，得函数的增区间为，故①正确；的图象向左平移个单位得到函数的图象，显然为奇函数，其图象关于原点对称，故②正确；由统计学知识，可得，，则，故，所以，即，故③不正确，故选C．‎ ‎12．当时，，值域为，所以；当时，，值域为，所以；当时，，值域为，则，故当时，‎ 值域为；当时，值域为．因为，所以在上是增函数，则在上的值域为，由题意知，，解得，故的取值范围是，故选D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎9‎ ‎【解析】‎ ‎13．两曲线交点坐标为，作出它们的图象易知，所求面积分为两部分，一部分为三角形，另一部分为曲边三角形，所以面积．‎ ‎14．，则 ‎，当且仅当时取等号，所以的最小值为9．‎ ‎15．设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理得，从而，由余弦定理可知，，即，得，所以．‎ ‎16．由得，令，得．设，，则，，，，于是由，解得（舍去），或，∴，，直线的斜率． ‎ 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）解：由，得，‎ 两式相减整理得，‎ 又，∴，‎ 又由，，得，故，‎ ‎∴数列是首项为1，公差为1的等差数列．‎ ‎∴． …………………………（6分）‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，故，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴． ………………………………………………………………（12分）‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明：如图2，不妨设．‎ ‎∵是棱中点，‎ ‎∴.‎ 在中，，‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，又，‎ ‎∴平面，从而，‎ 以为原点，直线，，分别为，，轴， ‎ 建立如图3所示空间直角坐标系，‎ 则，，，‎ ‎，． ‎ 设为平面的一个法向量，‎ 则 取，得．‎ 依题意，是平面的一个法向量，‎ 从而，‎ ‎∴二面角的余弦值为． ………………………（12分）‎ 解法二：由（Ⅰ）知，又，‎ ‎∴是二面角的平面角.‎ 又，，，‎ ‎∴平面，从而，且，，‎ 于是，‎ ‎∴二面角的余弦值为． …………………………（12分）‎ ‎19．（本小题满分12分） ‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎，‎ 所以回归方程为． ………………………………（6分）‎ ‎（Ⅱ）若满五年换一次设备，则由（Ⅰ）知每年每台设备的平均费用为：‎ ‎（万元），‎ 若满十年换一次设备，则由（Ⅰ）知每年每台设备的平均费用大概为：‎ ‎（万元），‎ 因为，所以甲更有道理． …………………………………（12分）‎ ‎20．（本小题满分12分） ‎ 解：（Ⅰ）把点代入，可得，‎ 所以椭圆的方程为焦点坐标分别为，，离心率为． ‎ ‎ …………………………………………………………………………（5分）‎ ‎（Ⅱ）直线过焦点，由知轴，‎ 记直线，的斜率分别为，，‎ 当直线平分时，.‎ 设，，‎ 由消去y整理得，，‎ 故，，‎ 所以，‎ 即，‎ 故，解得，‎ 从而，即，‎ ‎∴的面积． ………………（12分）‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ），‎ 当时，由知，所以，在上单调递增；‎ 当时，由，令，得，令，得，‎ 所以，在上单调递减，在上单调递增；‎ 当时，由知，所以，在上单调递减． ………（5分）‎ ‎（Ⅱ）当时，由知，，故，‎ 令，得．‎ 由，得或，‎ 由，得或，‎ 所以在，上单调递减，在，上单调递增．‎ 当时，在处取得极小值，‎ 且当时，；当时，．‎ 当时，在处取得极小值，‎ 且当时，；当时，．‎ 综上所述，结合的图形可得，‎ ‎ ………………………………………（12分）‎ ‎22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】‎ 解：（Ⅰ）动抛物线的顶点坐标为，‎ 则曲线的参数方程为.‎ 由直线的极坐标方程是，‎ 得，‎ 则直线的直角坐标方程为． …………………………（5分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，曲线的普通方程为，‎ 曲线是以为圆心，2为半径的圆，‎ 则圆心到直线：的距离为，‎ ‎∴直线被曲线截得的弦长为． ………………………………（10分）‎ ‎23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】‎ 解：（Ⅰ）当时，不等式，可化为，‎ ‎∴或 解得或，‎ ‎∴不等式的解集为． ………………………………………（5分）‎ ‎（Ⅱ）即，‎ 而的解集为，‎ ‎∴‎ 解得，‎ ‎∴=3()，‎ 从而()，‎ ‎∴（当且仅当，且，即，时等号成立），‎ ‎∴的最小值为． ………………………………（10分）‎