湖南省常德市2020届高三高考模拟考试(一)数学(理)试题

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湖南省常德市2020届高三高考模拟考试(一)数学(理)试题

理科数学试卷一 总分:150分 时量:120分钟 ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知集合P=,Q=,则PQ=____(桃源县第四中学)‎ A、 B、‎ C、 D、‎ 答案:由已知得Q=[-1,6] P=(-5,6)故PQ=[-1,6]故选C ‎2.设复数满足 ,则下列说法正确的是 ( ) (桃源一中)‎ A. 的虚部为 B.为纯虚数 C. D. 在复平面内,对应的点位于第二象限 答案:C 由得,‎ ‎3.设等差数列的前项的和为,若,,则 ( ) (桃源一中)‎ A. 37 B.16 C. 13 D. -9‎ 答案:B 设等差数列的公差为d,由得:,‎ 将代入上式解得,故 ‎(法二:,又,所以,由得,‎ 故 ‎4.如图是某市连续16日的空气质量指数趋势统计图,空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.则下列说法不正确的是 ( ) (桃源一中)‎ A.这16日空气重度污染的频率为0.5‎ B.该市出现过连续4天空气重度污染 C.这16日的空气质量指数的中位数为203‎ D. 这16日的空气质量指数的平均值大于200‎ 答案:D 这16日空气重度污染的频率为故A正确;12日,13日,14日,15日连续4天空气重度污染,故B正确;中位数为,故C正确;‎ ‎,(也可根据图形判断,8个数据大于200,8个数据小于200,小于200的8个数据整体与200相差较大),故D不正确.‎ ‎5.已知为抛物线:上一点,为的焦点,若,则的面积为 ( ) (桃源一中)‎ A. B. C. D.‎ 答案:A 设,抛物线的焦点,准线为,由抛物线的定义可知:‎ 代入的方程得,‎ ‎6.函数的图象如图所示,将函数的图象向右平移个单位长度,得到的图像,则下列说法不正确的是 ( ) (桃源一中)‎ A.函数的最大值为3 B.函数关于点对称 ‎ C.函数在上单调递增 D.函数的最小正周期为 答案:B 由图可知,,,将点代入,得,故,右平移个单位长度得:‎ ‎,故A,C,D正确 ,选B ‎7.已知向量a与a+b的夹角为,| a |=1,| b |=,则ab= ( ) (桃源一中)‎ A. B.C. D.或 答案:A 如图,,由余弦定理:,‎ 已知,代入上式得,,故,即,‎ 法二:设与的夹角为,由题设 ,‎ 即,所以,‎ 即,所以或,经检验,不符合(1)式,舍去,故 ‎8.随机设置某交通路口亮红绿灯的时间,通过对路口交通情况的调查,确定相邻两次亮红灯与亮绿灯的时间之和为100秒,且一次亮红灯的时间不超过70秒,一次亮绿灯的时间不超过60秒,则亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间的概率为 ( ) (桃源一中)‎ A. B. C. D.‎ 答案:C 设亮绿灯的时间随机设置为t秒,则,亮红灯的时间,所以,亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间即为,由几何概型的概率公式知:‎ ‎9.的展开式中的常数项为 ( ) (桃源一中)‎ A. B. C. D.‎ 答案:B的通项为,所以的展开式中的常数项为和,又,所以的展开式中的常数项为180‎ ‎10.设函数,则不等式的解集为 ( ) (桃源一中)‎ A. B. C. D.‎ 答案:D 的定义域为,考虑函数为偶函数,在上单调递增,在上单调递减,g(x)的图像向右平移1个单位得到的图像,所以函数关于x=1对称,在上单调递减,在上单调递增.‎ 由,可得,解得:且 ‎ ‎ 甲的三视图图三 乙的三视图三 甲的三视图三 乙的三视图三 ‎11.几何体甲与乙的三视图如右图,几何体甲的正视图和侧视图为两个全等的等腰三角形,且等腰三角形的高与几何体乙的三视图中的圆的直径相等,若几何体甲与乙的体积相等,则几何体甲的外接球的表面积与几何体乙的表面积之比为 ( ) (桃源一中)‎ A. B. C. D.‎ 答案:B 由三视图可知甲为圆锥,乙为球,设球的半径为,设圆锥底面半径为,则圆锥高 ‎,因为甲与乙的体积相等,所以,即,;设圆锥的外接球半径为,则即,,故几何体甲的外接球与几何体乙的表面积之比为.‎ ‎12.已知函数,(其中a为常数),则下列说法中正确的个数为 ( ) (桃源一中)‎ ‎①函数恰有4个零点; ②对任意实数a,函数至多有3个零点;‎ ‎③若a≤0,则函数有且仅有3个零点;‎ ‎④若函数有且仅有3个零点,则a的取值范围为(桃源一中)‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ‎ 答案:B 当时,的图像为抛物线的一部分 当时,当时,,所以时,,单调递增,时,,单调递减,画出的图像如图所示,由图可知恰有3个零点,故①不正确;‎ P 设的过原点的切线的斜率为,切点为,,由 ‎,解得 在处的切线的斜率为,‎ 因为零点个数,即函数与的交点个数,‎ 由图可知:时,有1个交点;时,有2个交点;时,有3个交点;‎ 时,有4个交点;时,有3个交点.所以 ②不正确;③④正确.‎ ‎(说明:显然是的零点,x0时,也可转化为零点的个数问题,也可以画图得出答案)‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上)‎ ‎13.已知函数,则曲线在处的切线方程为____.(桃源一中)‎ ‎14已知实数满足约束条件则的最小值为 -2 ‎ ‎ ‎ ‎15.已知数列的各项为正,记为的前项和,若,,‎ 则___121________.(桃源一中)‎ ‎16. 已知双曲线C:,是坐标原点,是的右焦点,过的直线与的两条渐近线的交点分别为且为直角,记和的面积分别为和,若,则双曲线的离心率为 ‎ ‎ 答案:.或 ‎ 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题12分)已知向量m,n,且函数mn.‎ ‎(Ⅰ)若,且,求的值;‎ ‎(Ⅱ)在锐角中,角的对边分别为,若的面积为,‎ 且,求的周长. (桃源一中)‎ 解:(Ⅰ)mn………………(2分)‎ ‎,‎ 又,, ……………………(4分)‎ 所以……………………(6分)‎ ‎(Ⅱ)因为,所以,即 由正弦定理可知,又所以 ……………………(8分)‎ 由已知的面积,可得,又 ‎……………………(10分)‎ 由余弦定理得,故,从而 所以的周长为……………………(12分)‎ ‎18.(本小题12分)如图,在四棱锥中,平面平面,底面是直角梯形,,,,是的中点.‎ ‎(Ⅰ)在线段上找一点,使得平面,并证明;‎ ‎(Ⅱ)在(1)的条件下,若,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.(桃源一中)‎ 解:(Ⅰ)是线段PA的中点,……………………(1分)‎ 证明:连接BE,OE,OB,‎ ‎∵O是AD的中点,∴,‎ 又平面,平面,∴平面,……………………(3分)‎ 又∵底面是直角梯形,,∴,‎ 又平面,平面,∴平面,……………………(4分)‎ ‎∵平面,平面,,‎ ‎∴平面平面,‎ 又平面,∴平面.……………………(6分)‎ ‎(也可通过线线平行来证明线面平行)‎ ‎(Ⅱ)∵平面平面,,‎ ‎∴,∴平面,且,,‎ 以为原点,如图建立空间直角坐标系,……………………(8分)‎ 得,,,,,‎ 得,,‎ 设是平面的一个法向量,‎ 则,得,取,‎ 得,……………………(10分)‎ 又易知是平面的一个法向量,设平面与平面所成的锐二面角为,‎ 则,‎ 即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.……………………(12分)‎ ‎19.(本小题12分)随着快递行业的崛起,中国快递业务量惊人,2018年中国快递量世界第一,已连续五年突破五百亿件,完全超越美日欧的总和,稳居世界第一名.某快递公司收取费的标准是:不超过1kg的包裹收费8元;超过1kg的包裹,在8元的基础上,每超过1kg(不足1kg,按1kg计算)需再收4元.‎ 该公司将最近承揽(接收并发送)的100件包裹的质量及件数统计如下(表1):‎ 包裹质量(kg)‎ ‎(0,1]‎ ‎(1,2]‎ ‎(2,3]‎ ‎(3,4]‎ ‎(4,5]‎ 包裹件数 ‎43‎ ‎30‎ ‎15‎ ‎8‎ ‎4‎ 表1:‎ 公司对近50天每天承揽包裹的件数(在表2中的“件数范围”内取的一个近似数据)、件数范围及天数,列表如下(表2):‎ 件数范围 ‎(0,100]‎ ‎(100,200]‎ ‎(200,300]‎ ‎(300,400]‎ ‎(400,500]‎ 天数 ‎5‎ ‎10‎ ‎25‎ ‎5‎ ‎5‎ 每天承揽包裹的件数 ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 表2:‎ ‎(Ⅰ)将频率视为概率,计算该公司未来3天内恰有1天揽件数在(100,300]内的概率;‎ ‎(Ⅱ) ①根据表1中最近100件包裹的质量统计,估计该公司对承揽的每件包裹收取快递费的平均值:‎ ‎②根据以上统计数据,公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润,其余用作其他费用.目前,前台有工作人员5人,每人每天揽件数不超过100件,日工资80元.公司正在考虑是否将前台人员裁减1人,试计算裁员前、后公司每天揽件数的数学期望;若你是公司决策者,根据公司每天所获利润的期望值,决定是否裁减前台工作人员1人? (桃源一中)‎ 解:(Ⅰ)将频率视为概率,样本中包裹件数在(100,300]内的天数为,‎ 频率为,故该公司1天揽件数在(100,300]内的概率为………(2分)‎ 未来3天包裹件数在(100,300]内的天数X服从二项分布,即 所以未来3天内恰有1天揽件数在[100,299]内的概率为:‎ ‎………(5分)‎ ‎(Ⅱ) ①由题 可知,样本中包裹质量(kg)、快递费(元)、包裹件数如下表所示:‎ 包裹质量(kg)‎ ‎(0,1]‎ ‎(1,2]‎ ‎(2,3]‎ ‎(3,4]‎ ‎(4,5]‎ 快递费(元)‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎16‎ ‎20‎ ‎24‎ 包裹件数 ‎43‎ ‎30‎ ‎15‎ ‎8‎ ‎4‎ 所以每件包裹收取快递费的平均值为 ‎………(7分)‎ ‎②根据题意及①,揽件数每增加1,公司快递收入增加12(元)‎ 若不裁员,则每天可揽件的上限为500件,公司每日揽件数情况如下:‎ 件数范围 ‎(0,100]‎ ‎(100,200]‎ ‎(200,300]‎ ‎(300,400]‎ ‎(400,500]‎ 天数 ‎5‎ ‎10‎ ‎25‎ ‎5‎ ‎5‎ 每天承揽包裹的 件数Y ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 概率P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.5‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 每天承揽包裹的件数Y的期望E(Y)=50×0.1+150×0.2+250×0.5+350×0.1+450×0.1=240‎ 公司每日利润的期望值为元………(9分)‎ 若裁员1人,则每天可揽件的上限为400件,公司每日揽件数情况如下:‎ 件数范围 ‎(0,100]‎ ‎(100,200]‎ ‎(200,300]‎ ‎(300,400]‎ ‎(400,500]‎ 天数 ‎5‎ ‎10‎ ‎25‎ ‎5‎ ‎5‎ 每天承揽包裹 的件数Y ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎400‎ 概率P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.5‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 每天承揽包裹的件数Y的期望E(Y)=50×0.1+150×0.2+250×0.5+350×0.1+400×0.1=235‎ 公司每日利润的期望值为元………(11分)‎ 因为560<620 ,所以公司应将前台工作人员裁员1人.………(12分)‎ ‎20.有一种曲线画图工具如图1所示.是滑槽的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且,.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕转动,M处的笔尖画出的曲线记为C.以为原点,所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系.‎ ‎(Ⅰ)求曲线C的轨迹方程;‎ ‎(2)设为曲线C的右焦点,为曲线C上一动点,直线斜率为,且与曲线C的另一个交点为Q,是否存在点,使得,若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.(芷兰实验学校谌兴明供题)‎ 解(1)设则,则及 ‎(2)设直线的方程为,‎ 将代入,得;‎ 设,线段的中点为,‎ ‎,‎ 即 因为所以直线为线段的垂直平分线,‎ 所以,则,即 ,‎ 所以,‎ 当时,因为,所以,‎ 当时,因为,所以.‎ 综上,存在点,使得,且的取值范围为 ‎21.(本小题12分)已知函数,其中为自然对数的底数.‎ ‎(1)若,求实数的值; (2)证明:.(常德市一中)‎ 解:(1)法一:‎ 当时,与恒成立矛盾,不合题意;‎ 当时,,令,则,‎ 所以在上递增,又,‎ 故存在,使,且,‎ 当时,,,递减,‎ 当时,,,递增 所以 故,即,令,‎ 则,知在上递增,在上递减,‎ 所以,要使,当且仅当 综上,实数的值为1‎ 法二:,令 则等价于,对任意恒成立,令,‎ 当时,与恒成立矛盾,不合题意;‎ 当时,,与恒成立矛盾,不合题意;‎ 当时,,在上递减,在上递增,‎ 所以的最小值为 令,则,知在上递增,在上递减,‎ 所以,要使,当且仅当 ‎(2)由(1)知,当时,,即,‎ 所以,‎ 下面证明,即证:‎ 令,‎ 当时,显然单调递增,,‎ 所以在上单调递减,,‎ 当时,显然,即 故对一切,都有,即 故原不等式成立 ‎22.(本小题满分10分)‎ 在平面直角坐标系中,直线:,曲线 :(为参数,),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系.‎ ‎(Ⅰ)说明是哪一种曲线,并将的方程化为极坐标方程.‎ ‎(Ⅱ)曲线的极坐标方程为(),其中,且曲线 分别交,于点,两点,若,求的值. (桃源一中)‎ 解:(Ⅰ) 由消去参数得:‎ 的普通方程为,……………………(2分)‎ 则是以为圆心,为半径的圆. ……………………(3分)‎ ‎∵,‎ ‎∴的极坐标方程为,‎ 即的极坐标方程为,……………………(5分)‎ ‎(Ⅱ)曲线极坐标方程为(),,且 所以曲线的直角坐标方程为 由解得:,……………………(7分)‎ ‎,……………………(8分)‎ 故点B的极坐标为,‎ 代入得……………………(10分)‎ ‎23.(本小题满分10分) [选修4-5:不等式选讲]‎ 设函数.‎ ‎(I)若,求不等式的解集;‎ ‎(II)已知关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.‎ 解:( I) 时,,‎ 由得不等式的解集为. …………(5分)‎ ‎(II)由题知在上恒成立,‎ 且当时,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎, …………(7分)‎ 又函数在上的最小值为,‎ ‎,即的取值范围是. …………(10分)‎
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