2018-2019学年安徽省太和中学高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年安徽省太和中学高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省太和中学高二下学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】解出集合，利用交集的定义可得出集合.‎ ‎【详解】‎ ‎，，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合交集的运算，同时也涉及了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2．若（是虚数单位），则复数的模为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用复数的乘法、除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的求模公式计算出复数的模.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 所以，故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的乘法、除法法则以及复数模的计算，对于复数相关问题，常利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3．一次考试中，某班学生的数学成绩近似服从正态分布，若，则该班数学成绩的及格（成绩达到分为及格）率可估计为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得出正态密度曲线关于直线对称，由正态密度曲线的对称性得知所求概率为可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意，得，又，‎ 所以，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正态分布在指定区间上概率的计算，解题时要充分利用正态密度曲线的对称性转化为已知区间的概率来计算，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎4．已知，则 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据已知求出，再求.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 故，‎ 从而.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查诱导公式和同角的三角函数关系，考查二倍角的正弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎5．若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的倍，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用抛物线的定义列等式可求出的值.‎ ‎【详解】‎ 抛物线的准线方程为，‎ 由抛物线的定义知，抛物线上一点到焦点的距离为，‎ ‎，解得，故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义，在求解抛物线上的点到焦点的距离，通常将其转化为该点到抛物线准线的距离求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎6．若执行如图所示的程序框图，输出的值为，则输入的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】将所有的算法循环步骤列举出来，得出不满足条件，满足条件，可得出的取值范围，从而可得出正确的选项.‎ ‎【详解】‎ ‎，；‎ 不满足，执行第二次循环，，；‎ 不满足，执行第三次循环，，；‎ 不满足，执行第四次循环，，；‎ 不满足，执行第五次循环，，；‎ 满足，跳出循环体，输出的值为，所以，的取值范围是.‎ 因此，输入的的值为，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查循环结构框图的条件的求法，解题时要将算法的每一步列举出来，结合算法循环求出输入值的取值范围，考查分析问题和推理能力，属于中等题.‎ ‎7．函数的图象大致是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】判断函数的奇偶性，并根据该函数在和上的函数值符号进行排除，可得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 易知函数的定义域为，，‎ 所以，函数为奇函数，排除B选项；‎ 当时，，此时，，排除C选项；‎ 当时，，此时，，排除D选项.故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图象的识别，再利用函数解析式来识别函数图象时，一般利用以下五个要素来对函数图象逐一排除：（1）定义域；（2）奇偶性；（3）单调性；（4）零点；（5）函数值符号.考查推理能力，属于中等题.‎ ‎8．的展开式中的系数是（ ）‎ A.58 B.62 C.52 D.42‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意利用二项展开式的通项公式，赋值即可求出。‎ ‎【详解】‎ 的展开式中的系数是.选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项式定理的展开式以及赋值法求展开式特定项的系数。‎ ‎9．若偶函数在上单调递减，，，，则、、满足（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由偶函数的性质得出函数在上单调递增，并比较出三个正数、、的大小关系，利用函数在区间上的单调性可得出、、的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 偶函数在上单调递减，函数在上单调递增，‎ ‎，，，‎ ‎，，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的单调性比较函数值的大小关系，解题时要利用自变量的大小关系并结合函数的单调性来比较函数值的大小，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎10．已知函数的最小正周期为 ‎，且其图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用函数的周期求出的值，利用逆向变换将函数的图象向左平行个单位长度，得出函数的图象，根据平移规律得出的值.‎ ‎【详解】‎ 由于函数的周期为，，则，‎ 利用逆向变换，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，所以，因此，，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦型函数周期的计算，同时也考查了三角函数图象的平移变换，本题利用逆向变换求函数解析式，可简化计算，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.‎ ‎11．已知、分别为的左、右焦点，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由中垂线的性质得出，利用圆的切线长定理结合双曲线的定义得出，可得出的值，再结合的值可求出双曲线的离心率的值.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，由题意，，由双曲线定义得，‎ 由圆的切线长定理可得，‎ 所以，，，‎ 即，所以，双曲线的离心率，故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线离心率的求解，同时也考查了双曲线的定义以及圆的切线长定理的应用，解题时要分析出几何图形的特征，在出现焦点时，一般要结合双曲线的定义来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎12．定义在上的函数若满足：①对任意、，都有；②对任意，都有，则称函数为“中心捺函数”，其中点称为函数的中心.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若满足不等式，当时，的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先结合题中条件得出函数为减函数且为奇函数，由，可得出，化简后得出，结合可求出，再由结合不等式的性质得出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由知此函数为减函数.‎ 由函数是关于的“中心捺函数”，知曲线关于点对称，故曲线关于原点对称，故函数为奇函数，且函数在上递减，‎ 于是得，.‎ ‎，.‎ 则当时，令m=x，y=n则：‎ 问题等价于点（x，y）满足区域，如图阴影部分，‎ 由线性规划知识可知为（x，y）与（0，0）连线的斜率，‎ 由图可得，‎ ‎，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查代数式的取值范围的求解，解题的关键就是分析出函数的单调性与奇偶性，利用函数的奇偶性与单调性将题中的不等关系进行转化，应用到线性规划的知识，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.‎ 二、填空题 ‎13．已知向量，且，则_______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由题意可得解得.‎ ‎【名师点睛】（1）向量平行：，,.‎ ‎（2）向量垂直：.‎ ‎（3）向量的运算：.‎ ‎14．科目二，又称小路考，是机动车驾驶证考核的一部分，是场地驾驶技能考试科目的简称.假设甲每次通过科目二的概率均为，且每次考试相互独立，则甲第3次考试才通过科目二的概率为__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】甲第3次考试才通过科目二，则前两次都未通过，第3次通过，故所求概率为.填 ‎15．在中，角，，的对边分别是，，，，若，则的周长为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由题意，所以，且 ‎ ‎ 由余弦定理，得，所以 ‎ ‎ 所以的周长为.‎ 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.‎ ‎16．如图，是正方体的棱上的一点，且平面，则异面直线与所成角的余弦值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 不妨设正方体的棱长为，如图，当为中点时，平面，则为直线与所成的角，在中，‎ ‎，故答案为.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.‎ 三、解答题 ‎17．已知正项数列满足，数列的前项和满足．‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）,.（2） .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合所给的递推公式可得数列是以为首项，为公差的等差数列，则，利用前n项和与通项公式的关系可得的通项公式为.‎ ‎(2)结合(1)中求得的通项公式裂项求和可得数列 的前项和.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为，所以，，‎ 因为，所以，所以，‎ 所以是以为首项，为公差的等差数列，‎ 所以，‎ 当时，，当时也满足，所以.‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 所以.‎ ‎18．如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，平面，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）由题意知为，利用等腰三角形三线合一的思想得出，由平面可得出，再利用直线与平面垂直的判定定理可得出平面；‎ ‎（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，计算出平面和平面的法向量，然后利用空间向量法计算出二面角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为四边形是平行四边形，，所以为的中点.‎ 又，所以.‎ 因为平面，平面，所以.‎ 又，平面，平面，故平面；‎ ‎（2）因为，以为原点建立空间直角坐标系如下图所示，‎ 设，则、、、，‎ 所以，，，‎ 设平面的一个法向量为，则，所以，‎ 得，令，则，，所以.‎ 同理可求得平面的一个法向量，‎ 所以.‎ 又分析知，二面角的平面角为锐角，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与平面垂直的判定，同时也考查了二面角的计算，解题的关键在于建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎19．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，，（为坐标原点）.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）定义：曲线在点处的切线方程为.若抛物线上存在点（不与原点重合）处的切线交椭圆于、两点，线段的中点为.直线与过点且平行于轴的直线的交点为，证明：点必在定直线上.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】（1）由得出，再由得出，求出、的值，从而得出椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设点的坐标为，根据中定义得出直线的方程，并设点、，，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用中点坐标公式求出点的坐标，得出直线的方程与的方程联立，求出点的坐标，可得出点所在的定直线的方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，可知，即.‎ ‎，，，可得，联立.‎ 得，则，所以，‎ 所以椭圆的方程为；‎ ‎（2）设点，则由定义可知，过抛物线上任一点处的切线方程为，所以.‎ 设、，.‎ 联立方程组，消去，得.‎ 由，得，解得.‎ 因为，‎ 所以，从而，‎ 所以，所以直线的方程为.‎ 而过点且平行于轴的直线方程为，‎ 联立方程，解得，所以点在定直线上.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程的求解，以及直线与抛物线、直线与椭圆的综合问题，解题的关键在于利用题中的定义写出切线方程，并将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法进行求解，考查方程思想的应用，属于难题.‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（1）若函数存在不小于的极小值，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用导数分析函数的单调性，求出函数的极值，然后令极值大于等于，解出不等式可得出实数的取值范围；‎ ‎（2）构造函数，问题等价于 ‎，对实数进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，结合条件可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数的定义域为，.‎ 当时，，函数在区间上单调递减，‎ 此时，函数无极值；‎ 当时，令，得，‎ 又当时，；当时，.‎ 所以，函数在时取得极小值，且极小值为.‎ 令，即，得.‎ 综上所述，实数的取值范围为；‎ ‎（2）当时，问题等价于，‎ 记，‎ 由（1）知，在区间上单调递减，‎ 所以在区间上单调递增，所以，‎ ‎①当时，由可知，所以成立；‎ ‎②当时，的导函数为恒成立，所以在区间上单调递增，‎ 所以.‎ 所以，函数在区间上单调递增，从而，命题成立.‎ ‎③当时，显然在区间上单调递增，‎ 记，则，当时，，‎ 所以，函数在区间上为增函数，即当时，.‎ ‎，，‎ 所以在区间内，存在唯一的，使得，‎ 且当时，，即当时，，不符合题意，舍去.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求函数的极值，以及利用导数研究函数不等式恒成立问题，常利用分类讨论法，利用导数分析函数的单调性，转化为函数的最值来求解，考查分类讨论思想的应用，属于难题.‎ ‎21．近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车（含电动汽车）销量已跃居全球首位.某电动汽车厂新开发了一款电动汽车，并对该电动汽车的电池使用情况进行了测试，其中剩余电量与行驶时间（单位：小时）的测试数据如下：‎ 如果剩余电量不足，则电池就需要充电.‎ ‎（1）从组数据中选出组作回归分析，设表示需要充电的数据组数，求的分布列及数学期望；‎ ‎（2）根据电池放电的特点，剩余电量与时间工满足经验关系式：，通过散点图可以发现与之间具有相关性.设，利用表格中的前组数据求相关系数，并判断是否有的把握认为与之间具有线性相关关系.（当相关系数满足时，则认为的把握认为两个变量具有线性相关关系）；‎ ‎（3）利用与的相关性及前组数据求出与工的回归方程.（结果保留两位小数）‎ 附录：相关数据：，，，.‎ 前9组数据的一些相关量：‎ 合计 相关公式：对于样本.其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，相关系数.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）有的把握认为与之间具有线性相关关系；‎ ‎（3）.‎ ‎【解析】（1）根据题知随机变量的可能取值为、，利用古典概型概率公式计算出和时的概率，可列出随机变量的分布列，由数学期望公式可计算出；‎ ‎（2）根据相关系数公式计算出相关系数的值，结合题中条件说明由的把握认为变量与变量有线性相关关系；‎ ‎（3）对两边取自然对数得出，设，由，可得出，利用最小二乘法计算出关于的回归直线方程，进而得出关于的回归方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）组数据中需要充电的数据组数为组.的所有可能取值为、.‎ ‎，.‎ 的分布列如下：‎ ‎；‎ ‎（2）由题意知，‎ ‎，有的把握认为与之间具有线性相关关系；‎ ‎（3）对两边取对数得，‎ 设，又，则，‎ ‎，易知，.‎ ‎，，‎ 所求的回归方程为，即.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查随机变量分布列与数学期望、相关系数的计算、非线性回归方程的求解，解题时要理解最小二乘法公式及其应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎22．以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）.‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；‎ ‎（2）设点的直角坐标为，过的直线与直线平行，且与曲线 交于、两点，若，求的值.‎ ‎【答案】（1）直线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】（1）利用两角和的余弦公式以及可将的极坐标方程转化为普通方程，在曲线的参数方程中消去参数可得出曲线的普通方程；‎ ‎（2）求出直线的倾斜角为，可得出直线的参数方程为（为参数），并设点、的参数分别为、，将直线的参数方程与曲线普通方程联立，列出韦达定理，由，代入韦达定理可求出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以，‎ 由，，得，‎ 即直线的直角坐标方程为；‎ 因为消去，得，所以曲线的普通方程为；‎ ‎（2）因为点的直角坐标为，过的直线斜率为，‎ 可设直线的参数方程为（为参数），‎ 设、两点对应的参数分别为、，将参数方程代入，‎ 得，则，.‎ 所以，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程、极坐标与普通方程的互化，同时也考查了直线参数方程的几何意义的应用，求解时可将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，结合韦达定理进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（1）当时，求的解集；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）将代入函数的解析式，并将函数表示为分段函数，分段解出不等式，可得出所求不等式的解集；‎ ‎（2）分和两种情况，将函数的解析式表示为分段函数，求出函数的最小值，然后解出不等式可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，‎ 当时，由，得；‎ 当时，由，得；‎ 当时，不等式无解.‎ 所以原不等式的解集为；‎ ‎（2）当时，；‎ 当时，.‎ 所以，由，得或，‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查绝对值不等式的解法以及绝不等式不等式恒成立问题，一般采用去绝对值的办法，利用分类讨论思想求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.‎