金榜2011高考真题分类汇编考点10导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例新课标地区
考点10 导数在研究函数中的应用
与生活中的优化问题举例
一、选择题
1．（2011·安徽高考文科·Ｔ10）函数在区间上的图象如图所示，则n可能是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【思路点拨】 代入验证，并求导得极值，结合图象确定答案
【精讲精析】选A 代入验证,当n=1时，，则
，由=0可知，，结合图象可知函数应在（0，）递增，在递减，即在处取得最大值，由
知存在
2（2011·辽宁高考理科·Ｔ11）函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，，则f（x）＞2x+4的解集为
（A）（-1，1） （B）（-1，+） （C）（-，-1） （D）（-，+）
【思路点拨】先构造函数，求其导数，将问题转化为求单调性问题即可求解．
【精讲精析】选B构造函数，则，又因为，所以，可知
在R上是增函数，所以可化为，即，利用单调性可知，．选B
3．（2011·安徽高考理科·Ｔ10）函数在区间上的图象如图所示，则的值可能是
（A） (B) (C) (D)
【思路点拨】本题考查函数与导数的综合应用，先求出的导数，然后根据函数图像确定极值点的位置，从而判断m,n的取值
【精讲精析】选B函数的导数
则在上大于0，在上小于0，由图象可知极大值点为，结合选项可得m=1,n=2
二、填空题
4（2011·广东高考理科·Ｔ12）函数在 处取得极小值[源:Z&xx&kCom]
【思路点拨】先求导函数的零点，然后通过导数的正负分析函数的增减情况，从而得出取得极值的时刻
【精讲精析】答案：2
由解得或，列表如下：
0
2
+
-
+
增
极大值
减
极小值
增
当时，取得极小值
5．（2011·辽宁高考文科·Ｔ16）已知函数有零点，则的取值范围是
【思路点拨】先求，判断的单调性．结合图象找条件．本题只要使的最小值不大于零即可．
【精讲精析】选A，=．由得，
∴．由得，．
∴在处取得最小值．
只要即可．∴，
∴．
∴的取值范围是
6（2011·江苏高考·Ｔ12）在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_________
【思路点拨】本题考查的是直线的切线方程以及函数的单调性问题，解题的关键是表示出中点的纵坐标t的表达式，然后考虑单调性求解最值。
【精讲精析】答案：
设则，过点P作的垂线
，
，所以，t在上单调增，在单调减，。
三、解答题
7．（2011·安徽高考理科·Ｔ16）设，其中为正实数
（Ⅰ）当时，求的极值点；
（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围
【思路点拨】（Ⅰ）直接利用导数公式求导，求极值 （Ⅱ）求导之后转化为恒成立问题
【精讲精析】对求导得，
（Ⅰ）当令，则解得，
列表得
x
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以，是极小值点，是极大值点
（Ⅱ）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合与条件a>0,知在R上恒成立，因此由此并结合a>0,知
8（2011·福建卷理科·Ｔ18）(本小题满分13分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式
，其中3
0
从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+
（ii）设00,故 (x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾
（iii）设k1此时，（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0,与题设矛盾
综合得，k的取值范围为（-，0]
13 （2011·新课标全国高考文科·Ｔ21）已知函数，曲线在点处的切线方程为
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）证明：当，且时，
【思路点拨】第（1）问，对函数求导得，对应为切线的斜率，切点即在切线上又在原函数上，利用上述关系，建立方程组，求得的值；
第（2）问，，先化简函数式，再证明不等式成立即可，必要时分类讨论
【精讲精析】
（Ⅰ）
由于直线的斜率为，且过点，故即
解得，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=所以
考虑函数
则h′(x)=
所以x≠1时h′(x)＜0而h(1)=0故
x时h(x)>0可得,
x h(x)<0可得,
从而当，且时，
14．（2011·辽宁高考文科·Ｔ20）（本小题满分12分）
设函数，曲线过点P（1，0），且在P点处的切斜线率为2．
（I）求，的值；
（II）证明：．
【思路点拨】（I）先求导，再代入进行计算；（II）构造函数，求其导函数，证明其单调性，将所求问题转化为证明 的问题．
【精讲精析】（I）． ……2分
由已知条件得 即
解得 ……5分
（II）的定义域为，由（I）知．
设，则
．
当时，；当时，．
所以在上单调增加，在（1，+）上单调减少．
而，故当时，，即． ……12分
15（2011·广东高考文科·Ｔ19）设a＞0,讨论函数f(x)=lnx+a(1-a)x2
-2(1-a)x的单调性
【思路点拨】先求的导函数，再由的不同取值范围，解不等式，从而确定的单调区间在解本题时一定要注意的定义域为
【精讲精析】函数的定义域为
当的判别式
①当有两个零点，
且当内为增函数；
当内为减函数；
②当内为增函数；
③当内为增函数；
④当
在定义域内有唯一零点，
且当内为增函数；当时，内为减函数。
的单调区间如下表：
（其中）
16（2011·广东高考理科·Ｔ21）(本题满分14分)在平面直角坐标系上,给定抛物线:,实数满足,是方程的两根，记
（Ⅰ）过点作的切线交轴于点证明:对线段上任一点有
（Ⅱ）设是定点，其中满足,过作的两条切线，切点分别为，与轴分别交于线段上异于两端点的点集记为证明:;
（Ⅲ）．设当点取遍时，求的最小值(记为)和最大值(记为)
【思路点拨】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，进而写出切线方程，再求出其与轴的交点坐标把条件Q点在线段AB上转化为代数条件，即的取值范围，求出方程的根，用表示，再由其取值范围得出结论
（2）数形结合可得
（3）数形结合，结合换元法
【精讲精析】（1）【解】，则过A()的切线斜率，切线方程为,
令得B()由Q（）在线段AB上得
由，得=
由对称性，不妨设，则,，由得
即综之有
（2）【证明】由（1）知
（Ⅰ）若，由（1）知在线段上,且且,
若,由（1）知在线段上,则在轴上，这与矛盾，故，得；
（Ⅱ）若，有，点在的下方，则交点在线段上,即，得
由上述（Ⅰ）（Ⅱ）知：
(3)【解】方法一：由得或知，
由题意知：，于是有，即D内任何一点对应方程均有解，由知
φ，设，则φ（）=,,
区域D=
如图示画出区域，
将直线：平行移动，当与直线BC重合时，，得；
当与曲线相切时，由知，得切点,于是有
方法二：联立，得交点，可知，
过点作抛物线L的切线，设切点为，则，
得，解得，
又，即，
，设，，
，又，；
，，
．
17（2011·山东高考理科·Ｔ21）（本小题满分12分）
某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元设该容器的建造费用为千元
（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的
【思路点拨】本题为应用题，从近几年高考题目看，应用题总体难度不是太大，易于得分，（1）先求出l
和r的关系，再根据问题情境列出函数解析式，注意函数的定义域（2）利用导数求函数的最值先求导，再判断函数的单调性，然后根据单调性求出极值，再由函数的定义域求出最值
【精讲精析】（Ⅰ）因为容器的体积为立方米，
所以,
解得,
由于
因此
所以圆柱的侧面积为=,
两端两个半球的表面积之和为,
所以建造费用+,定义域为
（Ⅱ）因为+=,
由于c>3,所以c-2>0,
所以令得: ;
令得:,
（1）当时，即时，函数y在（0，2）上是单调递减的，故建造费最小时r=2
（2）当时，即时，函数y在（0，2）上是先减后增的，故建造费最小时
18（2011·辽宁高考理科·Ｔ21）(本小题满分12分)已知函数f（x）=lnx-ax2=（2-a）x
(I)讨论f（x）的单调性；
（II）设a＞0，证明：当0＜x＜时，f（+x）＞f（－x）；
（III）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f’（ x0）＜0
【思路点拨】(I)要先考虑定义域，再求导数，然后对进行讨论，从而所求函数的单调性；
（II）可先构造函函数，将所证结论转化为证明恒成立，再对求导，利用单调性可解决问题；
（III）先设A（，０），B（，０），结合(Ⅰ) 可知且先增后减，利用（Ⅱ）的结论，可证 ，从而，确定的取值范围，最后利用(Ⅰ)的结论得证．
【精讲精析】(Ⅰ)的定义域为，
（ⅰ）若，则，所以在单调递增
（ⅱ）若，则由得，且当时，，
当时， ，
所以在单调递增，在单调递减 ……4分
（Ⅱ）设函数，则
，
当时，，而，所以
故当时， ……8分
（Ⅲ）由(Ⅰ)可得，当时，函数y=f（x）的图象与x轴至多只有一个交点，故，从而的最大值为，且．
不妨设A（，０），B（，０），，则，
由（Ⅱ）得．
从而，于是．
由(Ⅰ)知，． ……12分
19．（2011·北京高考理科·T18）(13分)已知函数
（I）求的单调区间；
（II）若对于任意的，都有，求k的取值范围
【思路点拨】求导后，分k>0与k<0两种情况进行讨论
【精讲精析】(Ⅰ)，令，得
当k>0时，f(x)与的情况如下：
-
0
+
0
-
↑
[源:学科网]
↓
0
↑
所以的单调增区间是和；单调减区间是
当时，与的情况如下：
+
0
-
0
+
↓
0
↑
↓
所以的单调减区间是和；单调增区间是
（Ⅱ）当时，因为，所以不会有，
当时，由（1）知在上的最大值是
所以等价于，解得
故当，时，k的取值范围是
20．（2011·北京高考文科·T18）(13分)已知函数
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）求在区间上的最小值
【思路点拨】（Ⅰ）先求出的导数，然后根据导数的性质得出单调区间；（Ⅱ）根据单调性求出[0,1]值域，通过值域得出最小值
【精讲精析】（Ⅰ）令，得，与的情况如下：
-
0
+
↓
↑
所以的单调递减区间是；单调递增区间是
（Ⅱ）当，即时，函数在上单调递增，
所以在区间上的最小值为；
当，即时，由（Ⅰ）知在上单调递减，在上单调递增，所以在区间上的最小值为
当，即时，函数在上单调递减，所以在区间上的最小值为
21．（2011·湖南高考文科T22）（本小题满分13分）设函数
（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）若f(x)有两个极值点，记过点的直线的斜率为k问：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由
【思路点拨】本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用分类讨论思想、函数和方程相互转化的思想分析解决温问题的能力
【精讲精析】
（I）的定义域为
令
(1) 当故上单调递增．
(2) 当的两根都小于0，在上，，故上单调递增．
(3) 当的两根为，
当时， ；当时， ；当时， ，故
分别在上单调递增，在上单调递减．
（II）由（I）知，．
因为，所以
又由(I)知，．于是
若存在，使得则．即．亦即
再由（I）知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾．故不存在，使得
22（2011·江西高考理科·Ｔ19）设
（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围
（2）当时，在的最小值为，求在该区间上的最大值
【思路点拨】（1）要使在上存在单调递增区间，需在上恒大于零，即得a的取值范围（2）首先求出在上的最小值为f(4),从而求出a的值，进一步易求在该区间上的最大值为f(2)
【精讲精析】
23（2011·江西高考文科·Ｔ20）设
（1）如果在处取得最小值，求的解析式；
（2）如果，的单调递减区间的长度是正整数，试求和
的值．(注：区间的长度为）
【思路点拨】（1）先将函数g(x)配方，结合二次函数的图像特点，可得参数m,n（2）先根据f(x)存在单调递减区间，得出，进而根据得到，又因为单调递减区间的长度为，结合m+n<10,经过讨论可得，m,n的值。
【精讲精析】解：（1）已知，
又在处取极值，
则，又因为在处取最小值-5，
则
（2）要使单调递减，则
又因为递减区间长度是正整数，所以两根设做a，b。即有：
b-a为区间长度。又
又因为b-a为正整数，且m+n<10,所以m=2，n=3或，符合。
24．（2011·陕西高考理科·T19）（本小题满分12分）
如图，从点P1（0，0）作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点．再从作轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：；；…；，记点的坐标为（）．
（Ⅰ）试求与的关系（）；
（Ⅱ）求．
【思路点拨】（1）根据函数的导数求切线方程，然后再求切线与轴的交点坐标； （2）尝试求出通项的表达式，然后再求和．
【精讲精析】（Ⅰ）设点的坐标是，∵，∴，
∴，在点处的切线方程是，
令，则（）．
（Ⅱ）∵，，∴，
∴，于是有
，即．
25．（2011·陕西高考理科·T21）（本小题满分14分）
设函数定义在上，，导函数，．
（Ⅰ）求的单调区间和最小值；
（Ⅱ）讨论与的大小关系；
（Ⅲ）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（Ⅰ）先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（Ⅱ）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（Ⅲ）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论．
【精讲精析】（Ⅰ）∵，∴（为常数），又∵，所以，即，
∴；，
∴，令，即，解得，
当时，，是减函数，故区间在是函数的减区间；[源:ZxxkCom]
当时，，是增函数，故区间在是函数的增区间；
所以是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，
所以的最小值是．
（Ⅱ），设，
则，
当时，，即，
当时，，，
因此函数在内单调递减，
当时，=0，∴；
当时，=0，∴．
（Ⅲ）满足条件的不存在．证明如下：
证法一 假设存在，使对任意成立，
即对任意有 ①
但对上述的，取时，有，这与①左边的不等式矛盾，
因此不存在，使对任意成立．
证法二 假设存在，使对任意成立，
由（Ⅰ）知，的最小值是，[源:学|科|网]
又因为，而时，的值域为，
∴当时，的值域为，
从而可以取一个值，使，即,
∴，这与假设矛盾．
∴不存在，使对任意成立．
26（2011·陕西高考文科·T21）（本小题满分14分）
设，．
（Ⅰ）求的单调区间和最小值；
（Ⅱ）讨论与的大小关系；
（Ⅲ）求的取值范围，使得＜对任意＞0成立．
【思路点拨】（Ⅰ）先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（Ⅱ）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（Ⅲ）对任意＞0成立的恒成立问题转化为函数的最小值问题．
【精讲精析】（Ⅰ）由题设知，
∴令0得=1，
当∈（0，1）时，＜0，是减函数，故（0，1）是的单调减区间。
当∈（1，+∞）时，＞0，是增函数，故（1，+∞）是的单调递增区间，因此，=1是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，
所以的最小值为
(Ⅱ)
设，则，
当时，，即，
当时，，
因此，在内单调递减，
当时，
即
（Ⅲ）由（Ⅰ）知的最小值为1，所以，
，对任意，成立
即从而得．[源:学科网]
27．（2011天津高考理科T19）已知，函数（的图像连续不断）
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当时，证明：存在，使；
（Ⅲ）若存在均属于区间的，且，使，证明
【思路点拨】（1）由导数求单调区间；
（2）设函数，任取，利用函数f(x)的单调性证明在；
（3） 利用（1）的结论，寻找的不等关系分离出。
【精讲精析】 （I）【解析】， 令
当x变化时，的变化情况如下表：
+
0
-
极大值
所以，的单调递增区间是的单调递减区间是
（II）证明：当 由（I）知在（0，2）内单调递增， 在内单调递减。令由于
在（0，2）内单调递增，故取所以存在即存在
（说明：的取法不唯一，只要满足即可）
（III）证明：由及（I）的结论知，
从而上的最小值为又由，知
故
从而
28（2011·浙江高考理科·Ｔ22）（本题满分14分）设函数＝，∈R
（Ⅰ）若＝为的极值点，求实数；
（Ⅱ）求实数的取值范围，使得对任意的∈（0,3]，恒有≤4成立
注：为自然对数的底数．
【思路点拨】（１）利用是极值点的必要条件，注意解出值要进行检验；
（２）恒成立问题，时显然满足题意，时只需≤4．此题主要考查了函数极值的概念、导数的基本运算、导数的应用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等分析解决问题的能力
【精讲精析】
（Ⅰ）解：求导得 =2(-a)+=()(2ln x+1-
) 因为x=e是f(x)的极值点，所以= ，解得 或，经检验，符合题意，所以 或。
（Ⅱ）解：①当时，对于任意的实数,恒有成立，
②当，由题意，首先有，[源:学+科+网]
解得
由（Ⅰ）知，
令 ，则，，
且
=。
又在（0，+∞）内单调递增，所以函数在（0，+∞）内有唯一零点，记此零点为，则，。
从而，当时，；当时，；当时，，即在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增。所以要使对恒成立，只要
成立。
，知
（3）[源:学科网]
将（3）代入（1）得，又，注意到函数在[1,+∞)
内单调递增，故。
再由（3）以及函数2xlnx+x在（1, +∞)内单调递增，可得。
由（2）解得，。
所以
综上，的取值范围为
29（2011·浙江高考文科·Ｔ21）(本题满分15分)设函数
（Ⅰ）求的单调区间
（Ⅱ）求所有的实数，使对恒成立
注：为自然对数的底数
【思路点拨】（1）题中直接由导数的正负确定其单调区间；（2）题中为不等式恒成立问题，只需．
【精讲精析】
(Ⅰ）解：因为，其中，
所以
由于，所以的增区间为（0，）,减区间为（,+∞）
（Ⅱ）证明：由题意得， ，即
由（Ⅰ）知在[1,e]内单调递增，
要使对恒成立，
只要
解得．
30（2011天津高考文科T19）已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意的在区间内均存在零点
【思路点拨】（1）由导数的几何意义求切线方程；
（2） 利用导数研究函数的单调性；
（3） 对分区间讨论函数零点
【精讲精析】
（Ⅰ）【解析】当时，
所以曲线在点处的切线方程为
（Ⅱ）【解析】，令，解得
因为，以下分两种情况讨论：
（1）若变化时，的变化情况如下表：
+
-
+
所以，的单调递增区间是的单调递减区间是
（2）若，当变化时，的变化情况如下表：
+
-
+
所以，的单调递增区间是的单调递减区间是
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当时，在内的单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论：
（1）当时，在（0，1）内单调递减，
所以对任意在区间（0，1）内均存在零点
若
所以内存在零点
所以内存在零点
所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点
综上，对任意在区间（0，1）内均存在零点
（2）当时，在内单调递减，在内单调递增，若若
所以内存在零点。
若
所以内存在零点。
所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点。
综上，对任意在区间（0，1）内均存在零点。
