2013高考数学能力加强集训专题一集合常用逻辑用语含详解

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2013高考数学能力加强集训专题一集合常用逻辑用语含详解

专题一 第1讲 集合、常用逻辑用语 一、选择题(每小题4分,共24分)‎ ‎1.(2012·银川模拟)已知集合M={x-3<x≤5},N={xx<-5,或x>5},则M∪N=‎ A.{xx<-5,或x>-3}  B.{x-5<x<5}‎ C.{x-3<x<5} D.{xx<-3,或x>5}‎ 解析 如图可知,M∪N={xx<-5,或x>-3}.‎ 答案 A ‎2.(2012·东莞模拟)“a=-1”是“直线a2x-y+6=0与直线4x-(a-3)y+9=0互相垂直”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 当a=-1时,两直线方程为x-y+6=0,4x+4y+9=0,显然垂直;当两直线垂直时,4a2+a-3=0,得a=-1或a=,故选A.‎ 答案 A ‎3.(2012·丰台二模)已知全集U=R,集合A={x2x>1},B={xx2-3x-4>0},则A∩(∁UB)=‎ A.{x0≤x<4} B.{x0<x≤4}‎ C.{x-1≤x≤0} D.{x-1≤x≤4}‎ 解析 解不等式2x>1,得x>0,∴A=(0,+∞),‎ 解不等式x2-3x-4>0,得x>4或x<-1,∴B=(-∞,-1)∪(4,+∞),‎ 则∁UB=[-1,4],∴A∩(∁UB)=(0,4].‎ 答案 B ‎4.(2012·海淀模拟)已知命题p:∃x0∈R,=1,则綈p是 A.∀x0∈R, ≠1 B.∀x0∉R, ≠1‎ C.∃x0∈R, ≠1 D.∃x0∉R, ≠1‎ 解析 根据命题的否定的概念知选A.‎ 答案 A ‎5.(2012·天水模拟)“a<4”是“对任意的实数x,|2x-1|+|2x+3|≥a成立”的 A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件 解析 把|2x-1|+|2x+3|≥a变形为+≥,‎ 由绝对值的几何意义知+≥2,‎ 据题意得≤2,即a≤4,‎ 由a<4⇒a≤4但a≤4D/⇒a<4,故选B.‎ 答案 B ‎6.命题p:若a·b<0,则a与b的夹角为钝角.命题q:如果y=f(x)是可导函数,则f′(x0)=0是函数y=f(x)在x=x0处取到极值的必要不充分条件.下列说法不正确的是 A.“p∨q”是真命题 B.“p∧q”是假命题 C.“綈p”为假命题 D.“綈q”为假命题 解析 因为a,b反向共线时,a·b<0,但a与b的夹角为π,而不是钝角,故命题p是假命题;对于命题q,如果y=f(x)是可导函数,则f′(x0)=0,如果x0的左右邻域内f′(x)符号相同,则函数y=f(x)在x=x0处取不到极值,反之,若函数y=f(x)在x=x0处取到极值,则必有f′(x0)=0,故命题q是真命题.故“p∨q”为真,“p∧q”为假,“綈p”为真,“綈q”为假,故选C.‎ 答案 C 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎7.若集合A={xx2+ax+1=0,x∈R},集合B={1,2},且A∪B=B,则实数a的取值范围是________.‎ 解析 (1)若A=∅,则Δ=a2-4<0,解得-2<a<2;‎ ‎(2)若1∈A,则12+a+1=0,‎ 解得a=-2,此时A={1},符合题意;‎ ‎(3)若2∈A,则22+2a+1=0,‎ 解得a=-,此时A=,不合题意;‎ 综上所述,实数a的取值范围为[-2,2).‎ 答案 [-2,2)‎ 8. 命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实数根”的逆否命题是________命题(填“真”或“假”).‎ 解析 解法一 ∵m>0,∴4m>0,4m+1>0,‎ ‎∴方程x2+x-m=0的判别式Δ=4m+1>0,‎ ‎∴方程x2+x-m=0有实数根,即原命题为真.‎ ‎∴命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实数根”的逆否命题是真命题.‎ 解法二 原命题的逆否命题为“若方程x2+x-m=0无实数根,则m≤0”,‎ ‎∵方程x2+x-m=0无实数根,∴Δ=4m+1<0.‎ ‎∴m<-<0,∴原命题的逆否命题为真.‎ 答案 真 ‎9.给出下列命题:‎ ‎①y=1是幂函数;‎ ‎②函数f(x)=2x-log2x的零点有1个;‎ ‎③(x-2)≥0的解集为[2,+∞);‎ ‎④“x<1”是“x<2”的充分不必要条件;‎ ‎⑤函数y=x3在点O(0,0)处切线是x轴.‎ 其中真命题是________(写出所有正确命题的编号).‎ 解析 y=1不是幂函数,①是假命题;作出函数y=2x与y=log2x的图象,‎ 知函数f(x)=2x-log2x没有零点,②错误;x=1是不等式(x-2)≥0的解,‎ ‎③错误;x<1⇒x<2,而x<2x<1,④正确;y′=(x3)′=3x2,k切=0,‎ 过原点的切线方程为y=0,⑤正确.‎ 答案 ④⑤‎ 三、解答题(每小题12分,共36分)‎ ‎10.(2012·潍坊模拟)已知命题p:∀x∈[1,2],x2-a≥0;命题q:∃x0∈R,使得x+(a-1)x0+1<0.若“p或q”为真,“p且q”为假,求实数a的取值范围.‎ 解析 p真,则a≤1,q真,则Δ=(a-1)2-4>0,即a>3或a<-1.‎ ‎∵“p∨q”为真,p∧q为假,‎ ‎∴p、q中必有一个为真,另一个为假,‎ 当p真q假时,有得-1≤a≤1,‎ 当p假q真时,有得a>3,‎ 实数a的取值范围为-1≤a≤1或a>3.‎ ‎11.(2012·新乡模拟)已知p:|x-4|≤6,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若綈p是綈q的必要而不充分条件,求实数m的取值范围.‎ 解析 由题知,若綈p是綈q的必要不充分条件的等价命题为:p是q的充分不必要条件.‎ p:|x-4|≤6⇒-2≤x≤10;‎ q:x2-2x+1-m2≤0⇒[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0①‎ 又∵m>0,∴不等式①的解集为1-m≤x≤1+m.‎ ‎∵p是q的充分不必要条件 ‎∴或,∴m≥9,‎ ‎∴实数m的取值范围是[9,+∞).‎ ‎12.(2012·奉贤区模拟)设关于x的不等式x(x-a-1)<0(a∈R)的解集为M,不等式≤0的解集为N.‎ ‎(1)当a=1时,求集合M;‎ ‎(2)若M⊆N,求实数a的取值范围.‎ 解析 (1)当a=1时,由已知得x(x-2)<0.‎ 所以M={x0<x<2}.‎ ‎(2)解法一 由已知得N={x-1≤x<3}.‎ ‎①当a<-1时,因为a+1<0,‎ 所以M={xa+1<x<0}.‎ 因为M⊆N,所以-1≤a+1<0,解得-2≤a<-1.‎ ‎②若a=-1时,M=∅,显然有M⊆N,‎ 所以a=-1成立.‎ ‎③若a>-1时,因为a+1>0,‎ 所以M={x0<x<a+1}.‎ 又N={x-1≤x<3},‎ 因为M⊆N,所以0<a+1≤3,解得-1<a≤2.‎ 综上所述,a的取值范围是[-2,2].‎ 解法二 由(1)与解法一:‎ 由已知得N={x-1≤x<3}.‎ 由题得解得-2≤a≤-1,‎ 解得-1≤a≤2.‎ 所以a∈[-2,2].‎
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