人教A版文科数学课时试题及解析（51）双曲线B

人教A版文科数学课时试题及解析（51）双曲线B

课时作业(五十一)B　[第51讲　双曲线]‎ ‎ [时间：35分钟　分值：80分]‎ ‎1．下列双曲线中，离心率为的是(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C．－＋＝1 D．－＋＝1‎ ‎2． 双曲线－＝1的一个焦点是(0,2)，则实数m的值是(　　)‎ A．1 B．－‎1 C．－ D. ‎3．若k∈R，则“k>‎5”‎是“方程－＝1表示双曲线”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4． 若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线－＝1的顶点和焦点，则椭圆C的方程是________．‎ ‎5． 与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是(　　)‎ A.－y2＝1 B.－y2＝1‎ C.－＝1 D．x2－＝1‎ ‎6． 设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎7． 已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为(　　)‎ A．－2 B．－ C．1 D．0‎ ‎8． 双曲线－＝1上到定点(5,0)的距离是9的点的个数是(　　)‎ A．0 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎9． 双曲线2x2－3y2＝1的渐近线方程是________．‎ ‎10． 在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5,0)，e1＝(2,1)、e2＝(2，－1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若＝ae1＋be2(a、b∈R)，则a、b满足的一个等式是________．‎ ‎11．双曲线的渐近线为y＝±x，则双曲线的离心率为________．‎ ‎12．(13分)点M(x，y)到定点F(5,0)距离和它到定直线l：x＝的距离的比是.‎ ‎(1)求点M的轨迹方程；‎ ‎(2)设(1)中所求方程为C，在C上求点P，使|OP|＝(O为坐标系原点)．‎ ‎13．(12分)已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F(－2,0)．‎ ‎(1)求双曲线方程；‎ ‎(2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若||＝2||，求直线l的方程．‎ 课时作业(五十一)B ‎【基础热身】‎ ‎1．C　[解析] 计算知，选项C正确，故选C.‎ ‎2．B　[解析] 由焦点坐标知，焦点在y轴上，m<0，∴双曲线的标准方程为－＝1，∴－m－‎3m＝4，∴m＝－1.‎ ‎3．A　[解析] 当k>5时，方程表示双曲线；反之，方程表示双曲线时，有k>5或k<－2.故选A.‎ ‎4.＋＝1　[解析] 由题意可知，双曲线－＝1的一个焦点和一个顶点的坐标分别为(3,0)、(，0)．设椭圆C的方程是＋＝1(a>b>0)，则a＝3，c＝，b＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎【能力提升】‎ ‎5．B　[解析] 椭圆的焦点坐标为(±，0)，四个选项中，只有－y2＝1的焦点为(±，0)，且经过点P(2,1)．故选B.‎ ‎6．D　[解析] 设双曲线的方程为－＝1，设F(c,0)，B(0，b)，直线FB的斜率为－，与其垂直的渐近线的斜率为，所以有－＝－1，即b2＝ac，所以c2－a2＝ac，两边同时除以a2可得e2－e－1＝0，解得e＝.‎ ‎7．A　[解析] 由已知可得A1(－1,0)，F2(2,0)，设点P的坐标为(x，y)，则·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－x－2＋y2，因为x2－＝1(x≥1)，所以·＝4x2－x－5，当x＝1时，·有最小值－2.故选A.‎ ‎8．C　[解析] (5,0)是双曲线的右焦点，它到双曲线左顶点的距离为9，所以以(5,0)为圆心，以9为半径作圆，该圆与双曲线的右支有两个交点，所以共有3个这样的点．‎ ‎9．y＝±x　[解析] 双曲线2x2－3y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，即y＝±x.‎ ‎10．4ab＝1　[解析] 易知双曲线Γ的方程为－y2＝1，设P(x0，y0)，又e1＝(2,1)，e2＝(2，－1)，由＝ae1＋be2，得(x0，y0)＝a(2，1)＋b(2，－1)，‎ 即(x0，y0)＝(‎2a＋2b，a－b)，‎ ‎∴x0＝‎2a＋2b，y0＝a－b，‎ 代入－y2＝1整理得4ab＝1.‎ ‎11.或　[解析] 当焦点在y轴上时，＝，即‎9a2＝16b2＝16(c2－a2)，解得e＝；当焦点在x轴上时，＝，即‎16a2＝9b2＝9(c2－a2)，解得e＝.‎ ‎12．[解答] (1)|MF|＝，‎ 点M到直线l的距离d＝，‎ 依题意，有＝，‎ 去分母，得3＝|5x－9|，‎ 平方整理得－＝1，即为点M的轨迹方程．‎ ‎(2)设点P坐标为P(x，y)，‎ 由|OP|＝得x2＋y2＝34，‎ 解方程组得或或或 ‎∴点P为(3，4)或(－3，－4)或(－3，4)或(3，－4)．‎ ‎【难点突破】‎ ‎13．[解答] (1)由题意可设所求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，‎ 则有e＝＝2，c＝2，所以a＝1，则b＝，‎ 所以所求的双曲线方程为x2－＝1.‎ ‎(2)因为直线l与y轴相交于M且过焦点F(－2,0)，‎ 所以l的斜率一定存在，设为k，则l：y＝k(x＋2)，‎ 令x＝0，得M(0,2k)，‎ 因为||＝2||且M、Q、F共线于l，‎ 所以＝2或＝－2.‎ 当＝2时，xQ＝－，yQ＝k，‎ 所以Q的坐标为，‎ 因为Q在双曲线x2－＝1上，‎ 所以－＝1，所以k＝±，‎ 所以直线l的方程为y＝(x＋2)，‎ 当＝－2时，‎ 同理求得Q(－4，－2k)代入双曲线方程得，‎ ‎16－＝1，所以k＝±，‎ 所以直线l的方程为y＝±(x＋2)．‎ 综上：所求的直线l的方程为y＝±(x＋2)或y＝±(x＋2)．‎