河北省南宫中学2019-2020学年高一下学期6月月考(开学考试)数学试题

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河北省南宫中学2019-2020学年高一下学期6月月考(开学考试)数学试题

‎2019-2020学年度南宫中学高一年级6月月考卷 数学试卷 注意事项:‎ ‎1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;‎ ‎2.请将答案正确填写在答题卡上。‎ 第I卷(选择题)‎ 一、单选题(本题共12个小题,每题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)‎ ‎1.已知、、,且,则下列不等式成立的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.若直线与直线互相垂直,则等于(   )‎ A.1 B.‎-1 ‎C.±1 D.-2‎ ‎3.在中,,则∠等于(  )‎ A.30°或150° B.60° C.60°或120° D.30°‎ ‎4.若向量,满足 ,,则向量,的夹角为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.等差数列的前n项和为,且满足,则下列数中恒为常数的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.一竖立在水平面上的圆锥物体的母线长为‎2m,一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P出发,绕圆锥表面爬行一周后回到P点,蚂蚁爬行的最短路径为,则圆锥的底面圆半径为( )‎ A.‎1m B. C. D.‎ ‎7.已知中,,E为BD中点,若,则的值为( )‎ A.2 B.‎6 ‎C.8 D.10‎ ‎8.在中,角,,所对的边分别是,,.若,则的形状是( )‎ A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 ‎9.正项等比数列中,存在两项使得,且,则的最小值是( )‎ A. B.‎2 ‎C. D.‎ ‎10.唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为,若将军从点处出发,河岸线所在直线方程为,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知正四棱锥的所有顶点都在球的球面上,若,且的体积为,则球的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.在平面直角坐标系中,已知,是圆上两个动点,且满足(),设,到直线的距离之和的最大值为,若数列的前项和恒成立,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 第II卷(非选择题)‎ 二、填空题(本大题共4小题,,每小题5分,共20分。)‎ ‎13.已知点,,为坐标原点,则外接圆的标准方程是__________.‎ ‎14.已知不等式的解集是,则不等式的解集是________.‎ ‎15.记为数列的前项和,若,则_____________.‎ ‎16.山顶上有一座信号发射塔,塔高0.2千米,山脚下有,,三个观测点,它们两两之间的距离分别为千米,千米,千米,从这三个观测点望塔尖的仰角均为60°,则山高为______千米.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.已知数列满足,且.‎ ‎(1)设,证明数列为等差数列;‎ ‎(2)设,求数列的前n项和.‎ ‎18.在中,,,且的面积为.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)若D为BC上一点,且 ,求的值.‎ 从①,②这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.‎ ‎19.如图四边形ABCD为梯形,,求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.‎ ‎20.已知的内角,,的对边,,分别满足,,又点满足.‎ ‎(1)求及角的大小;‎ ‎(2)求的值.‎ ‎21.已知直线:,半径为2的圆与相切,圆心在轴上且在直线的右上方.‎ ‎(1)求圆的方程;‎ ‎(2)过点的直线与圆交于,两点(在轴上方),问在轴正半轴上是否存在定点,使得轴平分?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎22.已知数列满足:,‎ Ⅰ求数列的通项公式;‎ Ⅱ设,数列的前n项和为,试比较与的大小.‎ ‎2019-2020学年度南宫中学高一年级6月月考卷 数学试卷参考答案 ‎1.C 取,,则,,A、B选项错误;‎ ‎,,由不等式的基本性质可得,C选项正确;‎ 当时,,则,D选项错误.‎ ‎2.C 解:①当时,利用直线的方程分别化为:,,此时两条直线相互垂直.‎ ‎②如果,两条直线的方程分别为与,不垂直,故;‎ ‎③,当时,此两条直线的斜率分别为,.‎ 两条直线相互垂直,‎ ‎,化为,‎ 综上可知:.‎ ‎3.C 根据正弦定理,‎ 可得,解得,故可得为60°或120°;‎ 又,则,显然两个结果都满足题意.‎ ‎4.C ,,得,即,‎ 解得,又,所以.‎ ‎5.D解:在等差数列中,‎ ‎∵,‎ ‎∴(‎10a1+20d)-13(a1+3d)+5(a1+7d)=10,‎ ‎2a‎1+16d=10,a1+8d=5,a9=5,所以,S17=17×(a1+a17)=‎17a9=85为定值,故选D.‎ ‎6.B 将圆锥侧面展开得半径为‎2m的一扇形,蚂蚁从爬行一周后回到(记作),作,如下图所示:‎ 由最短路径为,即,‎ 由圆的性质可得,即扇形所对的圆心角为,‎ 则圆锥底面圆的周长为,则底面圆的半径为,‎ ‎7.C 由得,即,即,故,解得,故.‎ ‎8.D 因为,所以,‎ 所以,‎ 从而.因为,,‎ 所以或,即或,‎ 故是等腰三角形或直角三角形.选D.‎ ‎9.A试题分析:由得解得,再由得,所以,所以.‎ ‎10.A【详解】设点关于直线的对称点,设军营所在区域为的圆心为,‎ 根据题意,为最短距离,先求出的坐标,‎ 的中点为,直线的斜率为1,故直线为,‎ 由,解得,,所以,故,‎ ‎11.A【详解】设正四棱锥底面的中心为,则有,可得,‎ 设外接球的半径为,在直角三角形中,,则有,解得,‎ 所以球的表面积为.‎ ‎12.B 由,得,所以,设线段的中点为,则,所以在圆上,‎ ‎,到直线的距离之和等于点到该直线的距离的两倍.点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和,‎ 而圆的圆心到直线的距离为,‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎13.‎ 由题知,故外接圆的圆心为的中点,半径为,‎ 所以外接圆的标准方程为.‎ ‎14. 不等式的解集是 ‎ 是方程的两个根,且,‎ 根据韦达定理可得:‎ ‎ 解得: ‎ ‎ 不等式:为 故不等式的解集:.‎ ‎15. 根据,可得,‎ 两式相减得,即,‎ 当时,,解得,‎ 所以数列是以-1为首项,以2为公比的等比数列,‎ 所以,故答案是.‎ ‎16. 设塔顶的垂直高度为千米,则,‎ 所以、、均在以为圆心,半径为的圆上,‎ 在中,,,,‎ 由余弦定理得:∴,‎ 由正弦定理得,∴,∴,解得,‎ ‎∴山高为千米.‎ ‎17.1)由已知得,所以,‎ 所以,又,所以,‎ 所以数列是首项为1,公差为1的等差数列 ‎(2)由(1)知,,所以, ‎ ‎18.(1) 由于 ,,,‎ 所以,‎ 由余弦定理 ,解得.‎ ‎(2)①当时,在中,由正弦定理, ‎ 即,所以. ‎ 因为,所以. 所以, ‎ 即. ‎ ‎②当时,‎ 在中,由余弦定理知,‎ ‎. ‎ 因为,所以, 所以, 所以 , ‎ 即.‎ ‎19.圆中阴影部分是一个圆台,从上面挖出一个半球 S半球=×4π×22=8π S圆台侧=π×(2+5)×5=35π S圆台底=25π 故所求几何体的表面积S表=8π+35π+25π=68π ‎ V圆台=‎ V半球=.‎ 故所求几何体的体积V=V圆台-V半球=.‎ ‎20.试题解析:(1)由及正弦定理得,‎ 即,‎ 在中,,所以.又,所以.‎ 在中,由余弦定理得,‎ 所以.‎ ‎(2)由,得 ,‎ 所以.‎ ‎21.【详解】(1)设圆心,‎ ‎∵直线:,半径为2的圆与相切,∴,即,‎ 解得:或(舍去),则圆方程为;‎ ‎(2)当直线轴,则轴必平分,此时可以为轴上任一点,‎ 当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,,,,由得,经检验,‎ ‎∴,,‎ 若轴平分,设为,‎ 则,即,‎ 整理得:,即,‎ 解得:,‎ 综上,当点,使得轴平分.‎ ‎22.解:数列满足,‎ 时,,‎ 相减可得:,.‎ 时, 综上可得:.‎ 证明:,‎ ‎,‎ 时,.‎ ‎,‎ ‎.‎
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