2020届辽宁省丹东市高三上学期期末教学质量监测数学(理)试题

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

2020届辽宁省丹东市高三上学期期末教学质量监测数学(理)试题

丹东市2019~2020学年度上学期期末教学质量监测 高三理科数学 命题:宋润生 郭林 葛冰 杨晓东 审核:宋润生 本试卷共22题,共150分,共4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。‎ ‎2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。‎ ‎3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ ‎4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.设集合A={x|x2-2x-3<0},B={ x|x-2<0},则A∩B=‎ A.(-1,2)‎ B.(2,3)‎ C.(-3,-1)‎ D.(-∞,2)‎ ‎2.复数z=的模|z|=‎ A.1‎ B. C.2‎ D. ‎3.某商家统计了去年P,Q两种产品的月销售额(单位:万元),绘制了月销售额的雷达图,图中A点表示P产品2月份销售额约为20万元,B点表示Q产品9月份销售额约为25万元.‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎1月月 ‎2月月 ‎3月月 ‎4月月 ‎5月月 ‎6月月 ‎7月月 ‎8月月 ‎9月月 ‎10月月 ‎11月月 ‎12月月 P产品的销售额/万元 Q产品的销售额/万元 A B 根据图中信息,下面统计结论错误的是 A.P产品的销售额极差较大 B.P产品销售额的中位数较大 C.Q产品的销售额平均值较大 D.Q产品的销售额波动较小 ‎4.(1+2x2 )(1+x)4的展开式中x3的系数为 A.12‎ B.16‎ C.20‎ D.24‎ ‎5.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=‎1.50.6‎,则a,b,c的大小关系是 A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<b<a ‎6.若sinα=2cosα,则cos2α+sin2α=‎ A. B. C.1‎ D. ‎7.已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为 A. B. C. D. ‎8.设α,β是两个平面,m,n是两条直线,下列命题错误的是 A.如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.‎ B.如果α∥β,mα,那么m∥β.‎ C.如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.‎ D.如果α内有两条相交直线与β平行,那么α∥β. ‎ ‎9.甲乙两队进行排球决赛,赛制为5局3胜制,若甲乙两队水平相当,则最后甲队以3:1获胜的概率为 A. B. C. D. ‎10.下列函数中,其图象与函数y=lg x的图象关于点(1,0)对称的是 A.y=lg(1-x)‎ B.y=lg(2-x)‎ C.y=log0.1(1-x)‎ D.y=log0.1(2-x)‎ ‎11.关于函数f (x)=|sinx|+sin|x|有下述四个结论:‎ ‎①f (x)是偶函数 ②f (x)在区间(-,0)单调递减 ‎③f (x)在[-π,π]有4个零点 ④f (x)的最大值为2‎ 其中所有正确结论的编号是 A.①②④ B.②④ C.①③④ D.①④‎ ‎12.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为1的直线与C交于A,B两点,若|AB|=8,则p=‎ A. B.1‎ C.2‎ D.4‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.已知函数f (x)在R单调递减,且为奇函数,则满足f (x+1)+f (x-3)<0的x的取值范围为 .‎ ‎14.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为,‎ 则A= . ‎ ‎15.设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点,若|PQ|=|OF|,则C的渐近线方程为 .‎ ‎16.已知正三棱柱ABC-A1B‎1C1的六个顶点都在球O的表面上,AB=3,异面直线AC1与BC所成角的余弦值为,则AA1= ,球O的表面积为 .‎ ‎(本题第一空2分,第二空3分)‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分。‎ ‎17.(12分)‎ 设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1, an+1=Sn·Sn+1.‎ ‎(1)证明:数列{}是等差数列;‎ ‎(2)求{an}的通项公式.‎ ‎18.(12分)‎ 需求量X(t)‎ ‎0.010‎ ‎0.015‎ ‎0.020‎ ‎0.030‎ ‎100‎ ‎110‎ ‎120‎ ‎130‎ ‎1400000000‎ ‎1500000000‎ ‎0.025‎ 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.‎ 经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品,以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.‎ ‎(1)将T表示为X的函数;‎ ‎(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率;‎ ‎(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率,例如:若X∈[100,110),则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的概率.求利润T的数学期望.‎ ‎19.(12分)‎ 如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.‎ ‎(1)证明:PO⊥平面ABC;‎ ‎(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.‎ ‎20.(12分)‎ 已知圆O1:x2+y2-2x-7=0,动圆O2过定点F(-1,0)且与圆O1相切,圆心O2的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求C的方程;‎ ‎(2)设斜率为1的直线l交C于M, N两点,交y轴于D点,y轴交C于A,B两点,若|DM|·|DN|=λ|DA|·|DB|,求实数λ的值.‎ ‎21.(12分)‎ 已知函数f (x)= ‎ ‎(1)讨论函数f (x)的单调性;‎ ‎(2)证明:在(1,+¥)上存在唯一的x0,使得曲线y=lnx在x=x0处的切线l也是曲线y=ex的切线.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在平面直角坐标系xOy中,倾斜角为α的直线l过点M(-2,-4).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2 θ=2cos θ,‎ ‎(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)若直线l与C交于A,B两点,且|MA|·|MB|=40,求倾斜角α的值.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ 已知a>0,b>0.‎ ‎(1)证明:a3+b3≥a2b+ab2;‎ ‎(2)若a+b=2,求a3+b3的最小值.‎ 丹东市2019~2020学年度上学期期末教学质量监测 高三理科数学答案与评分参考 一、选择题 ‎1.A ‎2.D ‎3.B ‎4.A ‎5.C ‎6.C ‎7.B ‎8.C ‎9.A ‎10.D ‎11.A ‎12.C 二、填空题 ‎13.(1,+∞)‎ ‎14. ‎15.y=±x ‎ ‎16.4,28π 三、解答题:‎ ‎17.解:‎ ‎(1)因为an+1=Sn+1-Sn,所以Sn+1-Sn=Sn·Sn+1.‎ 两边同除以Sn·Sn+1得-=-1.‎ 因为a1=-1,所以=-1.‎ 因此数列{}是首项为-1,公差为-1的等差数列.‎ ‎【以上教育部考试中心《试题分析》解法】‎ ‎ ……………(6分)‎ ‎(2)由(1)得=-1+(n-1)(-1) =-n,Sn=-.‎ 当n≥2时,an=Sn-1·Sn=.‎ 于是an= ‎ ……………(12分)‎ ‎18.解:【教育部考试中心《试题分析》解法】‎ ‎(1)当X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39000.‎ 当X∈[130,150]时,T=500×130=65000.‎ 所以T= ‎ ……………(4分)‎ ‎(2)由(1)知T≥57000元当且仅当120≤X≤150.‎ 由直方图知X∈[120,150]的频率为0.3+0.25+0.15=0.7,所以下一个销售季度内利润T不少于57000元的概率估计值为0.7.‎ ‎ ……………(8分)‎ ‎(3)依题意可得T的分布列为 T ‎45000‎ ‎53000‎ ‎61000‎ ‎65000‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ 所以ET=4500×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59400.‎ ‎ ……………(12分)‎ ‎19.解法1:【教育部考试中心《试题分析》解法1】‎ ‎(1)因为PA=PC=AC=4,O为AC的中点,所以PO⊥AC,且PO=2.‎ 连结OB.因为AB=BC=AC,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=AC=2.‎ 由OP2+OB2=PB2知PO⊥OB.‎ 由PO⊥AC, PO⊥OB知PO⊥平面ABC.‎ ‎ …………(4分)‎ P A B M C O D E ‎(2)过C作平面PAM的垂线,垂足为E.‎ 在平面PAM内过E作ED⊥PA,垂足为D,连接CD,,则PA⊥平面CDE,于是CD⊥PA.‎ 所以∠CDE是二面角M-PA-C的平面角.‎ 因为二面角M-PA-C为30°,所以∠CDE=30°.‎ 在正三角形PAC中,CD=2,所以CE==.‎ 所以PC与平面PAM所成角的正弦值为=.‎ ‎ …………(12分)‎ 解法2:【教育部考试中心《试题分析》解法2】‎ ‎(1)同解法1‎ P A B M C O E D ‎(2)在平面ABC内作MD⊥AC,垂足为D,连接OB.‎ 由(1)知PO⊥平面ABC,故PO⊥OB.‎ 又AC⊥OB,所以OB⊥平面PAC,从而MD⊥平面PAC.‎ 在平面PAC内作DE⊥PA,垂足为E,连接ME.‎ 由DE⊥PA,MD⊥PA,得ME⊥PA.‎ 从而∠DEM是二面角M-PA-C的平面角.‎ 因为二面角M-PA-C为30°,所以∠DEM=30°,于是 DC=DM=DE,DE=AD=(4-DC) .‎ 解得DC=,AD=.从而△PAM面积为=××2×=.‎ 设点C到平面PAM距离为d,用两种方法计算三棱锥C-PAM的体积得 ××4××2=××d,解得d=.‎ 所以PC与平面PAM所成角的正弦值为=.‎ ‎ …………(12分)‎ 解法3:【教育部考试中心《试题分析》解法3】‎ ‎(1)同解法1‎ ‎(2)如图,以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.‎ 由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),=(0,2,2).‎ 取平面PAC的法向量为=(2,0,0).‎ 设M(a,2-a,0)( 0<a≤2),则=(a,4-a,0).‎ 设平面PAM的法向量为n=(x, y,z).‎ 由·n=0,·n=0得,可取n=((a-4),a,-a),‎ 所以cos<,n >=.‎ 由已知得|cos<,n >|=,所以=,解得a=-4(舍去),a=,所以n=(-,,-).‎ 又=(0,2,-2),所以cos<,n >=.‎ 所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.‎ ‎ …………(12分)‎ ‎20.解:‎ ‎(1)圆O1的圆心为(1,0),半径为2,点F在圆O1内,故圆O2与圆O1相内切.‎ 设圆O2的半径为r,则|O‎2F|=r,| O2O1|=2-r,从而| O2O1|+|O‎2F|=2.‎ 因为|FF ′|=2<2,所以曲线C是以点F (-1,0),F ′(1,0)为焦点的椭圆.‎ 由a=,c=1,得b=1,故C的方程为+y2=1.‎ ‎ …………(6分)‎ ‎(2)设l:y=x+t,M(x1,y1), N(x2,y2),则D(0,t),‎ ‎|DM|==| x1|, |DN|==| x2|.‎ y=x+t与+y2=1联立得3x2+4tx+2t2-2=0.‎ 当△=8(3-t2)≥0时,即-≤t≤时, x1x2=-.‎ ‎ …………(8分)‎ 所以|DM|·|DN|=2|x1x2|=.‎ 由(1)得A(0,-1),A(0,1),所以|DA|·|DB|=| t+1|·| t-1|=| t2-1|.‎ 等式|DM|·|DN|=λ|DA|·|DB|可化为=λ| t2-1|.‎ 当-≤t≤且t≠±1时,λ=.‎ 当t=±1时,λ可以取任意实数.‎ 综上,实数λ的值为.‎ ‎ …………(12分)‎ ‎21.解:‎ ‎(1)f (x)定义域为(0,1) ∪(1,+¥),f ′(x)=>0.‎ 因此f (x)在(0,1)单调递增,在(1,+¥)单调递增.‎ ‎ ……………(4分)‎ ‎(2)曲线在y=lnx在x=x0处切线l的方程为y=x+lnx0-1.‎ ‎ ……………(6分)‎ 设l与曲线y=ex相切于点(x1,e),则 消去x1得,即f (x0)=0.‎ 于是当且仅当x0是f (x)的零点时,l是曲线y=ex的切线.‎ 因为f (e)=,f (e2)=,f (x)在(1,+¥)单调递增,所以f (x)在(1,+¥)上存在唯一零点.‎ 所以在(1,+¥)上存在唯一的x0,使得曲线y=lnx在x=x0处的切线l也是曲线y=ex的切线.‎ ‎ ……………(12分)‎ ‎22.解:‎ ‎(1)因为l的倾斜角为α,l过点M(-2,-4),所以直线l的参数方程是 (t是参数).‎ 因为ρsin2 θ=2cos θ,所以ρ2sin2 θ=2ρcos θ,由ρcos θ=x,ρsin θ=y得曲线C的直角坐标方程是y2=2x.‎ ‎ …………(5分)‎ ‎(2)把l的参数方程代入y2=2x,得t2sin2 α-(2cos α+8sin α)t+20=0.‎ 当Δ=(2cos α+8sin α)2-80sin2 α时,设A,B对应的参数分别为t1,t2,‎ 则|MA|·|MB|=|t1t2|=.‎ 由=4 0,0≤α<π,Δ>0,得α=.‎ ‎ …………(10分)‎ ‎23.解:‎ ‎(1)a3+b3-a2b-ab2=a2 (a-b)+b2 (b-a)‎ ‎=(a-b)(a2-b2)‎ ‎=(a-b)2(a+b).‎ 因为a>0,b>0,所以(a+b)>0,而(a-b)2≥0,所以(a-b)2(a+b)≥0.‎ 于是a3+b3≥a2b+ab2.‎ ‎ …………(5分)‎ ‎(2)因为a+b=2,所以 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)‎ ‎=2(a2-ab+b2)‎ ‎=2[(a+b)2-3ab]‎ ‎=8-6ab.‎ 因为ab≤()2=1,当且仅当a=b=1等号成立,所以8-6ab≥2.‎ 故当a=b=1时,a3+b3取最小值2.‎ ‎ …………(10分)‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档