2017-2018学年山西省范亭中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

2017-2018学年山西省范亭中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

范亭中学 2017—2018 学年度第二学期期中试题 高二理科数学 本试题分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分， 考试时间 120 分钟 第 I 卷（选择题） 一、 选择题（本题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．设集合 ， 则使 M∩N＝N 成立的 的值是 (　　) A．1　　　 B．0 C．－1 D．1 或－1 2．若 ，其中 ， 是虚数单位，复数 （ ） A． B． C． D． 3. 的值为（ ） A B C D 4．已知 的展开式的各项系数和为 32， 则展开式中 的系数为（　　） A.5 B.40 C.20 D.10 5．若 是等差数列 的前 n 项和， 有 ，则 的值为（　　） 　 A. 22 B. 18 C. 12 D. 44 6．如图所示程序框图运行后输出的结果为 A.36 B.45 C.55 D.56 ( 题 6 图 ) 7．若正数 x，y 满足 x+3y=5xy，则 3x+4y 的最小值是（ ） A. B. C.5 D.6 8．下列有关命题的说法正确的是（ ） A．命题“若 ”的否命题为：“若 ” B．“x=-1”是“ ”的必要不充分条件 C．命题“ ”的否定是：“ ” D．命题“若 ”的逆否命题为真命题 9．方程 所表示的曲线图形是（ ） ( 2 )a i i b i− = − ,a b R∈ i a bi+ = 1 2i+ 1 2i− + 1 2i− − 1 2i− 1,12 == xx 则 1,12 ≠= xx 则 0652 =−− xx 01, 2 <++∈∃ xxRx 使得 01, 2 <++∈∀ xxRx 均有 yxyx sinsin, == 则 }1,0,1{−=M },{ 2aaN = a sin 47 sin17 cos30 cos17 −    3 2 − 1 2 − 1 2 3 2 n xx      + 12 x nS { }na 1038 =− SS 11S 24 5 28 5 0)1lg(1 22 =−+− yxx 10．双曲线 的离心率为 2，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 11．若直线 与圆 有公共点，则实数 取值范围是 （A） [-3，-1] （B）[-1，3] （C） [ -3，1] （D）（- ，-3]U[ ，+ ） 12．已知两点 为坐标原点，点 在第二象限，且 ， 设 等于（ ） A． B．２ C．1 D． 第 II 卷（非选择题） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13．如图是某一几何体的三视图， 则这个几何体的体积是 ． 14．在等比数列 中，若 ， 则 . 15．已知点 P 的坐标 ，过点 P 的直线 l 与圆 相交于 A、 B 两点，则 AB 的最小值为 . 16．正三角形 ABC 的内切圆为圆 O，则△ABC 内的一点落在圆 O 外部的概率为 . 三、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分）解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17．（本小题满分 10 分） 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bsinA= acosB。 （1）求角 B 的大小； （2）若 b=3，sinC=2sinA，求 a，c 的值. 18.(本小题满分 12 分) (1,0), (1, 3),A B O C 120=∠AOC 2 ,( ),OC OA OBλ λ λ= − + ∈ R   则 1− 2− }{ na 3 753 )3(−=⋅⋅ aaa =⋅ 82 aa 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 1 3 b a + 3 3 2 3 3 2 1 01−+− yx 2)( 22 =+− yax a ∞ 1 ∞ 4 ( , ) 1 x y x y y x x + ≤  ≥  ≥ 满足 2 2: 14C x y+ = 3 已知数列{an}是等差数列，且 a3＝5，a2＋a7＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn ＝ 2 anan + 1，数列{bn}的前 n 项和为 Sn，求 Sn 19.(本小题满分 12 分) 如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ， 为 的中点。 （1）点 在线段 上， ， 试确定 的值，使 平面 ； （2）在（1）的条件下，若平面 平 面 ABCD，求二面角 的大小。 20．（本题满分 12 分） 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随 机抽取 8 次．记录如下： 甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85 （1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数； （2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生 参加合适?请说明理由； （3）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中 高于 80 分的次数为 ，求 的分布列及数学期望 . 21.（本小题满分 12 分） 设 , 分别是椭圆 E： + =1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过 的直线 与 E 相交于 A、B 两点，且 ， ， 成等差数列。 （Ⅰ）求 （Ⅱ）若直线 的斜率为 1，求 b 的值。 P ABCD− ABCD 60BAD °∠ = Q AD 2PA PD AD= = = M PC PM tPC= t //PA MQB PAD ⊥ M BQ C− − ξ ξ Eξ 1F 2F 2x 2 2 y b 1F l 2AF AB 2BF AB l 22.本小题满分 12 分） 设函数 （Ⅰ）若 a= ，求 的单调区间； （Ⅱ）若当 ≥0 时 ≥0，求 a 的取值范围 )1()( axexxf x −−= 1 2 ( )xf x ( )xf 范亭中学 2018 年高二年级期中考试理科数学试题参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共计 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B C D A B Ｃ D D B C C 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分） 13. ２ 14．３ 15．４ 16． 三、解答题（本大题共 5 小题，共计 60 分） 17.【答案】 【解析】（1） bsinA= acosB， 由正弦定理可得 ， ……2 分 即得 ， ……2 分 . ……1 分 （2） sinC=2sinA，由正弦定理得 ， ……1 分 由余弦定理 ， ……1 分 ，解得 ， ……2 分 . ……1 分 18 题答案 解：(1)由已知 ， ， 可得{2a1 + 7d = 16 a1 + 2d = 5 ， ……2 分 解之得 a1=1，d = 2， ……4 分 ∴an = a1+(n－1)d = 2n－1． ……6 分 (2)由(1)可知 = 2 (2n－1)(2n + 1) = 1 2n－1－ 1 2n + 1， ……8 分 数列 的前 项和为 ，则 +……+ 2 (2n－1)(2n + 1) ……10 分 3 9 31 9 9 π π−− =  3 sin sin 3sin cosB A A B= tan 3B = 3B π∴ =  2c a= 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 29 4 2 2 cos 3a a a a π= + − ⋅ 3a = 2 2 3c a∴ = = 1672 =+ aa 53 =a 1 2 + = nn n aab { }nb n nS 5 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 2 2 2 2 2S a a a a a a a a a a = + + + + = +……+ 1 2n－1－ 1 2n + 1 =1- 1 2n + 1 = ． ……12 分 １9．解： （1）当 时， 平面 下面证明：若 平面 ，连 交 于 由 可得， ， ．．．．．．．．．２分 平面 ， 平面 ， 平面 平面 ， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分 即： ．．．６分 （2）由 PA=PD=AD=2， Q 为 AD 的中点，则 PQ⊥AD。.。。。。．７分 又平面 PAD⊥平面 ABCD，所以 PQ⊥平面 ABCD，连 BD， 四边形 ABCD 为菱形， ∵AD=AB， ∠BAD=60°△ABD 为正三角形， Q 为 AD 中点， ∴AD⊥BQ ．．．．．．．．８分 以 Q 为坐标原点，分别以 QA、QB、QP 所在的直线为 轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为 A（1，0，0），B（ ），Q（0，0，0），P（0，0， ） 设平面 MQB 的法向量为 ，可得 ， 取 z=1，解得 ．．．．．．．．１０分 取平面 ABCD 的法向量 设所求二面角为 ， 则 故二面角 的大小为 60°．．．．．．．．．．．．．．１２分 20．解：（1）茎叶图如右： ……2 分 1 3t = //PA MQB //PA MQB AC BQ N //AQ BC ANQ BNC∆ ∆∽ 1 2 AQ AN BC NC ∴ = = //PA MQB PA ⊂ PAC PAC  MQB MN= //PA MN∴ 1 3 PM AN PC AC = = 1 3PM PC= 1 3t∴ = , ,x y z 0, 3,0 3 0 0, // , 0 0 n QB n QBPA MN n MN n PA  ⋅ = ⋅ = ∴ ⋅ = ⋅ =           ( 3,0,1)n = θ M BQ C− − 1 1 1 1 1 1 1 1 11 3 3 5 5 7 7 9 9 11 − + − + − + − + − 12 2 −n n ( )zyxn ,,=    =− = 03 03 zx y ( )3,0,0=QP 2 1 |||| ||cos =⋅= nQP nQPθ 学生乙成绩中位数为 84，…………4 分 （2）派甲参加比较合适，理由如下： ………………5 分 =35.5 =41……………………7 分 ∴甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适……………………8 分 （3）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于 80 分”为事件 A， 则 ……………………9 分 随机变量 的可能取值为 0，1，2，3， 且 服从 B（ ） k=0，1，2，3 的分布列为： （或 ）．．．．12 分 21.解： （1）由椭圆定义知 …………2 分 又 …………2 分 （2）L 的方程式为 y=x+c,其中 设 ,则 A，B 两点坐标满足方程组 …………6 分 化简得 则 …………8 分 85)35124889290480270(8 1 =++++++++×+×+×=甲x 222222 )8585()8583()8580()8579()8578(8 1 −+−+−+−−−=甲S ])8595()8592()8590( 222 −+−+−+ 222222 )8585()8583()8580()8580()8575[(8 1 −+−+−+−+−=乙S ])8595()8592()8590( 222 −+−+−+ 22, 乙甲乙甲 SSxx <= 4 3 8 6)( ==AP ξ ξ 4 3,3 ,)4 31()4 3()( 331 3 kCkP −−⋅==∴ ξ ξ 4 9 64 27364 27264 9164 10 =×+×+×+×=∴ ξE 4 9 4 33 =×== npEξ 85)53535390480170(8 1 =+++++×+×+×=乙x 2 2F + F| Α | | ΑΒ | + | Β |= 4 2 AB = AF F AB2 2 4| | | | + | Β |, | |= 3得 21c b= − 1 1 1 1( ),B( )A x x，y ，y 22 2 y=x+c x 1y b + = { 2 2 2(1 ) 2 1 2 0.b x cx b+ + + − = 2 1 2 1 22 2 2 1 2, .1 1 c bx x x xb b − −+ = =+ + ξ 0 1 2 3 P 64 1 64 9 64 27 64 27 因为直线 AB 的斜率为 1，所以 即 . 则 …………11 分 解得 . …………12 分 22.解： （Ⅰ） 时， ， 。…2 分 当 时 ; 当 时， ;当 时， 。 ……4 分 故 在 ， 单调递增，在（-1，0）单调递减。……6 分 （Ⅱ） 。令 ，则 。……8 分 若 ，则当 时， ， 为减函数，而 ，从而当 x≥0 时 ≥0，即 ≥0. ……10 分 若 ，则当 时， ， 为减函数，而 ，从而当 时 ＜0，即 ＜0. 综合得 的取值范围为 ……12 分 2 1x x| ΑΒ |= 2 | − | 2 1 4 23 x x= | − | 2 2 4 2 1 2 1 2 2 2 2 2 8 4(1 ) 4(1 2 ) 8( ) 49 (1 ) 1 1 b b bx x x x b b b − −= + − = − =+ + + 2 2b = 1 2a = 21( ) ( 1) 2 xf x x e x= − − '( ) 1 ( 1)( 1)x x xf x e xe x e x= − + − = − + ( ), 1x∈ −∞ − '( )f x > 0 ( )1,0x∈ − '( ) 0f x < ( )0,x∈ +∞ '( ) 0f x > ( )f x ( ), 1−∞ − ( )0,+∞ )1()( axexxf x −−= axexg x −−= 1)( '( ) xg x e a= − 1a ≤ ( )0,x∈ +∞ '( )g x > 0 ( )g x (0) 0g = ( )g x ( )f x a >1 ( )0,lnx a∈ '( )g x < 0 ( )g x (0) 0g = ( )0,lnx a∈ ( )g x ( )f x a ( ],1−∞