2021版高考数学一轮复习大题规范满分练三苏教版

2021版高考数学一轮复习大题规范满分练三苏教版

大题规范满分练(三)数列综合问题 ‎ ‎1.(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.‎ ‎(1)求{an}的通项公式.‎ ‎(2)求Sn,并求Sn的最小值.‎ ‎【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意得‎3a1+3d=-15.‎ 由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为an=2n-9.‎ ‎(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.‎ 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.‎ ‎2.已知在正项等比数列{an}中,a1与a3分别是方程x2-5x+4=0的两根.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(2)若数列{bn}是递增数列,其前n项和为Sn,且bn=log2an+1,求数列的前n项和Tn.‎ ‎【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,‎ 依题意得或 若因为an>0,则q=2,‎ 所以an=1×2n-1=2n-1.‎ 若,因为an>0,则q=,‎ 所以an=4×n-1=23-n.‎ ‎(2)因为数列{bn}是递增数列,bn=log2an+1,‎ 所以由(1)知an=2n-1,bn=log2an+1=n-1+1=n,‎ 所以{bn}是以1为首项,1为公差的等差数列,‎ 所以Sn==.‎ - 3 -‎ 所以==2-,‎ 所以Tn=2-+-+…+-=21-=.‎ ‎3.已知正项等比数列{an}中,a1=,且a2,a3,a4-1成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若bn=log2+4,求数列的前n项和Tn.‎ ‎【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0),‎ 因为a2,a3,a4-1成等差数列,所以‎2a3=a2+a4-1,得‎2a1q2=a1q+a1q3-1,‎ 又a1=,则2×q2=q+q3-1,‎ 即q2=q+q3-1,‎ 所以2q2=q+q3-2,所以2q2+2=q+q3,‎ 所以2(q2+1)=q(q2+1),‎ 所以(q2+1)(2-q)=0‎ 显然q2+1≠0,所以2-q=0,解得q=2‎ 故数列{an}的通项公式an=a1qn-1=·2n-1=2n-2.‎ ‎(2)由(1)知,bn=log2+4=log2(2n-2)2+4=2log22n-2+4=2(n-2)+4=2n,‎ 所以==,‎ 则Tn=b1+b2+…+bn=,‎ - 3 -‎ ‎==.‎ ‎4.(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S9=-a5.‎ ‎(1)若a3=4,求{an}的通项公式.‎ ‎(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.‎ ‎【解析】(1)设{an}的公差为d.‎ 由S9=-a5得a1+4d=0.‎ 由a3=4得a1+2d=4.‎ 于是a1=8,d=-2.‎ 因此{an}的通项公式为an=10-2n.‎ ‎(2)由S9=-a5得a1=-4d,‎ 故an=(n-5)d,Sn=.‎ 由a1>0知d<0,故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10.‎ 所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}.‎ - 3 -‎