初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第2讲 判别式——二次方程根的检测器

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第2讲 判别式——二次方程根的检测器

1 第二讲 判别式——二次方程根的检测器 为了检查产品质量是否合格，工厂里通常使用各种检验仪器，为了辨别钞票的真伪，银行里常常 使用验钞机，类似地，在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性：如是否有实数根，有几个 实数根，根的符号特点等。我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广 泛的应用： 利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性； 运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围； 通过判别式，证明与方程相关的代数问题； 借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。 【例题求解】 【例 1】 已知关于 x 的一元二次方程 0112)21( 2  xkxk 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范 围是 。 (广西中考题) 思路点拨：利用判别式建立关于 的不等式组，注意 k21 、 1k 的隐含制约。 注：运用判别式解题，需要注意的是： (1)解含参数的二次方程，必须注意二次项系数不为 0 的隐含制约； (2)在解涉及多个二次方程的问题时，需在整体方法、降次消元等方法思想的引导下，综合运用方 程、不等式的知识。 【例 2】 已知三个关于 y 的方程： 02  ayy ， 012)1( 2  yya 和 012)2( 2  yya ，若其中至 少有两个方程有实根，则实数 a 的取值范围是( ) （山东省竞赛题） A、 2a B、 4 1a 或 21  x C、 1a D、 14 1  a 思路点拨：“至少有两个方程有实根”有多种情形，从分类讨论人手，解关于 的不等式组，综合判断 选择。 【例 3】 已知关于 x 的方程 02)2(2  kxkx ， (1)求证：无论 取任何实数值，方程总有实数根； (2)若等腰三角形△ABC 的一边长 a ＝1，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长。 (湖北省荆门市中考题) 思路点拨：对于(1)只需证明△≥0；对于(2)由于未指明底与腰，须分 cb  或 、 c 中有一个与 c 相等 两种情况讨论，运用判别式、根的定义求出 、 的值。 注：（1）涉及等腰三角形的考题，需要分类求解，这是命题设计的一个热点，但不一定每个这类题均有 多解，还须结合三角形三边关系定理予以取舍。 （2）运用根的判别式讨论方程根的个数为人所熟悉，而组合多个判别式讨论方程多个根(三个以上) 是近年中考，竞赛依托判别式的创新题型，解这类问题常用到换元、分类讨论等思想方法。 【例 4 】 设 方 程 42 axx ，只有 3 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 求 的 值 和 相 应 的 3 个根。 (重庆市竞赛题) 思路点拨：去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程．原方程只有 3 个不相等的实数根，则其 中一个判别式大于零，另一个判别式等于零。 2 【例 5】已知：如图，矩形 ABCD 中，AD＝ a ，DC＝b ，在 AB 上找一点 E，使 E 点与 C、D 的连线将此矩 形分成的三个三角形相似，设 AE＝ x ，问：这样的点 E 是否存在?若存在， 这样的点 E 有几个?请说明理由。 (云南省中考题) 思路点拨：要使 Rt△ADE、Rt△BEC、Rt△ECD 彼此相似，点 E 必须满足∠AED+∠BEC＝90°，为此，可 设在 AE 上存在满足条件的点 E 使得 Rt△ADE∽Rt△BEC，建立一元二次方程的数学模型，通过判别式讨 论点 E 的存在与否及存在的个数。 注：有些与一元二次方程表面无关的问题，可通过构造方程为判别式的运用铺平道路，常见的构造方法 有： (1)利用根的定义构造； (2)利用根与系数关系构造； (3)确定主元构造。 3 判别式——二次方程根的检测器学力训练 1、已知 014  ba ，若方程 02  baxkx 有两个相等的实数根，则 k = 。 2、若关于 x 的方程 0122  xkx 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 。 (辽宁省中考题) 3、已知关于 方程 0422  kxkx 有两个不相等的实数解，化简 442 2  kkk = 。 4、若关于 的一元二次方程 01)12()2( 22  xmxm 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ( ) A、 4 3m B、 4 3m C、 4 3m 且 2m D、 4 3m 且 2m (山西省中考题) 5、已知一直角三角形的三边为 a 、b 、c ，∠B＝90°，那么关于 的方程 0)1(2)1( 22  xbcxxa 的 根的情况为( ) A、有两个相等的实数根 B、没有实数根 C、有两个不相等的实数根 D、无法确定 (河南省中考题) 6、如果关于 x 的方程 0)1(2)2( 2  mxmxm 只有一个实数根，那么方程 0)4()2(2  mxmmx 的 根的情况是( ) A、没有实数根 B、有两个不相等的实数根 C、有两个相等的实数根 D、只有一个实数根 (2003 年河南省中考题) 7、在等腰三角形 ABC 中，∠ A、∠B、∠C 的对边分别为 、 、 ，已知 3a ， 和 c 是 关于 的 方程 02 122  mmxx 的两个实数根，求△ABC 的周长。(济南市中考题) 8、已知关于 的方程 063)2(22  mxmx (1)求证：无论 m 取什么实数，方程总有实数根； (2)如果方程的两实根分别为 1x 、 2x ，满足 =3 ，求实数 m 的值。(盐城市中考题) 9、 、 为实数，关于 的方程 22  baxx 有三个不等的实数根。 (1)求证： 0842  ba ； (2)若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证该三角形必有一个内角是 60°； (3)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求 和 的值。 (江苏省苏州市中考题) 4 10、关于的两个方程 03242  mmxx ， 0)12( 22  mxmx 中至少有一个方程有实根，则 m 的取值 范围是 。(2002 年四川省竞赛题) 11、当 a = ， b = 时，方程 0)2443()1(2 222  babaxax 有实数根。 (全国初中 数学联赛试题) 12、若方程 axx 52 有且只有相异二实根，则 的取值范围是 。 13 、 如 果 关 于 x 的 方 程 05)2(22  mxmmx 没 有 实 数 根 ， 那 么 关 于 的 方 程 0)2(2)5( 2  mxmxm 的实根的个数( ) A、2 B、1 C、0 D、不能确定 14、已知一元二次方程 02  cbxx ，且 、 c 可在 1、2、3、4、5 中取值，则在这些方程中有实数根 的方程共有( ) A、12 个 B、10 个 C、7 个 D、5 个 (河南省中考题) 15、已知△ABC 的三边长为 a、b、c，且满足方程 0)( 22222  bxbacax ，则方程根的情况是( ) A、有两相等实根 B、有两相异实根 C、无实根 D、不能确定 (河北省竞赛题) 16、若 a、b、c、d>0， 证明 ：在方 程 022 1 2  cdxbax ①； 022 1 2  adxcbx ②； 022 1 2  abxdcx ③； 022 1 2  bcxadx ④中，至少有两个方程有两个不相等的实数根。 (湖北省黄冈市竞赛题) 17、已知三个实数 a、b、c 满足 0 cba ，abc＝1，求证：a、b、c 中至少有一个大于 2 3 。 18、关于 x 的方程 01)1(2  xkkx 有有理根，求整数是的值。 (山东省竞赛题) 19、考虑方程 baxx  22 )10( ① (1)若 a =24，求一个实数b ，使得恰有 3 个不同的实数 满足①式。 (2)若 ≥25，是否存在实数 ，使得恰有 3 个不同的实数 满足①式?说明你的结论。 (国家理科实验 班招生试题) 20、如图，已知边长为 的正方形 ABCD 内接于边长为 的正方形 EFGH，试求 a b 的取值范围。 5 参考答案 6