数学理卷·2019届福建省闽侯第六中学高二上学期期末考试（2018-01）

数学理卷·2019届福建省闽侯第六中学高二上学期期末考试（2018-01）

福建省闽侯第六中学 8 2017-2018 学年高二上学期期末考试 试题数学（理）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.抛物线的准线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设等差数列的前项和为，已知，则（ ）= A．-27 B．27 C．-54 D．54‎ ‎3.焦点在轴上,虚轴长为12，离心率为的双曲线标准方程是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.直三棱柱中，分别是,的中点，，则与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知等比数列中，，则其前三项的和的取值范围是( )‎ A． B． C. D．‎ ‎7.展开式中的系数为（ ）‎ A．92 B．576 C. 192 D．384‎ ‎8. 60° 的二面角的棱上有两点，直线 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知,则的长为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知不等式对任意恒成立，则实数 的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.设椭圆与函数的图象相交于两点，点为椭圆上异于的动点，若直线的斜率取值范围是，则直线的斜率取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.设数列的前项和，若，且，则等于（ ）‎ A．5048 B．5050 C.10098 D．10100‎ ‎12.已知双曲线的上焦点为，是双曲线下支上的一点，线段与圆相切于点，且,则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知命题：，使，则是 ．‎ ‎14.已知正项等比数列的公比为2，若，则的最小值等于 ．‎ ‎15.已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是 ．‎ ‎16.如图，在直三棱柱中，,已知与分别是棱和的中点，与分别是线段与上的动点（不包括端点）.若，则线段的长度取值范围是 ．‎ ‎ ‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知，命题，命题已知方程表示双曲线.‎ ‎(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎(2)若命题为真命题，命题为假命题，求实数 的取值范围．‎ ‎18. 在长方体中，为中点.‎ ‎(1)证明：；‎ ‎(2)求与平面所成角的正弦值.‎ ‎19. 已知数列满足，.‎ ‎(1)求证：数列是等比数列；‎ ‎(2)若数列是单调递增数列，求实数的取值范围.‎ ‎20. 如图，四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，且平面平面，为中点，.‎ ‎(1)求证：平面平面；‎ ‎(2)若二面角的平面角大小满足，求四棱锥的体积.‎ ‎21. 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且.‎ ‎(1)求该抛物线的方程；‎ ‎(2)过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点和.设线段的中点分别为，求证：直线恒过一个定点.‎ ‎22.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且，点在椭圆上.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)过的直线与椭圆相较于两点，且的面积为，求直线的方程.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: DADAA 6-10:DBBBD 11、12：CB 二、填空题 ‎13. 14. 15.6 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）若为真命题时：，，；‎ ‎（2）若为真命题时：，，‎ 为真命题，为假命题，则一真一假，即 或，‎ 解得或，的范围为 .‎ ‎18.（1）证明：连结 ‎∵是长方体，∴平面 又平面中，‎ 在长方形中，‎ 又,∴平面,‎ 而平面,∴‎ ‎（2）如图，以为坐标原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则 ‎,‎ 设平面的法向量为，则 令，则 ‎∴‎ 所以与平面所成角的正弦值为.‎ ‎19.解（1）因为数列满足，所以，‎ 即，又，所以，‎ 所以数列是以 2 为首项，公比为 2 的等比数列.‎ ‎（2）由（1）可得，所以，‎ 因为符合，所以.‎ 因为数列是单调递增数列，所以，即，‎ 化为，所以.‎ ‎20.证明：（1）取中点为，中点为，‎ 由侧面为正三角形，且平面平面,得平面，故,‎ 又,则平面,‎ 又,则,‎ 又是中点，则,‎ 由线面垂直的判定定平面.‎ 又平面,故平面平面.‎ ‎(2)如图，以为坐标原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则令，则 由(1)知为平面的法向量，‎ 令为平面的法向量，由于，‎ 故即，解得，故，‎ 由，解得.‎ 故四棱锥的体积.‎ ‎21.解：(1)抛物线的焦点，∴直线的方程为：‎ 联立方程组，消元得：‎ ‎，解得.‎ ‎∵，∴抛物线的方程为：.‎ ‎(2)设 两点坐标分别为，则点的坐标为 由题意可设直线的方程为.‎ 由，得.‎ 因为直线与曲线于两点，所以.‎ 所以点得坐标为.‎ 由题知，直线的斜率为，同理可得点的坐标为.‎ 当时，有，此时直线的斜率.‎ 所以，直线的方程为，整理得.‎ 于是，直线恒过定点；‎ 当时，直线的方程为，也过点.‎ 综上所述，直线恒过定点.‎ ‎22.解：(1)‎ ‎(2)设代入，得 ‎，∴，∴‎ ‎，故所求直线方程为： ‎