高考数学难点突破_难点37 数形结合思想

高考数学难点突破_难点37 数形结合思想

难点37 数形结合思想 数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征. ‎ ‎●难点磁场 ‎1.曲线y=1+ (–2≤x≤2)与直线y=r(x–2)+4有两个交点时，实数r的取值范围 ‎ .‎ ‎2.设f(x)=x2–2ax+2,当x∈［–1,+∞)时，f(x)＞a恒成立，求a的取值范围.‎ ‎●案例探究 ‎［例1］设A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x2，且x∈A }，若CB，求实数a的取值范围.‎ 命题意图：本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目.属★★★★级题目.‎ 知识依托：解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C.进而将CB用不等式这一数学语言加以转化.‎ 错解分析：考生在确定z=x2，x∈［–2,a］的值域是易出错，不能分类而论.巧妙观察图象将是上策.不能漏掉a＜–2这一种特殊情形.‎ 技巧与方法：解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决.‎ 解：∵y=2x+3在［–2, a］上是增函数 ‎∴–1≤y≤2a+3，即B={y｜–1≤y≤2a+3}‎ 作出z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下：‎ ‎①当–2≤a≤0时，a2≤z≤4即C={z｜z2≤z≤4}‎ 要使CB,必须且只须2a+3≥4得a≥与–2≤a＜0矛盾.‎ ‎②当0≤a≤2时，0≤z≤4即C={z｜0≤z≤4}，要使CB，由图可知：‎ 必须且只需 解得≤a≤2‎ ‎③当a＞2时，0≤z≤a2，即C={z｜0≤z≤a2}，要使CB必须且只需 解得2＜a≤3‎ ‎④当a＜–2时，A=此时B=C=，则CB成立.‎ 综上所述，a的取值范围是(–∞,–2)∪［,3］.‎ ‎［例2］已知acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ, k∈Z)求证：‎ ‎.‎ 命题意图：本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力.属★★★★★级题目.‎ 知识依托：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程.进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上.‎ 错解分析：考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一.如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二.‎ 技巧与方法：善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几 何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题.‎ 证明:在平面直角坐标系中，点A（cosα,sinα）与点B（cosβ,‎ sinβ）是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图.‎ 从而：｜AB｜2=(cosα–cosβ)2+(sinα–sinβ)2‎ ‎=2–2cos(α–β)‎ 又∵单位圆的圆心到直线l的距离 由平面几何知识知｜OA｜2–(｜AB｜)2=d2即 ‎∴.‎ ‎●锦囊妙计 应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：‎ ‎（1）集合的运算及韦恩图 ‎（2）函数及其图象 ‎（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象 ‎（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线 以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.‎ 以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合.‎ ‎●歼灭难点训练 一、选择题 ‎1.（★★★★）方程sin(x–)=x的实数解的个数是( )‎ A.2 B.3 C.4 D.以上均不对 ‎2.（★★★★★）已知f(x)=(x–a)(x–b)–2（其中a＜b，且α、β是方程f(x)=0的两根（α＜β，则实数a、b、α、β的大小关系为( )‎ A.α＜a＜b＜β B.α＜a＜β＜b C.a＜α＜b＜β D.a＜α＜β＜b 二、填空题 ‎3.（★★★★★）(4cosθ+3–2t)2+(3sinθ–1+2t)2，(θ、t为参数)的最大值是 .‎ ‎4.（★★★★★）已知集合A={x｜5–x≥},B={x｜x2–ax≤x–a}，当AB时，则a的取值范围是 .‎ 三、解答题 ‎5.（★★★★）设关于x的方程sinx+cosx+a=0在（0,π）内有相异解α、β.‎ ‎（1）求a的取值范围；‎ ‎（2）求tan(α+β)的值.‎ ‎6.（★★★★）设A={(x,y)｜y=,a＞0}，B={(x,y)｜(x–1)2+(y–3)2=a2,a＞0},且A∩B≠，求a的最大值与最小值.‎ ‎7.（★★★★）已知A（1，1）为椭圆=1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点.求｜PF1｜+｜PA｜的最大值和最小值.‎ ‎8.（★★★★★）把一个长、宽、高分别为25 cm、20 cm、5 cm的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为多少？‎ 参 考 答 案 ‎●难点磁场 ‎1.解析：方程y=1+的曲线为半圆，y=r(x–2)+4为过（2，4）的直线.‎ 答案：（］‎ ‎2.解法一：由f(x)＞a，在［–1,+∞)上恒成立x2–2ax+2–a＞0在［–1,+∞‎ ‎)上恒成立.考查函数g(x)=x2–2ax+2–a的图象在［–1,+∞］时位于x轴上方.如图两种情况：‎ 不等式的成立条件是：(1)Δ=4a2–4(2–a)＜0a∈(–2,1)‎ ‎(2)a∈(–3,–2，综上所述a∈(–3,1).‎ 解法二：由f(x)＞ax2+2＞a(2x+1)‎ 令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象.‎ 如图满足条件的直线l位于l1与l2之间，而直线l1、l2对应的a值（即直线的斜率）分别为1，–3，‎ 故直线l对应的a∈(–3,1).‎ ‎●歼灭难点训练 一、1.解析：在同一坐标系内作出y1=sin(x–)与y2=x的图象如图.‎ 答案：B ‎2.解析：a,b是方程g(x)=(x–a)(x–b)=0的两根，在同一坐标系中作出函数f(x)、g(x)的图象如图所示：‎ 答案：A 二、3.解析：联想到距离公式，两点坐标为A(4cosθ,3sinθ),B(2t–3,1–2t)‎ 点A的几何图形是椭圆，点B表示直线.‎ 考虑用点到直线的距离公式求解.‎ 答案：‎ ‎4.解析：解得A={x｜x≥9或x≤3}，B={x｜(x–a)(x–1)≤0}，画数轴可得.‎ 答案：a＞3‎ 三、5.解：①作出y=sin(x+)(x∈(0,π))及y=–的图象，知当｜–｜＜1且–≠‎ 时，曲线与直线有两个交点，故a∈(–2,–)∪(–,2).‎ ‎②把sinα+cosα=–a,sinβ+cosβ=–a相减得tan，‎ 故tan(α+β)=3.‎ ‎6.解：∵集合A中的元素构成的图形是以原点O为圆心，a为半径的半圆；集合B中的元素是以点O′(1,)为圆心，a为半径的圆.如图所示 ‎∵A∩B≠，∴半圆O和圆O′有公共点.‎ 显然当半圆O和圆O′外切时，a最小 a+a=｜OO′｜=2,∴amin=2–2‎ 当半圆O与圆O′内切时，半圆O的半径最大，即a最大.‎ 此时a–a=｜OO′｜=2,∴amax=2+2.‎ ‎7.解：由可知a=3,b=,c=2，左焦点F1(–2,0),右焦点F2(2,0).由椭圆定义，｜PF1｜=2a–｜PF2｜=6–｜PF2｜,‎ ‎∴｜PF1｜+｜PA｜=6–｜PF2｜+｜PA｜=6+｜PA｜–｜PF2｜‎ 如图：‎ 由｜｜PA｜–｜PF2｜｜≤｜AF2｜=知 ‎–≤｜PA｜–｜PF2｜≤.‎ 当P在AF2延长线上的P2处时，取右“=”号；‎ 当P在AF2的反向延长线的P1处时，取左“=”号.‎ 即｜PA｜–｜PF2｜的最大、最小值分别为，–.‎ 于是｜PF1｜+｜PA｜的最大值是6+,最小值是6–.‎ ‎8.解：本题实际上是求正方形窗口边长最小值.‎ 由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小，所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小.‎ 如图：‎ 设AE=x,BE=y,‎ 则有AE=AH=CF=CG=x，BE=BF=DG=DH=y ‎∴‎ ‎∴.‎