数学卷·2017届江苏省如东高级中学、前黄高级中学、栟茶高级中学、马塘中学四校高三12月联考（2016

数学卷·2017届江苏省如东高级中学、前黄高级中学、栟茶高级中学、马塘中学四校高三12月联考（2016

‎ ‎ 数学Ⅰ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．全集，集合，则__________．‎ ‎2．设复数（，，是虚数单位），若，则的值为__________．‎ ‎3．函数定义域为__________．‎ ‎4．棱长均为的正四棱锥的体积为__________．‎ ‎5．已知实数，满足不等式组则的最大值为__________．‎ ‎6．若“，”是假命题，则实数的取值范围是__________．‎ ‎7．将函数的图象至少向右平移__________个单位，所得图象恰关于坐标原点对称．‎ ‎8．已知等差数列的首项为．若为等比数列，则__________．‎ ‎9．在平面直角坐标系，设双曲线（，）的焦距为（）．当，任意变化时，的最大值是__________．‎ ‎10．已知，，则的值为__________．‎ ‎11．已知函数定义域为，其中，值域，则满足条件的数组为__________．‎ ‎12．在平面直角坐标系中，已知圆：，直线与圆相交于，两点，且，则的取值范围为__________．‎ ‎13．已知函数，平行四边形四个顶点都在函数图像上，且 ‎，，则平行四边形的面积为__________．‎ ‎14．已知数列各项为正整数，满足．若，则所有可能取值的集合为__________．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 在三角形中，角，，所对的边分别是，，．已知，．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，在四面体中，，，点，分别为棱，上的点，点为棱的中点，且平面平面．求证：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）平面平面．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形是矩形，弧是半圆，凹槽的横截面的周长为．若凹槽的强度等于横截面的面积与边的乘积，设，．‎ ‎（1）写出关于函数表达式，并指出的取值范围；‎ ‎（2）求当取何值时，凹槽的强度最大．‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，椭圆：（）的离心率为，点，分别为椭圆的上顶点、右顶点，过坐标原点的直线交椭圆于、两点，交于点，其中点在第一象限，设直线的斜率为．‎ ‎（1）当时，证明直线平分线段；‎ ‎（2）已知点，则：‎ ‎①若，求；‎ ‎②求四边形面积的最大值．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知数列满足，，且对任意，都有．‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）设（）．‎ ‎①求数列的通项公式；‎ ‎②设数列的前项和，是否存在正整数，，且，使得，，成等比数列？若存在，求出，的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知（）．‎ ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）函数有两个零点，，且 ‎①求的取值范围；‎ ‎②实数满足，求的最大值．‎ ‎2017届高三“四校联考”试卷 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．（本小题满分10分）‎ 如图，已知凸四边形的顶点在一个圆周上，另一个圆的圆心在上，且与四边形的其余三边相切．点在边上，且．‎ 求证：，，，四点共圆．‎ B．（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，设点在矩阵对应的变换下得到点，求．‎ C．（本小题满分10分）‎ 已知极坐标系中的曲线与曲线交于，两点，求线段的长．‎ D．（本小题满分10分）‎ 已知，，求证：．‎ ‎【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中中，已知定点，，分别是轴、轴上的点，点 在直线上，满足：，．‎ ‎（1）求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）设为点轨迹的一个焦点，、为轨迹在第一象限内的任意两点，直线，的斜率分别为，，且满足，求证：直线过定点．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 已知函数，设为的导数，．‎ ‎（1）求，，；‎ ‎（2）求的表达式，并证明你的结论．‎ ‎2017届高三“四校联考”‎ 数学学科参考答案及评分建议 一、填空题 ‎1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.‎ 二、解答题 ‎15.（本题满分14分）‎ ‎【解】（1）由余弦定理，，……………………………………………………3分 将，代入，解得：．………………………………………………………………6分 ‎（2）由正弦定理，，‎ 由正弦定理可得，，‎ 将，代入解得．………………………………………………………………14分 ‎16.（本题满分14分）‎ 证明：（1）因为平面平面，‎ 平面平面，平面平面，‎ 所以，………………………………………………………………………………………4分 又为的中点，‎ 故为的中点，‎ 同理可得，为的中点，‎ 所以．……………………………………………………………………………………7分 ‎（2）因为，‎ 由（1）知，为的中点，‎ 所以，‎ 又，即，‎ 由（1）知，，所以，‎ 又，，平面，‎ 所以平面，………………………………………………………………………………12分 又平面，‎ 故平面平面．…………………………………………………………………………14分 ‎17.（本小题满分14分）‎ ‎【解】（Ⅰ）易知半圆的半径为，故半圆的弧长为．‎ 所以，‎ 得……………………………………………………………………………………2分 依题意知：‎ 得 所以，（）．………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）依题意，设凹槽的强度为，横截面的面积为，则有 ‎，，………………………………………………9分 因为，‎ 所以，当时，，当时，，‎ 所以当，凹槽的强度最大．……………………………………………………………13分 答：所以当，凹槽的强度最大．………………………………………………………14分 ‎18.（本小题满分16分）‎ ‎【解】（1）点 椭圆的方程为 设，，则，‎ 的直线方程为：‎ ‎（2）①设点到直线的距离为，，‎ 则 ‎…………………………………………………………………………………………6分 ‎，即 由，解得；由，解得………………………8分 ‎，即 或．………………………10分 ‎②点到直线的距离 点到直线的距离 ‎…………………………………12分 ‎…………………………………………………………14分 当且仅当时取等号 所以四边形面积的最大值为．…………………………………………………………16分 ‎19.（本小题满分16分）‎ ‎【解】（1）由题意，令，，则，解得．…………2分 令，，则，解得．…………………………………4分 ‎（2）①以代替，得．…………………………………………5分 则，即．‎ 所以数列是以为公差的等差数列．‎ ‎，．…………………………………………………8分 ‎②因为．‎ 所以．…………11分 则，，．‎ 因为，，成等比数列，，即．‎ 所以，．．‎ 解得．……………………………………………………………………14分 又，且，，则．‎ 所以存在正整数，，使得，，成等比数列．……………………………16分 ‎20.（本小题满分16分）‎ ‎【解】（1）当时，‎ 的单调增区间为，单调减区间为．……………………………………2分 ‎（2）①（）‎ 当时，，在上至多只有一个零点，与条件矛盾（舍）‎ 当时，令，得 列表 ‎ ‎ ‎ ‎ 极小值 ‎ 有两个不同的零点 即……………………………………6分 当时，，，在上单调递减且图像是不间断的 此时，在上有且只有一个零点 ‎， 令，则设，‎ ‎，在上单调递增 ‎， 又在上单调递增且图像是不间断的 在上有且只有一个零点 综上，……………………………………………………………………………………9分 ‎②有条件知 将两式分别相加，相减得，‎ 设 由题意得对于任意成立 整理即得在成立 令，‎ 当时，………………………………………………12分 在上单调递增，则，满足条件 当时，‎ 令，‎ ‎（舍）‎ 当时，，在上单调递减 与条件矛盾 综上，……………………………………………………………………………………16分 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21.【选做题】‎ A．（几何证明选讲）‎ 证明：因为，‎ 所以，‎ 因为四边形的顶点在一个圆周上，‎ 所以，‎ 从而，‎ 所以，，，四点共圆．‎ B．（矩阵与变换）‎ ‎【解】依题意，，即解得…………………4分 由逆矩阵公式知，矩阵的逆矩阵，…………………………8分 所以．…………………………………………………10分 C．选修4—4：极坐标与参数方程 ‎【解】曲线化为；………………………………………………………4分 同样可化为，……………………………………………………8分 联立方程组，解得，，‎ 所以．‎ 所以（），解得（负值已舍）．…………………………………………10分 D．（不等式选讲）‎ 证明：因为，，且，（当且仅当时“”成立）‎ 所以， ①…………………………………………4分 又，（当且仅当时“”成立）②………………………………………8分 由①②得（当且仅当时“”成立）．………………………………10分 ‎【必做题】‎ ‎22.【解】（1）设点坐标，点坐标，点坐标．‎ 由，，‎ 得消去，得 所以点轨迹方程为．………………………………………………………………3分 ‎（2）设，两点的坐标分别为，，‎ 则， 相减：‎ 所以…………………………………………………………………5分 ‎，，由得 所以，得 直线：，即………………………7分 令，得 所以直线过定点．………………………………………………………………10分 ‎23.（本小题满分10分）‎ ‎【解】（1）‎ ‎，其中，‎ ‎……………………………………………………………3分 ‎（2）猜想，‎ ‎①当时，成立 ‎②假设时，猜想成立 即…………………………………………………5分 当时，‎ 当时，猜想成立 由①②对成立………………………………10分