2020届高三数学上学期第二次联考试题 理（含解析） 人教新目标版 新版

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‎2019届高三第二次联考试卷理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 设集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎∴．选D．‎ ‎2. 若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）‎ A. -6 B. -2 C. D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，‎ ‎∵ 复数是纯虚数，‎ ‎∴，解得．选A．‎ ‎3. 已知向量的夹角为60°，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）‎ A. -1 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】设向量与向量的夹角为，‎ 则向量在向量方向上的投影为 ‎．选B．‎ ‎4. 在一组样本数据（，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）‎ A. -1 B. 0 C. D. 1‎ ‎【答案】D - 18 -‎ ‎.................................‎ 考点：相关系数.‎ ‎5. 下列有关命题的说法正确的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”‎ B. “”是“”的必要不充分条件 C. 命题“，”的否定是“，”‎ D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题 ‎【答案】D ‎【解析】对于选项A，原命题的否命题为“若，则”，故A不正确．‎ 对于选项B，当时，成立；反之，当时，或，故“”是“”的充分不必要条件．故B不正确．‎ 对于选项C，命题的否定是“，”，故C不正确．‎ 对于选项D，原命题为真命题，所以其逆否命题为真命题．故D正确．‎ 选D．‎ ‎6. 若，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．选A．‎ ‎7. 在中，角的对边分别为，已知，，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，即，‎ - 18 -‎ 又为锐角，‎ ‎∴‎ 由条件及正弦定理得，即，‎ ‎∴．选B．‎ ‎8. 函数的一部分图象如下图所示，则（ ）‎ A. 3 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由图形得，解得．‎ 又函数的周期，所以．‎ ‎∴．‎ 由题意得，点在函数的图象上，‎ ‎∴，即．‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴．选C．‎ 点睛：已知图象求函数解析式的方法 ‎（1）根据图象得到函数的最大值和最小值，由可求得．‎ ‎（2）根据图象得到函数的周期，再根据求得．‎ ‎（3）可根据代点法求解，代点时一般将最值点的坐标代入解析式；也可用“五点法”求解，‎ - 18 -‎ 用此法时需要先判断出“第一点”的位置，再结合图象中的点求出的值．‎ ‎9. 已知是两个数2,8的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（ ）‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，解得或．‎ 当时，曲线方程为，故离心率为；‎ 当时，曲线方程为，故离心率为．‎ 所以曲线的离心率为或．选B．‎ ‎10. 定义在上的奇函数的一个零点所在区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵函数为奇函数，‎ ‎∴，‎ 即,‎ 整理得在上恒成立，‎ ‎∴,‎ ‎∴，‎ ‎∵‎ ‎,‎ ‎ ∴函数的零点在区间内。选C。‎ ‎11. 下边程序框图的算法思路是来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图时，若输入的分别为16、18，输出的结果为，则二项式的展开式中常数项是（ ）‎ - 18 -‎ A. -20 B. 52 C. -192 D. -160‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知，框图的功能是求两数的最大公约数，故输入16、18后输出的结果为，所以二项式为，其展开式的通项为 ‎，令可得展开式中的常数项为 ‎．选D．‎ ‎12. 设是定义在上的偶函数，，都有，且当时，，若函数（）在区间内恰有三个不同零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由可得函数的图象关于对称，即 又函数是偶函数，则，‎ ‎∴，即函数的周期是4．‎ 当时，，此时，‎ 由得，令．‎ ‎∵函数（）在区间内恰有三个不同零点，‎ ‎∴函数和的图象在区间内有三个不同的公共点．‎ 作出函数的图象如图所示．‎ - 18 -‎ ‎①当时，函数为增函数，‎ 结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则需满足在点A处的函数值小于2，在点B处的函数值大于2，‎ 即，解得；‎ ‎ ②当时，函数为减函数，‎ 结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则需满足在点C处的函数值小于，在点B处的函数值大于，‎ 即，解得．‎ 综上可得实数的取值范围是．选A．‎ 点睛：对于已知函数零点个数（或方程根的个数）求参数的取值或范围时，一般转化为两函数的图象的公共点的个数的问题，利用数形结合的方法求解．‎ ‎（1）若分离参数后得到（为参数）的形式，则作出函数的图象后，根据直线和函数的图象的相对位置得到参数的取值范围．‎ ‎（2）若不能分离参数，则可由条件化为的形式，在同一坐标系内画出函数和函数的图象，根据两图象的相对位置关系得到参数的取值范围．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ - 18 -‎ ‎【解析】试题分析：,在直角坐标系内作出可行域如下图所示，由图可知，当目标函数经过点可行域内点时有最大值，即，当目标函数经过点可行域内点时有最小值，即，，所以的取值范围为.‎ 考点：1.线性规划；2.向量的坐标运算.‎ ‎【名师点睛】本题考查线性规划与向量的坐标运算，中档题.线性规划与向量是高考的必考内容，将两者融为一体，是本题的亮点；在解题时得用向量运算相关知识得到线性目标函数表达式，再利用线性规划知识求解，是解题的关键，体现了数学中的化归与转化思想，考查了数形结合思想与运算求解能力.‎ ‎14. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作.其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是“以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之，自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写出公式，即若，则，现有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴，‎ 又的周长为，‎ ‎∴，‎ - 18 -‎ ‎∴．即的面积为．‎ 答案： ‎ ‎15. 已知四棱锥的顶点都在半径的球面上，底面是正方形，且底面经过球心，是的中点，底面，则该四棱锥的体积等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出如下图形，‎ 连接，则，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴． ‎ 答案：‎ ‎16. 已知点分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，可得，‎ 故为直角三角形，且，‎ ‎∴．‎ - 18 -‎ 由双曲线定义可得．‎ ‎∵，‎ ‎∴，可得．‎ 又，‎ 整理得．‎ ‎∴．‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴，即双曲线的离心率的取值范围为．‎ 答案：‎ 点睛：求双曲线的离心率时，可将条件中给出的双曲线的几何关系转化为关于基本量的方程或不等式，然后利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围，解题时要注意平面几何知识的应用．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17. 设为数列的前项和，已知，对任意，都有.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列的前项和为，求证：.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）因为，然后再利用采用数列的递推式，即可求出结果；（2）因为，，，所以，然后再利用裂项相消即可求出，然后再根据的单调性即可证明结果．‎ 试题解析：证明：（1）因为，‎ - 18 -‎ 当时，，‎ 两式相减，得，‎ 即，‎ 所以当时，．‎ 所以．‎ 因为，所以．‎ ‎（2）因为，，，所以 所以 因为，所以．‎ 因为在上是单调递减函数，所以在上是单调递增函数．‎ 所以当时，取最小值．‎ 所以．‎ 考点：1．等差数列；2．裂项相消．‎ ‎【方法点睛】裂项相消在使用过程中有一个很重要得特征，就是能把一个数列的每一项裂为两项的差，其本质就是两大类型类型一:型，通过拼凑法裂解成；类型二：通过有理化、对数的运算法则、阶乘和组合数公式直接裂项型；该类型的特点是需要熟悉无理型的特征，对数的运算法则和阶乘和组合数公式。无理型的特征是，分母为等差数列的连续两项的开方和，形如型，常见的有①；②对数运算本身可以裂解；③阶乘和组合数公式型要重点掌握和．‎ ‎18. 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.‎ ‎（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式.‎ ‎（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：‎ - 18 -‎ 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.‎ ‎（1）若花店一天购进17枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列及数学期望；‎ ‎（2）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，以利润角度看，你认为应购进16枝好还是17枝好？请说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)(1)答案见解析；(2)应购进17枝，理由见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（Ⅰ）根据题意将问题用分段函数的形式表示出来即可．(Ⅱ)(1) 由题意得的所有可能取值，并求出每个取值的概率，列成表格的形式可得分布列，然后可求得期望；（2）由题意得当购进16枝玫瑰花时，当天的利润为，然后与（1）作比较后可得结论．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）当日需求量时，可得利润；‎ 当日需求量时，可得利润，‎ 综上可得关于的解析式为；‎ ‎（Ⅱ）（1）由题意得的所有可能取值为55,65,75,85，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎∴随机变量的分布列为：‎ ‎∴ .‎ ‎（2）由题意得当购进16枝玫瑰花时，当天的利润为 ‎ ，‎ ‎∵，‎ ‎∴应购进17枝玫瑰花.‎ - 18 -‎ ‎19. 如图，四棱锥，侧面是边长为2的正三角形，且平面平面，底面是的菱形，为棱上的动点，且.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）试确定的值，使得二面角的平面角余弦值为.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(Ⅰ) 取的中点，连结，可得，，从而平面，所以，又，所以. (Ⅱ)根据题意可得两两垂直，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，根据法向量的余弦值的绝对值为可求得，从而可得结论．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）取的中点，连结，由题意可得，均为正三角形，‎ 所以，，‎ 又，‎ 所以平面，‎ 又平面，‎ 所以. ‎ 因为，‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.‎ 又平面平面，平面平面，平面，‎ 所以平面.‎ 故可得两两垂直，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ - 18 -‎ 则，，，，‎ 所以 ，‎ 由，可得点的坐标为，‎ 所以，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由，可得，‎ 令，则，‎ 又平面的一个法向量为，‎ 由题意得，‎ 解得或（舍去），‎ 所以当时，二面角的余弦值为.‎ 点睛：解决立体几何中探索性问题的基本策略 通常假定题中的数学对象存在（或结论成立），然后在这个前提下进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若导出与条件或实际情况相矛盾的结果，则说明假设不成立，即不存在．‎ ‎20. 设抛物线的准线与轴交于，以为焦点，离心率的椭圆与抛物线的一个交点为；自引直线交抛物线于两个不同的点，设.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)椭圆的方程为；抛物线的方程是：.(Ⅱ).‎ - 18 -‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为，根据椭圆上的点及离心率可得关于的方程组，求得可得椭圆的方程；根据椭圆的焦点坐标可得，进而可得抛物线方程．(Ⅱ)设出直线的方程，与椭圆方程联立消元后根据根与系数的关系及弦长公式可得，再根据的范围，利用函数的有关知识求得的范围即可．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，‎ 由题意得，解得，‎ ‎∴椭圆的方程为，‎ ‎∴点的坐标为,‎ ‎∴,‎ ‎∴抛物线的方程是.‎ ‎（Ⅱ）由题意得直线的斜率存在，设其方程为，‎ 由消去x整理得（*）‎ ‎∵直线与抛物线交于两点，‎ ‎∴．‎ 设，，‎ 则①，②．‎ ‎∵，,‎ ‎∴‎ ‎∴．③‎ 由①②③消去得：．‎ ‎∴ ‎ - 18 -‎ ‎，即，‎ 将代入上式得 ‎，‎ ‎∵单调递减，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 即的求值范围为．‎ 点睛：圆锥曲线中的最值与范围问题是高考中的常考题型，常与不等式、函数等知识结合在一起，涉及的知识点较多、难度较大．解题时可先建立关于某个参数的目标函数，再求这个函数的最值，常用的方法有以下几个：‎ ‎①利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；‎ ‎②利用基本不等式求出参数的取值范围；‎ ‎③利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若时，，求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）设数列的通项，证明：.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（Ⅰ）求导后可得，按照三种情况对进行讨论，最后可得符合题意．(Ⅱ)由条件可得 ，构造函数即当时，，且当时，，从而得到 - 18 -‎ ‎．令，则，……，，将以上各式两边分别相加整理后可得结论．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由已知可得，‎ ‎∵，‎ ‎∴ ，且 ‎①若，则当时，，单调递增，‎ ‎∴．不合题意．‎ ‎②若，则当时，，单调递增，‎ 所以当时，．不合题意．‎ ‎③若，则当时，，单调递减，‎ 所以当时，．符合题意．‎ 综上．‎ ‎∴实数的最小值为.‎ ‎（Ⅱ）由于 ‎ 当，由（Ⅰ）知，，且当时，，‎ 即,‎ 令，则，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎……‎ ‎．‎ 以上各式两边分别相加可得 - 18 -‎ ‎ ‎ ‎，‎ 即 ‎ ‎，‎ 所以．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22. 已知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，且，求直线的倾斜角的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)或.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 本题（1）可以利用极坐标与直角坐标 互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；（2）先将直l的参数方程是（是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数 的关系式，利用，得到的三角方程，解方程得到的值，要注意角范围．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由得．‎ ‎∵，,，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为，‎ ‎ 即；‎ ‎（2）将代入圆的方程得.‎ 化简得．‎ 设两点对应的参数分别为，则 ‎∴ , ‎ ‎ .‎ - 18 -‎ ‎∴, ‎ ‎∵∴或．‎ ‎23. 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).‎ ‎【解析】试题分析：（1）通过讨论 的范围，得到关于 的不等式组，解出取并集即可； （2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值；若存在实数，使得不等式成立，则，由此即可解出实数 的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎(1)不等式，化为，‎ 则或或，‎ 解得，‎ ‎∴不等式的解集为；‎ ‎(2)不等式等价于，‎ 即，又，‎ 若存在实数，使得不等式成立，‎ 则，解得，‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ ‎ ‎ - 18 -‎