2019-2020学年福建省泉州市泉港区第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年福建省泉州市泉港区第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年福建省泉州市泉港区第一中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A＝{0,1,2,3}，B＝{3,4,5}，则(∁UA)∩B等于 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可.‎ ‎【详解】‎ 由补集的定义可得：，‎ 则.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查补集的运算，交集的运算，属于基础题.‎ ‎2．已知，则“”是“”的（ ）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．‎ ‎【详解】‎ a∈R，则“a＞1”⇒“”，‎ ‎“”⇒“a＞1或a＜0”，‎ ‎∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎3．设命题，则为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据含有量词的命题的否定的定义进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵命题，‎ ‎∴为：．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 对含有存在(全称)量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在(全称)量词改成全称(存在)量词；②将结论加以否定．‎ ‎4．设为实数，且，则下列不等式成立的是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题首先可根据判断出项错误，然后令可判断出项和项错误，即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，故错；‎ 当时，，故错；‎ 当时，，故错，‎ 故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的基本性质，主要考查通过不等式性质与比较法来比较实数的大小，可借助取特殊值的方法来进行判断，是简单题。‎ ‎5．下列命题正确的是（ ）‎ A．函数的最小值是2 B．若，且，则 C．函数的最小值是2 D．函数的最小值是 ‎【答案】B ‎【解析】根据基本不等式的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，由于可以取负数，故A选项错误.‎ 对于B选项，根据基本不等式可知，当且仅当时等号成立，故B选项正确.‎ 对于C选项，，但不存在满足的实数，故C选项错误.‎ 对于D选项，，当且仅当时等号成立，故有最大值，故D选项错误.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查基本不等式运用时要注意的问题，属于基础题.‎ ‎6．已知函数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意结合函数的解析式分别求得的值，然后求解两者之差即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：，，‎ 则.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．‎ ‎7．已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用指数函数的单调性比较的大小关系，利用幂函数的单调性比较的大小关系，由此得到的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 由于为上的减函数，所以，由于在上是增函数，所以.故.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用指数函数和幂函数的单调性比较大小，属于基础题.‎ ‎8．已知函数（其中），若的图像如右图所示，则函数的图像大致为（ ）‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据的图像，得到，，进而可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由的图像可知，，，观察图像可知，答案选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二次函数图像，指数函数图像，熟记函数性质即可，属于常考题型.‎ ‎9．若二次函数对任意的，且，都有，则实数的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知可知，在上单调递减，结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵二次函数对任意的，且，都有，‎ ‎∴在上单调递减，‎ ‎∵对称轴，‎ ‎∴，解可得，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二次函数的性质及函数单调性的定义的简单应用，解题中要注意已知不等式与单调性相互关系的转化，属于中档题.‎ ‎10．已知定义在上的函数是奇函数，且在上是减函数，，则不等式的解集是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据的奇偶性和单调性以及，画出的大致图像，然后进行分类讨论，由此求得不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 由于是定义在上的奇函数，且在上是减函数，所以在上是减函数. .由此画出的大致图像如下图所示.由不等式得 当时，，即或，故.‎ 当时，成立.‎ 当时，，即或，解得或.‎ 综上所述，不等式的解集为.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查不等式的解法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ 二、多选题 ‎11．给出下列四个命题是真命题的是（ ）‎ A．函数与函数表示同一个函数；‎ B．奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点；‎ C．函数的图像可由的图像向右平移1个单位得到；‎ D．若函数的定义域为，则函数的定义域为；‎ ‎【答案】CD ‎【解析】根据函数有关的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，定义域为，定义域为，所以两个函数不是同一函数，A选项是假命题.‎ 对于B选项，奇函数在处不一定有定义，所以B选项是假命题.‎ 对于C选项，根据函数图像变换的知识可知C选项是真命题.‎ 对于D选项，函数的定义域为，则函数满足，即函数的定义域为，所以D选项是真命题.‎ 故选：CD ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数相同的概念，考查奇函数的性质，考查函数图像变换，考查抽象函数定义域的求法，属于基础题.‎ ‎12．具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是（ ）‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎【答案】BD ‎【解析】对选项逐一验证是否符合，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】‎ 依题意可知，即，.‎ 对于A选项，在定义域内，不符合题意.‎ 对于B选项，，满足“倒负”变换.‎ 对于C选项，，不符合题意.‎ 对于D选项，当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时.综上所述，满足“倒负”变换.‎ 故选：BD ‎【点睛】‎ 本小题主要考查新定义函数概念的理解和运用，属于基础题.‎ 三、填空题 ‎13．函数的图象必过定点__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据过定点可得函数的图象必过定点.‎ ‎【详解】‎ 因为，，‎ 所以，当时，‎ 总有，‎ ‎∴必过点，故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数函数的几何性质，属于简单题. 函数图象过定点问题主要有两种类型：（1）指数型，主要借助过定点解答；(2)对数型：主要借助过定点解答.‎ ‎14．若幂函数为上的增函数，则实数m的值等于______ ．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由函数为幂函数得,求出的值，再由幂函数在上是增函数求出满足条件的值.‎ ‎【详解】‎ 由幂函数为幂函数，‎ 可得，解得或0，‎ 又幂函数在区间上是增函数， ‎ ‎，‎ 时满足条件，故答案为4.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查幂函数的定义与性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于中档题. 高考对幂函数要求不高，只需掌握简单幂函数的图象与性质即可．‎ ‎15．已知：，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解一元二次不等式求得为真命题时的取值范围.由此根据必要不充分条件列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由解得.由得 ‎.由于是的一个必要不充分条件，即是的必要不充分条件，所以，解得 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据必要不充分条件求参数，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎16．已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是____________‎ ‎【答案】[-2，0]‎ ‎【解析】作出函数，的图像如下：‎ 由作图可知，则时，则，‎ 当[-2，0]时，总会存在存在，使得成立.‎ 故填[-2，0]‎ 点睛：能作出函数的图像，并能应用数形结合方法是解决本题的关键.‎ 四、解答题 ‎17．（Ⅰ）计算： ‎ ‎（Ⅱ）化简：‎ ‎【答案】（Ⅰ）100；（Ⅱ）‎ ‎【解析】（I）利用根式和指数运算公式化简所求表达式.‎ ‎（II）利用根式和指数运算公式化简所求表达式.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）原式.‎ ‎（Ⅱ）原式.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根式和指数运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎18．设函数的定义域为集合，函数的值域为集合．‎ ‎（Ⅰ）当时，求.‎ ‎（Ⅱ）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】求定义域求得集合，求的值域求得集合.‎ ‎（I）当时，先求得，然后求得.‎ ‎（II）根据列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：，，‎ ‎（Ⅰ）时，，.则；‎ ‎（Ⅱ）若，则，则. 故实数的范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的定义域和值域，考查集合交集、并集和补集，考查根据集合交集的结果求参数的取值范围，属于基础题.‎ ‎19．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．　‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请补全完整函数的图象；‎ ‎（3）根据（2）中画出的函数图像，直接写出函数的单调区间．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）单调递增区间是，单调递减区间为和．‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用函数是奇函数，结合时，即可求出；（2）因为奇函数的图象关于原点成中心对称，故可画出另一侧图象.（3）观察图象，从左向右看，上升为增函数，下降为减函数，据此写出单调区间.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设，则，‎ ‎∵当时，，‎ ‎∴，‎ ‎∵函数是定义在上的奇函数，‎ ‎∴（），‎ ‎∴‎ ‎（2）函数的图象如图所示：‎ ‎（3）由图像可知，的单调递增区间是，单调递减区间为和．‎ 点睛：本题全面考察了函数的奇偶性，单调性，图象，恒成立问题，属于中档题.涉及了利用奇偶性求函数的解析式，函数单调性的问题，二次函数分类讨论求函数的最小值，恒成立问题，恒成立问题一般要转化成最值问题，求函数最小值时，可根据函数的类型选用不同方法.‎ ‎20．已知函数，.‎ ‎（1）当时，，求函数的值域；‎ ‎（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）令，由，得，再求换元后的函数的最值即得解；（2）等价于，再求函数的最大值即得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，令，由，得，‎ ‎，‎ 当时，；当时，．‎ ‎∴函数的值域为；‎ ‎（2）设，则，在对任意的实数x恒成立，‎ 等价于在上恒成立，‎ ‎∴在上恒成立，‎ ‎∴，‎ 设，，函数在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数型复合函数的最值的计算，考查二次函数的图象和性质，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎21．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，过点；当时，图象是线段，其中．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．‎ ‎（Ⅰ）试求的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳，理由见解析 ‎【解析】（I）当时，利用二次函数顶点式求得函数解析式，当 时，一次函数斜截式求得函数解析式.由此求得的函数关系式.‎ ‎（II）利用分段函数解析式解不等式，由此求得学习效果最佳的时间段.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）当时，设，过点代入得，则，‎ 当时，设，过点、，‎ 得，即，则函数关系式为.‎ ‎（Ⅱ）由题意，或，.‎ 得或，∴.则老师就在时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，考查函数在实际生活中的应用，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎22．已知定义域为的函数是奇函数.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)判断函数的单调性并证明；‎ ‎(2)若关于的不等式在有解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由为奇函数可知，，即可得解；‎ ‎（2）由递增可知在上为减函数，对于任意实数，不妨设，化简判断正负即可证得；‎ ‎（3）不等式，等价于 ‎，即，原问题转化为在上有解，求解的最大值即可.‎ 试题解析 解：(1)由为奇函数可知，，解得.‎ ‎(2)由递增可知在上为减函数，‎ 证明：对于任意实数，不妨设，‎ ‎∵递增，且，∴，∴，‎ ‎∴，故在上为减函数.‎ ‎(3)关于的不等式，‎ 等价于，即，‎ 因为，所以，‎ 原问题转化为在上有解，‎ ‎∵在区间上为减函数，‎ ‎∴，的值域为，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴的取值范围是.‎ 点晴:本题属于对函数单调性应用的考察，若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性数形结合即可.‎