高一数学（人教A版）必修2能力强化提升：第三章综合检测

高一数学（人教A版）必修2能力强化提升：第三章综合检测

第三章综合检测 时间120分钟，满分150分。‎ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)‎ ‎1．直线的方程为x－y＋2014＝0，则直线的倾斜角为(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B. C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　直线的斜率为k＝，所以直线l的倾斜角为.‎ ‎2．若三点A(3,1)，B(－2, b)，C(8,11)在同一直线上，则实数b等于(　　)‎ A．2 B．3‎ C．9 D．－9‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由条件知kBC＝kAC，‎ ‎∴＝，∴b＝－9.‎ ‎3．过点P(－1,3)，且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为(　　)‎ A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0‎ C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　根据垂直关系可知k＝－2，∴y－3＝－2(x＋1)，即2x＋y－1＝0.‎ ‎4．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为(　　)‎ A．0 B．－8‎ C．2 D．10‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　kAB＝＝－2，∴m＝－8.∵B(－8,4)不在直线2x＋y－1＝0上，∴m＝－8符合题意．‎ ‎5．已知ab＜0，bc＜0，则直线ax＋by＝c通过(　　)‎ A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 ‎[答案]　C ‎[解析]　直线ax＋by＝c可化为y＝－x＋，∵ab＜0，bc＜0，∴－＞0，＜0，由此可知直线过第一、三、四象限．‎ ‎6．直线kx－y＋1＝3k，当k变动时，所有直线恒过定点(　　)‎ A．(0,0) B．(0,1)‎ C．(3,1) D．(2,1)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　把kx－y＋1＝3k改写成关于k的方程得(x－3)k－(y－1)＝0，它恒过点(3,1)．‎ ‎7．点P(2,5)到直线y＝－x的距离d等于(　　)‎ A．0 B. C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　直线方程y＝－x化为一般式x＋y＝0，‎ 则d＝.‎ ‎8．与直线y＝－2x＋3平行，且与直线y＝3x＋4交于x轴上的同一点的直线方程是(　　)‎ A．y＝－2x＋4 B．y＝x＋4‎ C．y＝－2x－ D．y＝x－ ‎[答案]　C ‎[解析]　直线y＝－2x＋3的斜率为－2，则所求直线斜率k＝－2，直线方程y＝3x＋4中，令y＝0，则x＝－，即所求直线与x轴交点坐标为(－，0)．故所求直线方程为y＝－2(x＋)，即y＝－2x－.‎ ‎9．两条直线y＝ax－2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a等于(　　)‎ A．2 B．1‎ C．0 D．－1‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵两直线互相垂直，∴a·(a＋2)＝－1，‎ ‎∴a2＋‎2a＋1＝0，∴a＝－1.‎ ‎10．已知等腰直角三角形ABC的斜边所在的直线是3x－y＋2＝0，直角顶点是C(3，－2)，则两条直角边AC，BC的方程是(　　)‎ A．3x－y＋5＝0，x＋2y－7＝0‎ B．2x＋y－4＝0，x－2y－7＝0‎ C．2x－y＋4＝0,2x＋y－7＝0‎ D．3x－2y－2＝0,2x－y＋2＝0‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　∵两条直角边互相垂直，‎ ‎∴其斜率k1，k2应满足k1k2＝－1，排除A、C、D，故选B.‎ ‎11．直线l与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎[答案]　D ‎[解析]　设A(x1,1)，B(x2，y2)．由题意，得 ∴y2＝－3.‎ 将y2＝－3代入x－y－7＝0，得x2＝4，‎ ‎∴B(4，－3)．∴k＝＝－.‎ ‎12．设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是(　　)‎ A．k≥或k≤－4 B．－4≤k≤ C．－≤k≤4 D．以上都不对 ‎[答案]　A ‎[解析]　kPA＝－4，kPB＝，画图观察可知k≥或k≤－4.‎ 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．已知点A(－1,2)，B(－4,6)，则|AB|等于________．‎ ‎[答案]　5‎ ‎[解析]　|AB|＝＝5.‎ ‎14．与直线7x＋24y＝5平行，并且距离等于3的直线方程是________．‎ ‎[答案]　7x＋24y＋70＝0或7x＋24y－80＝0‎ ‎[解析]　设所求直线为7x＋24y＋m＝0.‎ 把直线7x＋24y＝5整理为一般式得7x＋24y－5＝0.‎ 由两平行直线间的距离公式得：＝3，‎ 解得m＝70或－80，‎ 故所求直线方程为7x＋24y＋70＝0或7x＋24y－80＝0.‎ ‎15．若直线l经过点P(2,3)且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为________或________．‎ ‎[答案]　x＋y－5＝0　x－y＋1＝0‎ ‎[解析]　设直线l的方程为＋＝1，则 解得a＝5，b＝5或a＝－1，b＝1，‎ 即直线l的方程为＋＝1或＋＝1，‎ 即x＋y－5＝0或x－y＋1＝0.‎ ‎16．(2009·高考全国卷Ⅰ)若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15°　②30°　③45°　④60°　⑤75°，其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)‎ ‎[答案]　①⑤‎ ‎[解析]　两平行线间的距离为 d＝＝，‎ 由图知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，‎ 所以直线m的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.‎ ‎[点评]　本题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想．是高考在直线知识命题中不多见的较为复杂的题目，但是只要基础扎实、方法灵活、思想深刻，这一问题还是不难解决的．所以在学习中知识是基础、方法是骨架、思想是灵魂，只有以思想方法统领知识才能在考试中以不变应万变．‎ 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋‎2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？‎ ‎(2)当a为何值时，直线l1：y＝(‎2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？‎ ‎[解析]　(1)直线l1的斜率k1＝－1，直线l2的斜率k2＝a2‎ ‎－2，因为l1∥l2，所以a2－2＝－1且‎2a≠2，解得：a＝－1.所以当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋‎2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．‎ ‎(2)直线l1的斜率k1＝‎2a－1，l2的斜率k2＝4，因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即4(‎2a－1)＝－1，解得a＝.所以当a＝时，直线l1：y＝(‎2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．‎ ‎18．(本小题满分12分)根据下列条件求直线方程：‎ ‎(1)已知直线过点P(－2,2)且与两坐标轴所围成的三角形面积为1；‎ ‎(2)过两直线3x－2y＋1＝0和x＋3y＋4＝0的交点，且垂直于直线x＋3y＋4＝0.‎ ‎[解析]　(1)设所求直线的方程为＋＝1.‎ 由题意得 解得或 故所求直线方程为＋y＝1或＋＝1，‎ 即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0.‎ ‎(2)解法一：设所求直线方程为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋(1＋4λ)＝0.‎ 由所求直线垂直于直线x＋3y＋4＝0，得 ‎－·(－)＝－1.‎ 解得λ＝.‎ 故所求直线方程是3x－y＋2＝0.‎ 解法二：设所求直线方程为3x－y＋m＝0.‎ 由解得 即两已知直线的交点为(－1，－1)．‎ 又3x－y＋m＝0过点(－1，－1)，‎ 故－3＋1＋m＝0，m＝2.‎ 故所求直线方程为3x－y＋2＝0.‎ ‎19．(本小题满分12分)直线l过点(1,0)且被两条平行直线l1：3x＋y－6＝0和l2：3x＋y＋3＝0所截得的线段长为，求直线l的方程．‎ ‎[解析]　解法一：当直线l与x轴垂直时，方程为x＝1，由得l与l1的交点为(1,3)，‎ 由得l与l2的交点为(1，－6)，‎ 此时两交点间的距离d＝|－6－3|＝9≠.‎ ‎∴直线l与x轴不垂直．‎ 设l的方程为y＝k(x－1)(k≠－3)，‎ 解方程组得l与l1交点的坐标为(，)，‎ 同理，由 得l与l2的交点坐标为(，)，‎ 由题意及两点间距离公式得 ＝，‎ 即9k2－6k＋1＝0，∴k＝，‎ ‎∴直线l的方程为y＝(x－1)，‎ 即x－3y－1＝0.‎ 解法二：由两平行线间的距离公式可得l1与l2间的距离d＝＝，‎ 而l被l1，l2截得的线段长恰为，‎ ‎∴l与l1垂直，由l1的斜率k1＝－3知，‎ l的斜率k＝，‎ ‎∴l的方程为y＝(x－1)，‎ 即x－3y－1＝0.‎ ‎20．(本小题满分12分)当m为何值时，直线(‎2m2‎＋m－3)x＋(m2－m)y＝‎4m－1.‎ ‎(1)倾斜角为45°；‎ ‎(2)在x轴上的截距为1.‎ ‎[解析]　(1)倾斜角为45°，则斜率为1.‎ ‎∴－＝1，解得m＝－1，m＝1(舍去)‎ 直线方程为2x－2y－5＝0符合题意，∴m＝－1‎ ‎(2)当y＝0时，x＝＝1，‎ 解得m＝－，或m＝2，‎ 当m＝－，m＝2时都符合题意，‎ ‎∴m＝－或2.‎ ‎21．(本小题满分12分)已知△ABC的三个顶点A(4，－6)，B(－4,0)，C(－1,4)，求 ‎(1)AC边上的高BD所在直线方程；‎ ‎(2)BC边的垂直平分线EF所在直线方程；‎ ‎(3)AB边的中线的方程．‎ ‎[解析]　(1)直线AC的斜率kAC＝＝－2，‎ ‎∴直线BD的斜率kBD＝，‎ ‎∴直线BD的方程为y＝(x＋4)，即x－2y＋4＝0‎ ‎(2)直线BC的斜率kBC＝＝，‎ ‎∴EF的斜率kEF＝－，‎ 线段BC的中点坐标为(－，2)，‎ ‎∴EF的方程为y－2＝－(x＋)，‎ 即6x＋8y－1＝0.‎ ‎(3)AB的中点M(0，－3)，‎ ‎∴直线CM的方程为：＝，‎ 即：7x＋y＋3＝0(－1≤x≤0)．‎ ‎22．(本小题满分12分)有定点P(6,4)及定直线l：y＝4x，点Q是l上在第一象限内的点，PQ交x轴的正半轴于点M，问点Q在什么位置时，△OMQ的面积最小，并求出最小值．‎ ‎[解析]　如图，由点Q在直线y＝4x上，设点Q(x0,4x0)，且x0＞0.需求直线PQ与x轴的交点M的横坐标，因为S△OQM＝·|OM|·4x0＝f(x0)是x0的函数，利用函数求最小值的方法求得面积的最小值及点Q的坐标．‎ 设点Q(x0,4x0)(x0＞0且x0≠6)，‎ ‎∴直线PQ的方程为y－4＝(x－6)．‎ 令y＝0得x＝，‎ ‎∴点M的坐标为(，0)．‎ 设△OMQ的面积为S，‎ 则S＝|OM|·4x0＝，‎ 即10x－Sx0＋S＝0.‎ ‎∵x0∈R，∴关于x0的一元二次方程有实根．‎ ‎∴Δ＝S2－40S≥0，即S≥40.‎ 当S＝40时，x0＝2,4x0＝8，‎ ‎∴点Q的坐标为(2,8)．‎ 而当x0＝6时，点Q的坐标为(6,24)，‎ 此时S＝×6×24＝72＞40，不符合要求．‎ 故当点Q的坐标为(2,8)时，△OMQ的面积最小，且最小值为40.‎