2008年广东省佛山市高中阶段学校招生考试卷及参考答案

2008年广东省佛山市高中阶段学校招生考试卷及参考答案

佛山市2008年高中阶段学校招生考试 数学试卷 说　　明：本试卷分为第Ι卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共6页，满分120分，‎ 考试时间100分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1.试卷的选择题和非选择题都在答题卡上作答，不能答在试卷上.‎ ‎2.要作图(含辅助线)或画表，先用铅笔进行画线、绘图，再用黑色字迹的钢笔或签字 笔描黑.‎ ‎3.其余注意事项，见答题卡.‎ 第Ι卷 （选择题 共30分）‎ 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题目要求的)．‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎-3‎ A B 第1题图 ‎1． 如图，数轴上A点表示的数减去B点表示的数， ‎ 结果是( )．‎ A．8 B．-8 C．2 　 D．-2‎ ‎2． 下列运算正确的是( )．‎ A. 　 B. C. D. ‎ ‎3． 化简的结果是( )．‎ A． B． C． D．‎ ‎4． 下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )．‎ A． B． C． D．‎ ‎5． 下列说法中，不正确的是( )．‎ A．为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法 B．众数在一组数据中若存在，可以不唯一 C．方差反映了一组数据与其平均数的偏离程度 D．对于简单随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差 ‎6． “明天下雨的概率为80%”这句话指的是( )．‎ A. 明天一定下雨 B. 明天80%的地区下雨，20%的地区不下雨 C. 明天下雨的可能性是80%‎ D. 明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨 A B C D P N M 第7题图 ‎7． 如图，P为平行四边形ABCD的对称中心，以P为圆心作圆，过P的任意直线与圆相交于点M、N. 则线段BM、DN的大小关系是( )．‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. 无法确定 ‎8． 在盒子里放有三张分别写有整式、、的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是( )．‎ A. B. C. D. ‎ 第9题图 正 视 图 左 视 图 俯 视 图 ‎9． 如图，是某工件的三视图，其中圆的半径为10，等腰三角形的高为30，则此工件的侧面积是( )．‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎10．实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录(用A - C表示观测点A相对观测点C的高度)：‎ A - C C - D E- D F - E G - F B - G ‎90米 ‎80米 ‎-60米 ‎50米 ‎-70米 ‎40米 根据这次测量的数据，可得观测点A相对观测点B 的高度是( ) 米.‎ A．210 B．130 C．390 D．-210‎ 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）‎ 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分．把答案填在答题卡中)．‎ 第12题图 B C D A P ‎11．计算： .‎ ‎12．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，‎ 则∠ACP度数是 ．‎ ‎13．若，，则、的大小关系是 ．‎ ‎14．在研究抛掷分别标有1、2、3、4、5、6的质地均匀的正六面体骰子时，提出了一个问题：连续抛掷三次骰子，正面朝上的点数是三个连续整数的概率有多大？‎ 假设下表是几位同学抛掷骰子的实验数据：‎ ‎ 同学编号 抛掷情况 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 抛掷次数 ‎100‎ ‎150‎ ‎200‎ ‎250‎ ‎300‎ ‎350‎ ‎400‎ ‎450‎ 正面朝上的点数是 三个连续整数的次数 ‎10‎ ‎12‎ ‎20‎ ‎22‎ ‎25‎ ‎33‎ ‎36‎ ‎41‎ O A B C E F D x y 第15题图 请你根据这些数据估计上面问题的答案大约是 .‎ ‎15．如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点 E都在函数 （）的图象上，则点E的坐标是 ‎（ ， ）.‎ 三、解答题(在答题卡上作答，写出必要的解题步骤．16～20题每小题6分，21～23题每小题8分，24题10分，25题11分，共75分)．‎ ‎16．解方程组：‎ ‎17．先化简÷，再求值（其中是满足-3 << 3的整数）．‎ A 住宅小区 M ‎45°‎ ‎30°‎ B 北 第18题图 ‎18．如图，是一个实际问题抽象的几何模型，已知A、B之间的距离为300m，求点M到直线AB的距离（精确到整数）．‎ ‎（参考数据：，）‎ 人数 ‎180‎ 学生在校体育活动时间统计图 ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎150‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎120‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎90‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎60‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎30‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎0‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ A B C D 组别 ‎19．某地为了解当地推进“阳光体育”运动情况，就“中小学生每天在校体育活动时间”的问题随机调查了300名中小学生．根据调查结果绘制成的统计图的一部分如图（其中分组情况见下表）：‎ 组别 范围（小时）‎ A B C D 第19题图 请根据上述信息解答下列问题：‎ ‎(1) B组的人数是 人；‎ ‎(2) 本次调查数据（指体育活动时间）的中位数落在 组内；‎ ‎(3) 若某地约有64000名中小学生，请你估计其中达到国家规定体育活动时间（不低于1小时）的人数约有多少？‎ ‎20．对于任意的正整数，所有形如的数的最大公约数是什么？‎ 不能只写结果，‎ 要说明理由哦！‎ ‎21. 如图，在直角△ABC内，以A为一个顶点作正方形ADEF，使得点E落在BC边上.‎ ‎(1) 用尺规作图，作出D、E、F中的任意一点 (保留作图痕迹，不写作法和证明. 另外两点不需要用尺规作图确定，作草图即可)；‎ ‎(2) 若AB = 6，AC = 2，求正方形ADEF的边长.‎ A B C 第21题图 ‎22．某地为四川省汶川大地震灾区进行募捐，共收到粮食100吨，副食品54吨. 现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批货物全部运往汶川，已知一辆甲种货车同时可装粮食20吨、副食品6吨，一辆乙种货车同时可装粮食8吨、副食品8吨.‎ ‎ (1) 将这些货物一次性运到目的地，有几种租用货车的方案？‎ ‎(2) 若甲种货车每辆付运输费1300元，乙种货车每辆付运输费1000元，要使运输总费用最少，应选择哪种方案？‎ ‎23. 如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形.‎ ‎(1) 当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形；‎ 第23题图 E F D A B C ‎(2) 当AB = AC时，顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件.‎ ‎24. 如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米. 现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.‎ ‎(1) 直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；‎ ‎(2) 求出这条抛物线的函数解析式；‎ ‎(3) 若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？‎ O x y M ‎3‎ 第24题图 A B C D P ‎25．我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的（或构造的）几何图形提出相关的概念和问题（或者根据问题构造图形），并加以研究.‎ 例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包括研究的思想和方法）. ‎ 请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究：‎ ‎(1) 如图1，在圆O所在平面上，放置一条直线（和圆O分别交于点A、B），根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些（直接写出两个即可）？‎ ‎(2) 如图2，在圆O所在平面上，请你放置与圆O都相交且不同时经过圆心的两条直线和（与圆O分别交于点A、B，与圆O分别交于点C、D）.‎ 请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之.‎ ‎(3) 如图3，其中AB是圆O的直径，AC是弦，D是ABC 的中点，弦DE⊥AB于点F. 请找出点C和点E重合的条件，并说明理由.‎ A B O m 第25题图1‎ O 第25题图2‎ A B O E 第25题图3‎ D C F G D C 佛山市2008年高中阶段学校招生考试 数学试卷参考答案与评分标准 一、选择题．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 B D C B A C C B D A 二、填空题．‎ 题号 ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ 答案 ‎（或“小于”）‎ ‎～之间的任意一个数值 ‎（，）‎ ‎ (第14题填理论值1/9给满分；第15题填对一个只给1分，若近似计算不扣分)‎ 三、解答题．‎ ‎16．‎ ‎(2)-(1)，得，即. …………………………………………………………………………3分 把代入(1)，得. ………………………………………………………………………………5分 ‎∴ 原方程组的解为： …………………………………………………………………………6分 ‎（用代入消元法，同理给分）‎ ‎17．. ………………………4分 ‎（其中通分1分，除法变乘法1分，分子分母分解因式1分，化简1分）‎ 在-3 < p < 3中的整数p是-2，-1，0，1，2， ……………………………………………………5分 根据题意，这里p仅能取-1，此时原式 = .…………………………………………………6分 ‎（若取p = -2，0，1，2，代入求值，本步骤不得分；直接代-1计算正确给1分）‎ ‎18．过点M作AB的垂线MN，垂足为N .…………………………………………………………………1分 A 住宅小区 M ‎45°‎ ‎30°‎ B 北 第18题图 N ‎∵M位于B的北偏东45°方向上，‎ ‎∴∠MBN = 45°，BN = MN. ………………………2分 又M位于A的北偏西30°方向上，‎ ‎∴∠MAN=60°，AN = .……3分 ‎∵AB = 300，∴AN+NB = 300 . ………………4分 ‎∴. ……………………………5分 MN .………………………………………………6分 ‎（由于计算方式及取近似值时机不同有多个值，均不扣分）‎ ‎19．(1) B组的人数是 30 人； ………………………………………………………………………………2分 ‎(2) 本次调查数据的中位数落在 C 组内；…………………………………………………………4分 ‎(3) （人）. ………………………………………………………………………6分 ‎（每小题2分，不用补全图形）‎ ‎20．第一类解法（直接推理）：‎ ‎..…………………………………………………………………………1分 因为、、是连续的三个正整数，………………………………………………………2分 所以其中必有一个是2的倍数、一个是3的倍数. ………………………………………………3分 所以一定是6的倍数. ………………………………………4分 又的最小值是6，……………………………………………………………………………5分 ‎（如果不说明6是最小值，则需要说明、、中除了一个是2的倍数、一个是3的倍数，第三个不可能有公因数. 否则从此步以下不给分）‎ 所以最大公约数为6. ………………………………………………………………………………………………6分 第二类解法（归纳）：‎ 情形1 当时，，所以最大公约数为6. ………………………2分 ‎ （若回答最大公约数为2或3，只给1分）‎ 情形2 当、2（或其它任意两个正整数）时，、24，‎ 所以最大公约数为6. ………………………………………………………………………………………………3分 ‎ （若回答最大公约数为2或3，给2分）‎ 情形3 当、2、3时，、24、120，‎ 所以最大公约数为6. ………………………………………………………………………………………………4分 ‎ （若回答最大公约数为2或3，给3分）‎ 注：若归纳之后再用推理方法说明，则与第一类解法比较给分.‎ ‎21．⑴ 作图：作∠BAC的平分线交线段BC于E； …………………………………………………4分 A B C 第21题图 D E F ‎（痕迹清晰、准确，本步骤给满分4分，否则酌情扣1至4分；另外两点及边作的是否准确，不扣分）‎ ‎⑵ 如图，∵ 四边形ADEF是正方形，‎ ‎∴ EF∥AB，AD = DE = EF = FA. ……5分 ‎∴ △CFE ∽△CAB. ‎ ‎∴ .…………………………………6分 ‎∵ AC = 2 ，AB = 6，‎ 设AD = DE = EF = FA = x，‎ ‎∴ . ………………………………………………………………………………………………………7分 ‎∴ x＝.即正方形ADEF的边长为. ………………………………………………………………8分 ‎（本题可以先作图后计算，也可以先计算后作图；未求出AD或AF的值用作中垂线的方法找到D点或F点，给2分）‎ ‎22．(1) 设租用甲种货车辆，则乙种货车为辆. ……………………………………1分 依题意，得： (每列出一个给一分) ………………………………3分 解不等式组，得： ………………………………………………………………………………5分 这样的方案有三种：甲种货车分别租辆，乙种货车分别租辆. ………6分 ‎【另解：设安排甲种货车辆，则有. ……………3分 解得，又，可取整数. ………………………………………5分 租用货车的方案有六种：即甲种货车分别租用辆. ………………………6分 ‎(2) 总运费. ………………………………………7分 因为随着增大而增大，所以当时，总运费最少，为元. ………8分 ‎（(1)若用另解，在总得分中扣1分；(2)若用类似列下表的方式解答，可参考给分）‎ 甲车数量 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 总运费 ‎8900‎ ‎9200‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ 第23题图 E F D A B C ‎23．(1) ∵△ABE、△BCF为等边三角形，‎ ‎∴AB = BE = AE，BC = CF = FB，∠ABE = ∠CBF = 60°.‎ ‎∴∠FBE = ∠CBA. ………………………1分 ‎∴△FBE ≌△CBA. ‎ ‎∴EF = AC. ………………………………………2分 又∵△ADC为等边三角形，‎ ‎∴CD = AD = AC.‎ ‎∴EF = AD..……………………………………………………………………………………………………………3分 同理可得AE = DF. ……………………………………………………………………………………………5分 ‎∴四边形AEFD是平行四边形. ……………………………………………………………………………6分 ‎（其它证法，参照给分）‎ ‎(2) 构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段. ‎ 当图形为菱形时，∠ BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形）………7分 ‎（若写出图形为平行四边形时，不给分）‎ 当图形为线段时，∠BAC = 60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）. …………8分 ‎24．(1) M(12，0)，P(6，6). ………………………………………………………………………………………2分 O x y M ‎3‎ 第24题图 A B C D P ‎(2) 设此函数关系式为：. ………………………………………………………3分 ‎∵函数经过点(0，3)，‎ ‎∴，即. ………………4分 ‎∴此函数解析式为：‎ ‎.………5分 ‎(3) 设A(m，0)，则 B(12-m，0)，C，D . …………7分 ‎∴“支撑架”总长AD+DC+CB = ‎ ‎= . …………………………………………………………………………………………………9分 ‎ ∵ 此二次函数的图象开口向下.‎ ‎∴ 当m = 0时，AD+DC+CB有最大值为18. …………………………………………………10分 ‎25．解：(1) 弦（图中线段AB）、弧（图中的ACB 弧）、弓形、求弓形的面积（因为是封闭图形）等. ‎ ‎（写对一个给1分，写对两个给2分）‎ ‎(2) 情形1 如图21，AB为弦，CD为垂直于弦AB的直径. …………………………3分 结论：（垂径定理的结论之一）. …………………………………………………………………………4分 证明：略（对照课本的证明过程给分）. ……………………………………………………………7分 情形2 如图22，AB为弦，CD为弦，且AB与CD在圆内相交于点P.‎ O n D A C B m 第25题图21‎ P 结论：.‎ 证明：略.‎ 情形3 （图略）AB为弦，CD为弦，且与在圆外相交于点P.‎ 结论：.‎ 证明：略.‎ AD BC 情形4 如图23，AB为弦，CD为弦，且AB∥CD.‎ 结论： = .‎ 证明：略.‎ ‎（上面四种情形中做一个即可，图1分，结论1分，证明3分；‎ 其它正确的情形参照给分；若提出的是错误的结论，则需证明结论是错误的）‎ ‎(3) 若点C和点E重合，‎ 则由圆的对称性，知点C和点D关于直径AB对称. …………………………………………8分 ABC 设，则，.…………………………………………9分 又D是 的中点，所以，‎ 即.………………………………………………………………………………10分 解得.………………………………………………………………………………………11分 A B O E 第25题图3‎ D C F G O 第25题图22‎ n D A C B m P O 第25题图23‎ n D A C B m ‎（若求得或等也可，评分可参照上面的标准；也可以先直觉猜测点B、C是圆的十二等分点，然后说明）‎