2019-2020学年江苏省南京市高二上学期期中考试 数学 Word版

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文档介绍

2019-2020学年江苏省南京市高二上学期期中考试 数学 Word版

南京市2019-2020学年度第一学期期中调研测试 ‎ 高 二 数 学 2019.11‎ 注意事项:‎ ‎1.本试卷共4页,包括选择题(第1题~第12题)、填空题(第13题~第16题)、解答题(第17题~第22题)三部分。本试卷满分150分,考试时间120分钟。‎ ‎2.答卷前,考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置。‎ ‎3.作答选择题时,选出每小题的答案后,用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。‎ ‎4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。‎ ‎5.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。‎ 参考公式:线性回归方程 =bx+a;回归系数b=,a=-b;‎ ‎ 球的表面积S=4πR2,其中R为球的半径.‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题4分,共计48分.其中第1至第10题为单选题,第11、12题为多选题.‎ ‎1.若直线ax+2y+1=0与直线x+2y-2=0互相垂直,则实数a的值是 A.1 B.-1 C.4 D.-4‎ ‎2.已知向量a=(0,1,1),b=(1,-2,1).若向量a+b与向量c=(-2,m,-4)平行,则实数m的值是 A.2 B.-2 C.10 D.-10‎ ‎3.在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2-=1的渐近线方程是 A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x ‎4.为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:‎ 收入x(万元)‎ ‎8.3‎ ‎8.5‎ ‎10‎ ‎11.2‎ ‎12‎ 支出y(万元)‎ ‎6‎ ‎7.5‎ ‎8‎ ‎8.5‎ ‎10‎ 根据上表可得=10,=8,线性回归方程=0.76x+a.据此估计,该社区一户年收入为20万元家庭年支出为 ‎ A.15.2万元 B.15.6万元 C.16万元 D.16.2万元 ‎(第6题图)‎ A B C D M N ‎(第5题图)‎ ‎5.如图,已知一个圆柱的底面半径为,高为2,若它的两个底面圆周均在球O的球面上,则球O的表面积为 A. B.16π ‎ C.8π D.4π ‎6.如图,在四面体ABCD中,点M是棱BC上的点,且BM=2MC,点N 是棱AD的中点.若=x+y+z,其中x,y,z为实数,则xyz的值是 A.- B.- C. D. ‎7.在平面直角坐标系xOy中,直线l过点P(1,2),且被圆O:x2+y2=9截得的弦长为4,则直线l的方程为 A.3x-4y+5=0 B.3x+4y-11=0 ‎ C.x=1或3x-4y+5=0 D.x=1或3x+4y-11=0 ‎ ‎8.已知cos(α+)=,则sin2α的值是 A.- B.- C. D. ‎9.在平面直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y=4x的焦点,交抛物线于A,B两点,且线段AB中点的横坐标为3,则线段AB的长为 ‎ A.6 B.7 C.8 D.10‎ ‎10.在平面直角坐标系xOy中,已知点P(4,0),点A,B在双曲线C:-y=1上,且 =3,则直线AB的斜率为 A.± B.± C.±1 D.± 注:以下两题为多选题,每小题有多个选项符合题意.全部选对得4分,选对但不全的得2分,错选或不答的得0分.‎ ‎11.已知两条直线l,m及三个平面α,β,γ,下列条件中能推出α⊥β的是 ‎ A. lα,l⊥β B.l⊥α,m⊥β,l⊥m ‎ C.α⊥γ,β∥γ D.lα,mβ,l⊥m ‎12.在平面直角坐标系xOy中,动点P到两个定点F(-1,0)和F(1,0)的距离之积等于8,记点P的轨迹为曲线E,则 A.曲线E经过坐标原点 B.曲线E关于x轴对称 C.曲线E关于y轴对称 D.若点(x,y)在曲线E上,则-3≤x≤3‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:-y=1的焦距为 ▲ .若双曲线C的右焦点与抛物线y2=2px (p>0)的焦点重合,则实数p的值为 ▲ .‎ ‎14.在平面直角坐标系xOy中,若椭圆E:+=1(a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点,则椭圆E的离心率是 ▲ .‎ ‎15.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是:每个大于2的偶数可以表示为两个质数的和,如14=3+11.在不超过15的质数中,随机选取2个不同的数,其和不等于16的概率是 ▲ .‎ ‎16.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,底面边长和侧棱长均为2,‎ ‎∠A1AB=∠A1AD=60°,则对角线AC1的长为 ▲ .‎ 三、解答题:本题共6小题,共82分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知12(acosC+ccosA)=13bcosB.‎ ‎(1)求cosB;‎ ‎(2)若a+c=15,且△ABC的面积为5,求b的值.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 某家庭记录了未使用节水龙头30天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头30天的日用水量数据,得到频数分布表如下:‎ ‎(一)未使用节水龙头30天的日用水量频数分布表 日用水量 [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.7]‎ 频数 ‎2‎ ‎3‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎5‎ ‎(二)使用了节水龙头30天的日用水量频数分布表 日用水量 [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6]‎ 频数 ‎2‎ ‎5‎ ‎11‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎(1)估计该家庭使用了节水龙头后,日用水量小于0.4 m3的概率;‎ ‎(2)估计该家庭使用节水龙头后,平均每天能节省多少水?(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)‎ ‎19.(本小题满分14分)‎ 如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,且∠PAB=∠PDC=90°.‎ A B C D E F P ‎(第19题图)‎ ‎(1)求证:AB⊥平面PAD;‎ ‎(2)若点E,F分别是棱PD,BC的中点,‎ 求证:EF∥平面PAB.‎ ‎20.(本小题满分14分)‎ ‎ 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=2,∠BAC=120°,AA1=3.‎ ‎(第20题图)‎ A C B D A1‎ C1‎ B1‎ ‎(1)点D在棱AA1上,且BD⊥A1C,求AD的长;‎ ‎(2)求二面角C-A1B1-B的大小.‎ ‎21.(本小题满分14分)‎ 在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F,离心率e=.过F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且△ABF的周长为12.‎ ‎(1)求椭圆C的方程; ‎ ‎(2)若点A位于第一象限,且AF1⊥AF2,求△ABF的外接圆的方程.‎ ‎22.(本小题满分16分)‎ 在平面直角坐标系xOy中,点A(-2,0),过动点P作直线x=-4的垂线,垂足为M ‎,且·=-4.记动点P的轨迹为曲线E.‎ ‎(1)求曲线E的方程;‎ ‎(2)过点A的直线l交曲线E于不同的两点B,C.‎ ‎ ① 若B为线段AC的中点,求直线l的方程;‎ ② 设B关于x轴的对称点为D,求△ACD面积S的取值范围.‎ 南京市2019-2020学年度第一学期期中调研测试 ‎ 高二数学参考答案 2019.11‎ 一、选择题:‎ ‎1.D 2.A 3.A 4.B 5.B 6.C 7.C 8.D 9.C 10.B ‎11.ABC 12.BCD 二、填空题:‎ ‎13.4;4 14. 15. 16.2 三、解答题: ‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 解:(1)因为12(acosC+ccosA)=13bcosB, ‎ 由正弦定理 == 得12(sinAcosC+sinCcosA)=13sinBcosB,……… 2分 因此12sin(A+C)=13sinBcosB. ……………………………… 4分 在△ABC中,A+B+C=π,所以12sin(π-B)=13sinBcosB,‎ 于是12sinB=13sinBcosB, ‎ 因为B∈(0,π),所以sinB>0,所以cosB=. ……………………………… 6分 ‎ ‎(2)由(1)知cosB=,sinB>0,所以sinB==. ……………… 8分 ‎ 因为△ABC的面积为5,即S△ABC=acsinB=5,‎ 所以ac=5,即ac=26. ………………………………… 10分 又因为a+c=15,‎ 所以 b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=(a+c)2-ac=152-×26=125,‎ 因此b=5. ………………………………… 12分 ‎18.(本小题满分12分)‎ 解:(1)根据表格(二),估计该家庭使用了节水龙头后,日用水量小于0.4m3的频数为 ‎2+5+11=18, ………………………… 2分 所以所求的概率约为 =0.6,‎ 即该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.4m3的概率的估计值为0.6. ………… 5分 ‎(2)该家庭未使用节水龙头30天日用水量的平均数为 =(2×0.25+3×0.35+8×0.45+12×0.55+5×0.65)=0.5; ……………… 8分 该家庭使用了节水龙头后30天日用水量的平均数为 =(2×0.15+5×0.25+11×0.35+6×0.45+6×0.55)=0.38; …………… 10分 -=0.5-0.38=0.12.‎ 因此,使用节水龙头后,平均每天能节省的水量估计为0.12 m3. ………… 12分 ‎19.(本小题满分14分)‎ 证明:(1)在四棱锥P-ABCD中,‎ 因为∠PAB=∠PDC=90°,所以AB⊥PA,DC⊥PD. …………………… 2分 又因为四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,所以AB∥DC,‎ 所以AB⊥PD. …………………………… 4分 因为PA∩PD=P,PA,PDÌ平面PAD,所以AB⊥平面PAD. …………… 6分 A B C D E F P ‎(第19题图)‎ G ‎(2)如图,取AD的中点G,连EG,GF.‎ 在△PAD中,因为E是棱PD的中点,‎ 所以EG∥PA.‎ 又EGË平面PAB,PAÌ平面PAB,‎ 所以EG∥平面PAB.…………… 8分 在平行四边形ABCD中,G,F分别是棱AD,BC的中点,‎ 所以AG=BF=BC,AG∥BF,所以四边形ABFG是平行四边形,‎ 所以 FG∥BA.‎ 又FGË平面PAB,ABÌ平面PAB,所以FG∥平面PAB. …………… 11分 因为EG∩FG=G,EG,FGÌ平面EFG,所以平面EFG∥平面PAB.‎ 又EFÌ平面EFG,所以EF∥平面PAB. ………………… 14分 ‎20.(本小题满分14分)‎ x y z ‎(第20题图)‎ A C B D A1‎ C1‎ B1‎ E 解:(1)如图,在△ABC中,过A作AB的垂线交BC于E.‎ 在直三棱锥ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,‎ 所以AA1⊥AB,AA1⊥AE.‎ 分别以AE,AB,AA1所在直线为x轴,y轴,z轴,‎ 建立空间直角坐标系A—xyz. …………………… 2分 因为AB=AC=2,∠BAC=120°,AA1=3,‎ 所以C(,-1,0),B(0,2,0),A1(0,0,3) ……………………… 4分 因为点D在棱AA1上,设D(0,0,a),则=(0,-2,a),=(,-1,-3).‎ 因为BD⊥A1C,所以2-3a=0,解得a=.‎ 所以AD=. ………………………… 6分 ‎(2)平面ABB1A1的一个法向量为n1=(1,0,0).‎ 又B1(0,2,3),所以 =(-,1,3),=(-,3,3).‎ 设平面A1B1C的一个法向量为n2=(x,y,z),‎ 由n2⊥,n2⊥,得所以y=0.‎ 取x=,则z=1,‎ 所以平面A1B1C的一个法向量为n2=(,0,1). ……………… 10分 ‎| n1|=1,| n2|=2,n1·n2=,‎ 所以cos<n1,n2>==, …………………… 12分 又<n1,n2>∈[0,π],从而<n1,n2>=.‎ 根据图形可知,二面角C-A1B1-B大小的为. ………………………14分 ‎21.(本小题满分14分)‎ 解:(1)因为椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,‎ 所以=. ① ‎ 又△ABF的周长为12,所以4a=12. ② ‎ 联立①②,解得a=3,c=5, 从而b2=a-c=20,‎ 因此椭圆C的方程为+=1. ……………………………… 4分 ‎(2)因为点A位于第一象限,故设A(x,y),其中x>0,y>0.‎ 因为AF1⊥AF2,所以·=0,又点A在椭圆C上,‎ 所以解得x12=9,从而x=3,y=4. ……………………… 7分 ‎ 由(1)知,椭圆C的左焦点为F(-5,0),所以直线l的方程为y=(x+5).‎ 由得5x2+18x-99=0,解得x=3或-.‎ 所以B(-,-). ……………………………… 11分 ‎ ‎ 因为∠FAF=90°,所以△ABF的外接圆就是以BF为直径的圆.‎ 又椭圆C的右焦点为F2(5,0),‎ 所以线段BF的中点M的坐标为(-,-),此时MF=,‎ ‎ 故△ABF的外接圆的方程为(x+)+(y+)=. ………………………… 14分 ‎ ‎22.(本小题满分16分)‎ 解:(1)设P(x,y),则M(-4,y).‎ 因为A(-2,0),所以=(-2,y),=(x+2,y),‎ ‎ 因为·=-4,所以-2x-4+y2=-4,即y2=2x.‎ ‎ 所以曲线E的方程为y2=2x. ………………………………… 3分 ‎(2)① 若直线l的斜率不存在,则l与曲线E无公共点,因此l的斜率存在; ‎ 若l的斜率为0,则l与曲线E只有一个公共点,因此l的斜率不为0.‎ 设l:y=k(x+2),k≠0,‎ ‎ 由得y2-y+4=0,于是∆=-16>0,解得-<k<且k≠0.‎ 设B(x1,y1),C(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=4. …………………… 7分 因为B为线段AC的中点,所以y2=2y1.‎ 又y1+y2=,所以y1=,y2=, ‎ 因此y1y2==4,所以k=±,符合-<k<且k≠0,‎ ‎ 于是k=±,此时直线l的方程为y=±(x+2). …………………… 9分 ‎ ② 因为点B,D关于x轴对称,所以D(x1,-y1),‎ 于是点D到直线l的距离为d=.‎ 因为y1=k(x1+2),所以d=. ………………………… 11分 又AC=|x2+2|,‎ 所以S=|x2+2|×=|(x2+2)y1|=|(+2)y1|.‎ 因为y1y2=4,y1+y2=,所以S=|2y2+2y1|=. ……………………… 14分 又因为-<k<且k≠0,因此S>8,‎ 即△ACD面积S的取值范围为(8,+∞). ………………………… 16分
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