2020年山东省德州市中考数学试卷(含解析）

2020年山东省德州市中考数学试卷(含解析）

‎2020年山东省德州市中考数学试卷 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．‎ ‎1．（4分）|﹣2020|的结果是（　　）‎ A．‎1‎‎2020‎ B．2020 C．‎-‎‎1‎‎2020‎ D．﹣2020‎ ‎2．（4分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（4分）下列运算正确的是（　　）‎ A．6a﹣5a＝1 B．a2•a3＝a5 ‎ C．（﹣2a）2＝﹣4a2 D．a6÷a2＝a3‎ ‎4．（4分）如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形．若由图1变化至图2，则三视图中没有发生变化的是（　　）‎ A．主视图 B．主视图和左视图 ‎ C．主视图和俯视图 D．左视图和俯视图 ‎5．（4分）为提升学生的自理和自立能力，李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况，调查结果如下表：‎ 一周做饭次数 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 人数 ‎7‎ ‎6‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎5‎ 那么一周内该班学生的平均做饭次数为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎6．（4分）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（　　）‎ 第28页（共28页）‎ A．80米 B．96米 C．64米 D．48米 ‎7．（4分）函数y‎=‎kx和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎8．（4分）下列命题：‎ ‎①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；‎ ‎②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；‎ ‎③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；‎ ‎④对角线相等的平行四边形是矩形．‎ 其中真命题的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎9．（4分）若关于x的不等式组‎2-x‎2‎‎＞‎‎2x-4‎‎3‎‎-3x＞-2x-a的解集是x＜2，则a的取值范围是（　　）‎ A．a≥2 B．a＜﹣2 C．a＞2 D．a≤2‎ ‎10．（4分）如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（　　）‎ 第28页（共28页）‎ A．24‎3‎‎-‎4π B．12‎3‎‎+‎4π C．24‎3‎‎+‎8π D．24‎3‎‎+‎4π ‎11．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（　　）‎ A．若（﹣2，y1），（5，y2）是图象上的两点，则y1＞y2 ‎ B．3a+c＝0 ‎ C．方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根 ‎ D．当x≥0时，y随x的增大而减小 ‎12．（4分）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（　　）‎ A．148 B．152 C．174 D．202‎ 二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．‎ ‎13．（4分）‎27‎‎-‎3‎=‎　 　．‎ ‎14．（4分）若一个圆锥的底面半径是2cm，母线长是6cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是　 　度．‎ ‎15．（4分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣2，1），以原点O为位似中心，把线 第28页（共28页）‎ 段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为A′．若点A'恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数解析式为　 　．‎ ‎16．（4分）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的周长为　 　．‎ ‎17．（4分）如图，在4×4的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意1个白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是　 　．‎ ‎18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB‎=‎3‎+‎2，AD‎=‎‎3‎．把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，再将△AED′绕点E顺时针旋转α，得到△A'ED″，使得EA′恰好经过BD′的中点F．A′D″交AB于点G，连接AA′．有如下结论：①A′F的长度是‎6‎‎-‎2；②弧D'D″的长度是‎5‎‎3‎‎12‎π；③△A′AF≌△A′EG；④△AA′F∽△EGF．上述结论中，所有正确的序号是　 　．‎ 三、解答题：本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎19．（8分）先化简：（x-1‎x-2‎‎-‎x+2‎x）‎÷‎‎4-xx‎2‎‎-4x+4‎，然后选择一个合适的x值代入求值．‎ ‎20．（10分）某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图．部分信息如下：‎ 第28页（共28页）‎ ‎（1）本次比赛参赛选手共有　 　人，扇形统计图中“79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为　 　；‎ ‎（2）补全图2频数直方图；‎ ‎（3）赛前规定，成绩由高到低前40%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖，并说明理由；‎ ‎（4）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，试求恰好选中1男1女为主持人的概率．‎ ‎21．（10分）如图，无人机在离地面60米的C处，观测楼房顶部B的俯角为30°，观测楼房底部A的俯角为60°，求楼房的高度．‎ ‎22．（12分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H．‎ ‎（1）求证：直线DH是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的长．‎ 第28页（共28页）‎ ‎23．（12分）小刚去超市购买画笔，第一次花60元买了若干支A型画笔，第二次超市推荐了B型画笔，但B型画笔比A型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的B型画笔．‎ ‎（1）超市B型画笔单价多少元？‎ ‎（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用B型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过20支，则每支B型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折．设小刚购买的B型画笔x支，购买费用为y元，请写出y关于x的函数关系式．‎ ‎（3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买多少支B型画笔？‎ ‎24．（12分）问题探究：‎ 小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．‎ 请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是：　 　；‎ ‎（2）AD的取值范围是　 　；‎ 方法运用：‎ ‎（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC．‎ ‎（4）如图3，在矩形ABCD中，ABBC‎=‎‎1‎‎2‎，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且EFBE‎=‎‎1‎‎2‎，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG．‎ 第28页（共28页）‎ ‎25．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，﹣2），在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于‎1‎‎2‎AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题．‎ 探究：‎ ‎（1）线段PA与PM的数量关系为　 　，其理由为：　 　．‎ ‎（2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：‎ M的坐标 ‎…‎ ‎（﹣2，0）‎ ‎ （0，0）‎ ‎ （2，0）‎ ‎ （4，0）‎ ‎…‎ P的坐标 ‎…‎ ‎　 　‎ ‎ （0，﹣1）‎ ‎ （2，﹣2）‎ ‎　 　‎ ‎…‎ 猜想：‎ ‎（3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是　 　．‎ 验证：‎ ‎（4）设点P的坐标是（x，y），根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．‎ 应用：‎ ‎（5）如图3，点B（﹣1，‎3‎），C（1，‎3‎），点D为曲线L上任意一点，且∠BDC＜30°，求点D的纵坐标yD的取值范围．‎ 第28页（共28页）‎ 第28页（共28页）‎ ‎2020年山东省德州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．‎ ‎1．（4分）|﹣2020|的结果是（　　）‎ A．‎1‎‎2020‎ B．2020 C．‎-‎‎1‎‎2020‎ D．﹣2020‎ ‎【解答】解：|﹣2020|＝2020；‎ 故选：B．‎ ‎2．（4分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项不合题意；‎ B、是中心对称图形但不是轴对称图形．故此选项符合题意；‎ C、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故此选项不合题意；‎ D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项不合题意．‎ 故选：B．‎ ‎3．（4分）下列运算正确的是（　　）‎ A．6a﹣5a＝1 B．a2•a3＝a5 ‎ C．（﹣2a）2＝﹣4a2 D．a6÷a2＝a3‎ ‎【解答】解：6a﹣5a＝a，因此选项A不符合题意；‎ a2•a3＝a5，因此选项B符合题意；‎ ‎（﹣2a）2＝4a2，因此选项C不符合题意；‎ a6÷a2＝a6﹣2＝a4，因此选项D不符合题意；‎ 故选：B．‎ ‎4．（4分）如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形．若由图1变化至图2，则三视图中没有发生变化的是（　　）‎ 第28页（共28页）‎ A．主视图 B．主视图和左视图 ‎ C．主视图和俯视图 D．左视图和俯视图 ‎【解答】解：图1主视图第一层三个正方形，第二层左边一个正方形；图2主视图第一层三个正方形，第二层右边一个正方形；故主视图发生变化；‎ 左视图都是第一层两个正方形，第二层左边一个正方形，故左视图不变；‎ 俯视图都是底层左边是一个正方形，上层是三个正方形，故俯视图不变．‎ ‎∴不改变的是左视图和俯视图．‎ 故选：D．‎ ‎5．（4分）为提升学生的自理和自立能力，李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况，调查结果如下表：‎ 一周做饭次数 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 人数 ‎7‎ ‎6‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎5‎ 那么一周内该班学生的平均做饭次数为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【解答】解：x‎=‎4×7+5×6+6×12+7×10+8×5‎‎7+6+12+10+5‎=‎6（次），‎ 故选：C．‎ ‎6．（4分）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（　　）‎ A．80米 B．96米 C．64米 D．48米 ‎【解答】解：根据题意可知，他需要转360÷45＝8次才会回到原点，‎ 所以一共走了8×8＝64（米）．‎ 第28页（共28页）‎ 故选：C．‎ ‎7．（4分）函数y‎=‎kx和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：在函数y‎=‎kx和y＝﹣kx+2（k≠0）中，‎ 当k＞0时，函数y‎=‎kx的图象在第一、三象限，函数y＝﹣kx+2的图象在第一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确，‎ 当k＜0时，函数y‎=‎kx的图象在第二、四象限，函数y＝﹣kx+2的图象在第一、二、三象限，故选项C错误，‎ 故选：D．‎ ‎8．（4分）下列命题：‎ ‎①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；‎ ‎②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；‎ ‎③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；‎ ‎④对角线相等的平行四边形是矩形．‎ 其中真命题的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【解答】解：①一组对边平行且这组对边相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题；‎ ‎②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题；‎ ‎③一个角为90°且一组邻边相等的平行四边形是正方形，原命题是假命题；‎ ‎④对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题；‎ 故选：B．‎ 第28页（共28页）‎ ‎9．（4分）若关于x的不等式组‎2-x‎2‎‎＞‎‎2x-4‎‎3‎‎-3x＞-2x-a的解集是x＜2，则a的取值范围是（　　）‎ A．a≥2 B．a＜﹣2 C．a＞2 D．a≤2‎ ‎【解答】解：解不等式组‎2-x‎2‎‎＞‎2x-4‎‎3‎①‎‎-3x＞-2x-a②‎，‎ 由①可得：x＜2，‎ 由②可得：x＜a，‎ 因为关于x的不等式组‎2-x‎2‎‎＞‎‎2x-4‎‎3‎‎-3x＞-2x-a的解集是x＜2，‎ 所以，a≥2，‎ 故选：A．‎ ‎10．（4分）如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（　　）‎ A．24‎3‎‎-‎4π B．12‎3‎‎+‎4π C．24‎3‎‎+‎8π D．24‎3‎‎+‎4π ‎【解答】解：设正六边形的中心为O，连接OA，OB．‎ 由题意，OA＝OB＝AB＝4，‎ ‎∴S弓形AmB＝S扇形OAB﹣S△AOB‎=‎60⋅π⋅‎‎4‎‎2‎‎360‎-‎3‎‎4‎×‎42‎=‎‎8‎‎3‎π﹣4‎3‎，‎ ‎∴S阴＝6•（S半圆﹣S弓形AmB）＝6•（‎1‎‎2‎•π•22‎-‎‎8‎‎3‎π+4‎3‎）＝24‎3‎‎-‎4π，‎ 第28页（共28页）‎ 故选：A．‎ ‎11．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（　　）‎ A．若（﹣2，y1），（5，y2）是图象上的两点，则y1＞y2 ‎ B．3a+c＝0 ‎ C．方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根 ‎ D．当x≥0时，y随x的增大而减小 ‎【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，a＜0，‎ ‎∴点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点为（3，0），‎ 则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），点（﹣2，y1）与（4，y1）是对称点，‎ ‎∵当x＞1时，函数y随x增大而减小，‎ 故A选项不符合题意；‎ 把点（﹣1，0），（3，0）代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝0①，9a+3b+c＝0②，‎ ‎①×3+②得：12a+4c＝0，‎ ‎∴3a+c＝0，‎ 故B选项不符合题意；‎ 当y＝﹣2时，y＝ax2+bx+c＝﹣2，‎ 由图象得：纵坐标为﹣2的点有2个，‎ ‎∴方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根，‎ 故C选项不符合题意；‎ ‎∵二次函数图象的对称轴为x＝1，a＜0，‎ ‎∴当x≤1时，y随x的增大而增大；‎ 当x≥1时，y随x的增大而减小；‎ 故D选项符合题意；‎ 故选：D．‎ ‎12．（4分）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图 第28页（共28页）‎ 案需要黑色棋子的个数为（　　）‎ A．148 B．152 C．174 D．202‎ ‎【解答】解：根据图形，第1个图案有12枚棋子，‎ 第2个图案有22枚棋子，‎ 第3个图案有34枚棋子，‎ ‎…‎ 第n个图案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，‎ 故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．‎ 故选：C．‎ 二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．‎ ‎13．（4分）‎27‎‎-‎3‎=‎　‎2‎‎3‎　．‎ ‎【解答】解：原式＝3‎3‎‎-‎3‎=‎2‎3‎．‎ 故答案为：2‎3‎．‎ ‎14．（4分）若一个圆锥的底面半径是2cm，母线长是6cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是　120　度．‎ ‎【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2＝4π（cm），‎ 设圆心角的度数是n度．则nπ×6‎‎180‎‎=‎4π，‎ 解得：n＝120．‎ 故答案为：120．‎ ‎15．（4分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣2，1），以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为A′．若点A'恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数解析式为　y‎=‎‎-8‎x　．‎ ‎【解答】解：∵点A的坐标是（﹣2，1），以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来 第28页（共28页）‎ 的2倍，点A的对应点为A′，‎ ‎∴A′坐标为：（﹣4，2）或（4，﹣2），‎ ‎∵A'恰在某一反比例函数图象上，‎ ‎∴该反比例函数解析式为：y‎=‎‎-8‎x．‎ 故答案为：y‎=‎‎-8‎x．‎ ‎16．（4分）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的周长为　20　．‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB＝BC＝CD＝AD，‎ ‎∵x2﹣9x+20＝0，‎ 因式分解得：（x﹣4）（x﹣5）＝0，‎ 解得：x＝4或x＝5，‎ 分两种情况：‎ ‎①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；‎ ‎②当AB＝AD＝5时，5+5＞8，‎ ‎∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20．‎ 故答案为：20．‎ ‎17．（4分）如图，在4×4的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意1个白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是　‎1‎‎6‎　．‎ 第28页（共28页）‎ ‎【解答】解：如图所示：当分别将1，2位置涂黑，构成的黑色部分图形是轴对称图形，‎ 故新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是：‎2‎‎12‎‎=‎‎1‎‎6‎．‎ 故答案为：‎1‎‎6‎．‎ ‎18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB‎=‎3‎+‎2，AD‎=‎‎3‎．把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，再将△AED′绕点E顺时针旋转α，得到△A'ED″，使得EA′恰好经过BD′的中点F．A′D″交AB于点G，连接AA′．有如下结论：①A′F的长度是‎6‎‎-‎2；②弧D'D″的长度是‎5‎‎3‎‎12‎π；③△A′AF≌△A′EG；④△AA′F∽△EGF．上述结论中，所有正确的序号是　①②④　．‎ ‎【解答】解：∵把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，‎ ‎∴∠D＝∠AD'E＝90°＝∠DAD'，AD＝AD'，‎ ‎∴四边形ADED'是矩形，‎ 又∵AD＝AD'‎=‎‎3‎，‎ ‎∴四边形ADED'是正方形，‎ ‎∴AD＝AD'＝D'E＝DE‎=‎‎3‎，AE‎=‎‎2‎AD‎=‎‎6‎，∠EAD'＝∠AED'＝45°，‎ ‎∴D'B＝AB﹣AD'＝2，‎ ‎∵点F是BD'中点，‎ ‎∴D'F＝1，‎ ‎∴EF‎=D'E‎2‎+D'F‎2‎=‎3+1‎=‎2，‎ ‎∵将△AED′绕点E顺时针旋转α，‎ 第28页（共28页）‎ ‎∴AE＝A'E‎=‎‎6‎，∠D'ED''＝α，∠EA'D''＝∠EAD'＝45°，‎ ‎∴A'F‎=‎6‎-‎2，故①正确；‎ ‎∵tan∠FED'‎=D'FD'E=‎1‎‎3‎=‎‎3‎‎3‎，‎ ‎∴∠FED'＝30°‎ ‎∴α＝30°+45°＝75°，‎ ‎∴弧D'D″的长度‎=‎75°×π×‎‎3‎‎180°‎=‎‎5‎‎3‎‎12‎π，故②正确；‎ ‎∵AE＝A'E，∠AEA'＝75°，‎ ‎∴∠EAA'＝∠EA'A＝52.5°，‎ ‎∴∠A'AF＝7.5°，‎ ‎∵∠AA'F≠∠EA'G，∠AA'E≠∠EA'G，∠AFA'＝120°≠∠EA'G，‎ ‎∴△AA'F与△A'GE不全等，故③错误；‎ ‎∵D'E＝D''E，EG＝EG，‎ ‎∴Rt△ED'G≌Rt△ED''G（HL），‎ ‎∴∠D'GE＝∠D''GE，‎ ‎∵∠AGD''＝∠A'AG+∠AA'G＝105°，‎ ‎∴∠D'GE＝52.5°＝∠AA'F，‎ 又∵∠AFA'＝∠EFG，‎ ‎∴△AFA'∽△EFG，故④正确，‎ 故答案为：①②④．‎ 三、解答题：本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎19．（8分）先化简：（x-1‎x-2‎‎-‎x+2‎x）‎÷‎‎4-xx‎2‎‎-4x+4‎，然后选择一个合适的x值代入求值．‎ ‎【解答】解：‎‎(x-1‎x-2‎-x+2‎x)÷‎‎4-xx‎2‎‎-4x+4‎ ‎=[x(x-1)‎x(x-2)‎-‎(x-2)(x+2)‎x(x-2)‎]×‎‎(x-2‎‎)‎‎2‎‎4-x‎ ‎ ‎=‎4-xx(x-2)‎⋅‎‎(x-2‎‎)‎‎2‎‎4-x‎ ‎ ‎=‎x-2‎x‎，‎ 第28页（共28页）‎ 把x＝1代入x-2‎x‎=‎1-2‎x=-1‎．‎ ‎20．（10分）某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图．部分信息如下：‎ ‎（1）本次比赛参赛选手共有　50　人，扇形统计图中“79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为　36%　；‎ ‎（2）补全图2频数直方图；‎ ‎（3）赛前规定，成绩由高到低前40%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖，并说明理由；‎ ‎（4）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，试求恰好选中1男1女为主持人的概率．‎ ‎【解答】解：（1）本次比赛参赛选手共有：（8+4）÷24%＝50（人），‎ ‎“59.5～69.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为‎2+3‎‎50‎‎×‎100%＝10%，‎ ‎∴79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为100%﹣24%﹣10%﹣30%＝36%；‎ 故答案为：50，36%；‎ ‎（2）∵“69.5～79.5”这一范围的人数为50×30%＝15（人），‎ ‎∴“69.5～74.5”这一范围的人数为15﹣8＝7（人），‎ ‎∵“79.5～89.5”这一范围的人数为50×36%＝18（人），‎ ‎∴“79.5～84.5”这一范围的人数为18﹣8＝10（人）；‎ 补全图2频数直方图：‎ 第28页（共28页）‎ ‎（3）能获奖．理由如下：‎ ‎∵本次比赛参赛选手50人，‎ ‎∴成绩由高到低前40%的参赛选手人数为50×40%＝20（人），‎ 又∵88＞84.5，‎ ‎∴能获奖；‎ ‎（4）画树状图为：‎ 共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为8，‎ 所以恰好选中1男1女的概率‎=‎8‎‎12‎=‎‎2‎‎3‎．‎ ‎21．（10分）如图，无人机在离地面60米的C处，观测楼房顶部B的俯角为30°，观测楼房底部A的俯角为60°，求楼房的高度．‎ ‎【解答】解：过B作BE⊥CD交CD于E，‎ 由题意得，∠CBE＝30°，∠CAD＝60°，‎ 第28页（共28页）‎ 在Rt△ACD中，tan∠CAD＝tan60°‎=CDAD=‎‎3‎，‎ ‎∴AD‎=‎60‎‎3‎=‎20‎3‎，‎ ‎∴BE＝AD＝20‎3‎，‎ 在Rt△BCE中，tan∠CBE＝tan30°‎=CEBE=‎‎3‎‎3‎，‎ ‎∴CE＝20‎3‎‎×‎3‎‎3‎=‎20，‎ ‎∴ED＝CD﹣CE＝60﹣20＝40，‎ ‎∴AB＝ED＝40（米），‎ 答：楼房的高度为40米．‎ ‎22．（12分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H．‎ ‎（1）求证：直线DH是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的长．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OD，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，点D是半圆AB的中点，‎ ‎∴∠AOD‎=‎1‎‎2‎∠‎AOB＝90°，‎ ‎∵DH∥AB，‎ 第28页（共28页）‎ ‎∴∠ODH＝90°，‎ ‎∴OD⊥DH，‎ ‎∴直线DH是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：连接CD，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB＝∠ACB＝90°，‎ ‎∵点D是半圆AB的中点，‎ ‎∴AD‎=‎DB，‎ ‎∴AD＝DB，‎ ‎∴△ABD是等腰直角三角形，‎ ‎∵AB＝10，‎ ‎∴AD＝10sin∠ABD＝10sin45°＝10‎×‎2‎‎2‎=‎5‎2‎，‎ ‎∵AB＝10，BC＝6，‎ ‎∴AC‎=‎1‎0‎‎2‎-‎‎6‎‎2‎=‎8，‎ ‎∵四边形ABCD是圆内接四边形，‎ ‎∴∠CAD+∠CBD＝180°，‎ ‎∵∠DBH+∠CBD＝180°，‎ ‎∴∠CAD＝∠DBH，‎ 由（1）知∠AOD＝90°，∠OBD＝45°，‎ ‎∴∠ACD＝45°，‎ ‎∵DH∥AB，‎ ‎∴∠BDH＝∠OBD＝45°，‎ ‎∴∠ACD＝∠BDH，‎ ‎∴△ACD∽△BDH，‎ ‎∴ACBD‎=‎ADBH，‎ ‎∴‎8‎‎5‎‎2‎‎=‎‎5‎‎2‎BH，‎ 解得：BH‎=‎‎25‎‎4‎．‎ 第28页（共28页）‎ ‎23．（12分）小刚去超市购买画笔，第一次花60元买了若干支A型画笔，第二次超市推荐了B型画笔，但B型画笔比A型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的B型画笔．‎ ‎（1）超市B型画笔单价多少元？‎ ‎（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用B型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过20支，则每支B型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折．设小刚购买的B型画笔x支，购买费用为y元，请写出y关于x的函数关系式．‎ ‎（3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买多少支B型画笔？‎ ‎【解答】解：（1）设超市B型画笔单价为a元，则A型画笔单价为（a﹣2）元．‎ 根据题意得，‎60‎a-2‎‎=‎‎100‎a，‎ 解得a＝5．‎ 经检验，a＝5是原方程的解．‎ 答：超市B型画笔单价为5元；‎ ‎（2）由题意知，‎ 当小刚购买的B型画笔支数x≤20时，费用为y＝0.9×5x＝4.5x，‎ 当小刚购买的B型画笔支数x＞20时，费用为y＝0.9×5×20+0.8×5（x﹣20）＝4x+10．‎ 所以，y关于x的函数关系式为y‎=‎‎4.5x(1≤x≤20)‎‎4x+10(x＞20)‎（其中x是正整数）；‎ ‎（3）当4.5x＝270时，解得x＝60，‎ ‎∵60＞20，‎ 第28页（共28页）‎ ‎∴x＝60不合题意，舍去；‎ 当4x+10＝270时，解得x＝65，符合题意．‎ 答：若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买65支B型画笔．‎ ‎24．（12分）问题探究：‎ 小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．‎ 请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是：　SAS　；‎ ‎（2）AD的取值范围是　1＜AD＜5　；‎ 方法运用：‎ ‎（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC．‎ ‎（4）如图3，在矩形ABCD中，ABBC‎=‎‎1‎‎2‎，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且EFBE‎=‎‎1‎‎2‎，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG．‎ ‎【解答】解：（1）∵AD是中线，‎ ‎∴BD＝CD，‎ 又∵∠ADC＝∠BDE，AD＝DE，‎ ‎∴△BED≌△CAD（SAS），‎ 故答案为：SAS；‎ ‎（2）∵△BED≌△CAD，‎ ‎∴AC＝BE＝4，‎ 在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，‎ ‎∴2＜2AD＜10，‎ ‎∴1＜AD＜5，‎ 第28页（共28页）‎ 故答案为：1＜AD＜5；‎ ‎（3）如图2，延长AD至H，使AD＝DH，连接BH，‎ ‎∵AD是△ABC的中线，‎ ‎∴BD＝CD，‎ 又∵∠ADC＝∠BDH，AD＝DH，‎ ‎∴△ADC≌△HDB（SAS），‎ ‎∴AC＝BH，∠CAD＝∠H，‎ ‎∵AE＝EF，‎ ‎∴∠EAF＝∠AFE，‎ ‎∴∠H＝∠BFH，‎ ‎∴BF＝BH，‎ ‎∴AC＝BF；‎ ‎（4）如图3，延长CG至N，使NG＝CG，连接EN，CE，NF，‎ ‎∵点G是DF的中点，‎ ‎∴DG＝GF，‎ 又∵∠NGF＝∠DGC，CG＝NG，‎ ‎∴△NGF≌△CGD（SAS），‎ ‎∴CD＝NF，∠CDB＝∠NFG，‎ 第28页（共28页）‎ ‎∵ABAD‎=ABBC=‎‎1‎‎2‎，EFBE‎=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴tan∠ADB‎=‎‎1‎‎2‎，tan∠EBF‎=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴∠ADB＝∠EBF，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ADB＝∠DBC，‎ ‎∴∠EBF＝∠DBC，‎ ‎∴∠EBC＝2∠DBC，‎ ‎∵∠EBF+∠EFB＝90°，∠DBC+∠BDC＝90°，‎ ‎∴∠EFB＝∠BDC＝∠NFG，∠EBF+∠EFB+∠DBC+∠BDC＝180°，‎ ‎∴2∠DBC+∠EFB+∠NFG＝180°，‎ 又∵∠NFG+∠BFE+∠EFN＝180°，‎ ‎∴∠EFN＝2∠DBC，‎ ‎∴∠EBC＝∠EFN，‎ ‎∵ABBC‎=CDBC=‎1‎‎2‎=‎EFBE，且CD＝NF，‎ ‎∴‎BEBC‎=‎EFNF ‎∴△BEC∽△FEN，‎ ‎∴∠BEC＝∠FEN，‎ ‎∴∠BEF＝∠NEC＝90°，‎ 又∵CG＝NG，‎ ‎∴EG‎=‎‎1‎‎2‎NC，‎ ‎∴EG＝GC．‎ ‎25．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，﹣2），在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于‎1‎‎2‎AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题．‎ 探究：‎ ‎（1）线段PA与PM的数量关系为　PA＝PM　，其理由为：　线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等　．‎ 第28页（共28页）‎ ‎（2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：‎ M的坐标 ‎…‎ ‎（﹣2，0）‎ ‎ （0，0）‎ ‎ （2，0）‎ ‎ （4，0）‎ ‎…‎ P的坐标 ‎…‎ ‎　（﹣2，﹣2）　‎ ‎ （0，﹣1）‎ ‎ （2，﹣2）‎ ‎　（4，﹣5）　‎ ‎…‎ 猜想：‎ ‎（3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是　抛物线　．‎ 验证：‎ ‎（4）设点P的坐标是（x，y），根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．‎ 应用：‎ ‎（5）如图3，点B（﹣1，‎3‎），C（1，‎3‎），点D为曲线L上任意一点，且∠BDC＜30°，求点D的纵坐标yD的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵分别以点A和点M为圆心，大于‎1‎‎2‎AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，‎ ‎∴GH是AM的垂直平分线，‎ ‎∵点P是GH上一点，‎ ‎∴PA＝PM（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等），‎ 故答案为：PA＝PM，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；‎ ‎（2）当点M（﹣2，0）时，设点P（﹣2，a），（a＜0）‎ ‎∵PA＝PM，‎ 第28页（共28页）‎ ‎∴﹣a‎=‎‎(-2-0)‎2‎+(a+2)‎‎2‎，‎ ‎∴a＝﹣2，‎ ‎∴点P（﹣2，﹣2），‎ 当点M（4，0）时，设点P（4，b），（b＜0）‎ ‎∵PA＝PM，‎ ‎∴﹣b‎=‎‎(4-0)‎2‎+(b+2)‎‎2‎，‎ ‎∴b＝﹣5，‎ ‎∴点P（4，﹣5），‎ 故答案为：（﹣2，﹣2），（4，﹣5）；‎ ‎（3）依照题意，画出图象，‎ 猜想曲线L的形状为抛物线，‎ 故答案为：抛物线；‎ ‎（4）∵PA＝PM，点P的坐标是（x，y），（y＜0），‎ ‎∴﹣y‎=‎‎(x-0)‎2‎+(y+2)‎‎2‎，‎ ‎∴y‎=-‎‎1‎‎4‎x2﹣1；‎ ‎（5）∵点B（﹣1，‎3‎），C（1，‎3‎），‎ ‎∴BC＝2，OB‎=‎(-1-0‎)‎‎2‎+(‎3‎-0)‎‎2‎=‎2，OC‎=‎(1-0)‎2‎+(‎3‎-0)‎‎2‎=‎2，‎ ‎∴BC＝OB＝OC，‎ ‎∴△BOC是等边三角形，‎ ‎∴∠BOC＝60°，‎ 如图3，以O为圆心，OB为半径作圆O，交抛物线L与点E，连接BE，CE，‎ 第28页（共28页）‎ ‎∴∠BEC＝30°，‎ 设点E（m，n），‎ ‎∵点E在抛物线上，‎ ‎∴n‎=-‎‎1‎‎4‎m2﹣1，‎ ‎∵OE＝OB＝2，‎ ‎∴‎(m-0)‎2‎+(n-0‎‎)‎‎2‎‎=‎2，‎ ‎∴n1＝2﹣2‎3‎，n2＝2+2‎3‎（舍去），‎ 如图3，可知当点D在点E下方时，∠BDC＜30°，‎ ‎∴点D的纵坐标yD的取值范围为yD＜2﹣2‎3‎．‎ 第28页（共28页）‎