高考文科数学专题复习练习3平面向量的线性运算及几何意义

高考文科数学专题复习练习3平面向量的线性运算及几何意义

‎65‎ 平面向量的线性运算及几何意义 ‎7.(2015辽宁锦州二模,文7,平面向量的线性运算及几何意义,选择题)已知向量AB与AC的夹角为120°,且|AB|=2,|AC|=3,若AP=λAB‎+‎AC,且AP‎⊥‎BC,则实数λ的值为(　　)‎ A.‎3‎‎7‎ B.13 C.6 D.‎‎12‎‎7‎ 解析:∵AP=λAB‎+‎AC,且AP‎⊥‎BC,‎ ‎∴AP‎·‎BC=(λAB‎+‎AC)·(AC‎-‎AB)=AC‎2‎-λAB‎2‎+(λ-1)AB‎·‎AC=0.‎ 又向量AB与AC的夹角为120°,且|AB|=2,|AC|=3,‎ ‎∴AB‎·‎AC=|AB||AC|cos 120°=2×3×‎-‎‎1‎‎2‎=-3.‎ ‎∴32-λ·22+(λ-1)×(-3)=0,解得λ=‎12‎‎7‎.‎ 答案:D ‎67‎ 平面向量基本定理的应用 ‎5.(2015河南商丘二模,文5,平面向量基本定理的应用,选择题)如图,在△ABC中,已知BC=3DC,则AD=(　　)‎ A.‎‎2‎‎3‎AB‎+‎‎1‎‎3‎AC B.‎‎2‎‎3‎AB‎-‎‎1‎‎3‎AC C.‎‎1‎‎3‎AB‎+‎‎2‎‎3‎AC D.‎‎1‎‎3‎AB‎-‎‎2‎‎3‎AC 解析:∵BC‎=AC-AB,DC=AC-‎AD,‎ ‎∴由已知BC=3DC,得AC‎-‎AB=3(AC‎-‎AD),‎ 化简AD‎=‎1‎‎3‎AB+‎‎2‎‎3‎AC.‎ 答案:C ‎68‎ 平面向量的坐标运算 ‎6.(2015辽宁大连二模,文6,平面向量的坐标运算,选择题)在△ABC中,D为BC边的中点,若BC=(2,0),AC=(1,4),则AD=(　　)‎ A.(-2,-4) B.(0,-4)‎ C.(2,4) D.(0,4)‎ 解析:AD‎=AC-DC=AC-‎‎1‎‎2‎BC=(1,4)-‎1‎‎2‎(2,0)=(1,4)-(1,0)=(0,4).‎ 答案:D ‎8.(2015宁夏银川一中二模,文8,平面向量的坐标运算,选择题)已知向量OA=(4,6),OB=(3,5),且OC‎⊥OA,AC∥‎OB,则向量OC等于(　　)‎ A.‎-‎3‎‎7‎,‎‎2‎‎7‎ B.‎‎-‎2‎‎7‎,‎‎4‎‎21‎ C.‎3‎‎7‎‎,-‎‎2‎‎7‎ D.‎‎2‎‎7‎‎,-‎‎4‎‎21‎ 解析:设C(x,y),OC‎⊥‎OA⇒4x+6y=0,‎ AC‎∥‎OB‎⇒5(x-4)-3(y-6)=0,‎ 联立解得D‎2‎‎7‎‎,-‎‎4‎‎21‎.‎ 答案:D ‎70‎ 平面向量数量积的运算 ‎3.(2015辽宁锦州一模,文3,平面向量数量积的运算,选择题)已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),点P在x轴上,则AP‎·‎BP取最小值时P点坐标是(　　)‎ A.(-3,0) B.(1,0)‎ C.(2,0) D.(3,0)‎ 解析:设P(a,0),向量OA=(2,2),OB=(4,1),‎ 则AP‎·‎BP=(a-2,-2)·(a-4,-1)=a2-6a+10=(a-3)2+1≤1,‎ 当a=3时,取得最小值.所以P点坐标是(3,0).‎ 答案:D ‎10.(2015辽宁沈阳一模,文10,平面向量数量积的运算,选择题)在△ABC中,若|AB‎+‎AC|=|AB‎-‎AC|,AB=2,AC=1,E,F为BC边的三等分点,则AE‎·‎AF=(　　)‎ A.‎8‎‎9‎ B.‎10‎‎9‎ C.‎25‎‎9‎ D.‎‎26‎‎9‎ 解析:若|AB‎+‎AC|=|AB‎-‎AC|,‎ 则AB‎2‎‎+‎AC‎2‎+2AB‎·AC=AB‎2‎+‎AC‎2‎-2AB‎·‎AC,‎ 即有AB‎·‎AC=0.‎ 又E,F为BC边的三等分点,‎ 则AE‎·‎AF=(AC‎+‎CE)·(AB‎+‎BF)=‎AC‎+‎‎1‎‎3‎CB‎·‎AB‎+‎‎1‎‎3‎BC ‎=‎‎2‎‎3‎AC‎+‎‎1‎‎3‎AB‎·‎‎1‎‎3‎AC‎+‎‎2‎‎3‎AB ‎=‎‎2‎‎9‎AC‎2‎‎+‎2‎‎9‎AB‎2‎+‎5‎‎9‎AB·‎AC ‎=‎2‎‎9‎×(1+4)+0=‎10‎‎9‎.‎ 答案:B ‎16.(2015辽宁沈阳四校联考,文16,平面向量数量积的运算,填空题)在△AOB中,G为△AOB的重心(三角形中三边上中线的交点叫重心),且∠AOB=60°.若OA‎·‎OB=6,则|OG|的最小值是　　　　　. ‎ 解析:设AB的中点为C,则点G在OC上,‎ 且OG‎=‎2‎‎3‎OC=‎2‎‎3‎·OA‎+‎OB‎2‎=‎1‎‎3‎(OA+‎OB),‎ ‎∵OA‎·‎OB=|OA|·|OB|·cos 60°=6,‎ ‎∴|OA|·|OB|=12.‎ ‎∴|OG|=‎1‎‎3‎(|OA‎+‎OB|)=‎‎1‎‎3‎‎(OA+‎OB‎)‎‎2‎‎　‎ ‎=‎‎1‎‎3‎OA‎2‎‎+OB‎2‎+2OA·‎OB‎　‎ ‎=‎‎1‎‎3‎‎|OA‎|‎‎2‎+|OB‎|‎‎2‎+12‎‎　‎ ‎≥‎1‎‎3‎‎2|OA|·|OB|+12‎‎　‎‎=‎1‎‎3‎×‎‎2×12+12‎=2,‎ 当且仅当|OA|=|OB|时,等号成立,故|OG|的最小值是2.‎ 答案:2‎ ‎5.(2015辽宁重点中学协作体模拟,文5,平面向量数量积的运算,选择题)已知平面向量a与b的夹角为120°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=(　　)‎ A.2 B.2‎3‎ C.4 D.12‎ 解析:∵|a+2b|=‎‎(a+2b‎)‎‎2‎‎=‎a‎2‎‎+4a·b+4‎b‎2‎ ‎=‎‎|a‎|‎‎2‎+4|a||b|cos+4|b‎|‎‎2‎ ‎=‎2‎‎2‎‎+4×2×1×cos120°+4×1‎=2.‎ 答案:A ‎3.(2015河南开封二模,文3,平面向量数量积的运算,选择题)若向量a=(1,2),b=(-3,4),则(a·b)·(a+b)等于(　　)‎ A.20 B.(-10,30)‎ C.54 D.(-8,24)‎ 解析:∵a·b=1×(-3)+2×4=5,‎ a+b=(1,2)+(-3,4)=(-2,6),‎ ‎∴(a·b)·(a+b)=5(-2,6)=(-10,30).‎ 答案:B ‎16.(2015河南开封二模,文16,平面向量数量积的运算,填空题)已知a,b是单位向量,a·b=0,若向量c与向量a,b共面,且满足|a-b-c|=1,则|c|的取值范围是　　　　　　　　　　　. ‎ 解析:由a,b是单位向量,a·b=0,‎ 可设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),‎ ‎∵向量c满足|c-a+b|=1,‎ ‎∴|(x-1,y+1)|=1.‎ ‎∴‎(x-1‎)‎‎2‎+(y+1‎‎)‎‎2‎=1,‎ 即(x-1)2+(y+1)2=1.‎ 其圆心C(1,-1),半径r=1.‎ ‎∴|OC|=‎2‎.∴‎2‎-1≤|c|=x‎2‎‎+‎y‎2‎‎≤‎‎2‎+1.‎ ‎∴|c|的取值范围是[‎2‎-1,‎2‎+1].‎ 答案:[‎2‎-1,‎2‎+1]‎ ‎16.(2015河南洛阳二模,文16,平面向量数量积的运算,解答题)在△ABC中,已知sin(A+B)=sin B+sin(A-B).‎ ‎(1)求∠A;‎ ‎(2)若AB‎·‎AC=20,求|BC|的最小值.‎ 解:(1)原式可化为:sin B=sin(A+B)-sin(A-B)‎ ‎=sin Acos B+cos Asin B-sin Acos B+cos Asin B ‎=2cos Asin B,‎ ‎∵B∈(0,π),∴sin B>0.‎ ‎∴cos A=‎1‎‎2‎.∴∠A=60°.‎ ‎(2)∵AB‎·‎AC=20,∴AB·AC·cos∠A=20,AB·AC=40.‎ 则|BC|=BC=‎AB‎2‎+AC‎2‎-2AB·AC·cos60°‎ ‎≥‎2AB·AC-AB·AC‎=‎AB·AC=2‎10‎,‎ 当且仅当AB=AC时,取等号,‎ 即△ABC为等边三角形时,|BC|取得最小值为2‎10‎.‎ ‎5.(2015河南洛阳一模,文5,平面向量数量积的运算,选择题)设等边△ABC边长为6,若BC=3BE‎,AD=‎DC,则BD‎·‎AE等于(　　)‎ A.-6‎21‎ B.6‎21‎ C.-18 D.18‎ 解析:∵等边△ABC边长为6,若BC=3BE‎,AD=‎DC,‎ ‎∴BD‎=‎1‎‎2‎(BA+‎BC),AE‎=‎1‎‎3‎BC-‎BA.‎ ‎∴‎BD‎·AE=‎‎1‎‎2‎‎1‎‎3‎BC‎2‎‎-BA‎2‎-‎2‎‎3‎BC·‎BA ‎=‎1‎‎2‎‎×‎‎1‎‎3‎‎×36-36-‎2‎‎3‎×6×6×‎‎1‎‎2‎=-18.‎ 答案:C ‎10.(2015河南郑州一模,文10,平面向量数量积的运算,选择题)已知函数f(x)=Asin(πx+φ)的部分图象如图所示,点B,C是该图象与x轴的交点,过点C的直线与该图象交于D,E两点,则(BD‎+‎BE)·(BE‎-‎CE)的值为(　　)‎ A.-1 B.-‎1‎‎2‎ C.‎1‎‎2‎ D.2‎ 解析:∵函数f(x)=sin(2πx+φ)的周期T=‎2ππ=2,‎ 则BC=T‎2‎=1,则C点是一个对称中心,‎ 则根据向量的平行四边形法则可知:BD‎+‎BE=2BC‎,BE-CE=‎BC,‎ ‎∴(BD‎+‎BE)·(BE‎-‎CE)=2BC‎·‎BC=2|BC|2=2×12=2.‎ 答案:D ‎12.(2015河南郑州一模,文12,平面向量数量积的运算,选择题)在Rt△ABC中,CA=CB=3,M,N是斜边AB上的两个动点,且MN=‎2‎,则CM‎·‎CN的取值范围为(　　)‎ A.[3,6] B.[4,6]‎ C.‎2,‎‎5‎‎2‎ D.[2,4]‎ 解析:以C为坐标原点,CA为x轴建立平面坐标系,‎ 则A(3,0),B(0,3),‎ 则AB所在直线的方程为:x‎3‎‎+‎y‎3‎=1,即y=3-x.‎ 设N(a,3-a),M(b,3-b),且0≤a≤3,0≤b≤3,不妨设a>b,‎ ‎∵MN=‎2‎,∴(a-b)2+(b-a)2=2.‎ ‎∴a-b=1.∴a=b+1.‎ ‎∴0≤b≤2.‎ ‎∴CM‎·‎CN=(a,3-a)·(b,3-b)‎ ‎=2ab-3(a+b)+9‎ ‎=2(b2-2b+3)=2(b-1)2+4,0≤b≤2,‎ ‎∴当b=0或b=2时有最大值6;‎ 当b=1时有最小值4.‎ ‎∴CM‎·‎CN的取值范围为[4,6]‎ 答案:B ‎3.(2015辽宁大连一模,文3,平面向量数量积的运算,选择题)已知|a|=1,|b|=‎2‎,且a⊥b,则|a+b|为(　　)‎ A.‎2‎ B.‎3‎ C.2 D.2‎‎2‎ 解析:∵a⊥b,∴a·b=0.‎ ‎∴|a+b|=‎(a+b‎)‎‎2‎‎=‎‎3‎.‎ 答案:B ‎4.(2015哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模,文4,平面向量数量积的运算,选择题)向量a,b满足|a|=1,|b|=‎2‎,(a+b)⊥(2a-b),则向量a与b的夹角为(　　)‎ A.45° B.60° C.90° D.120°‎ 解析:设向量a与b的夹角为θ.‎ ‎∵(a+b)⊥(2a-b),‎ ‎∴(a+b)·(2a-b)=2a2-b2+a·b ‎=2×12-(‎2‎)2+1×‎2‎×cos θ=0.‎ 解得cos θ=0,‎ ‎∵θ∈[0,π],∴θ=90°.‎ 答案:C ‎9.(2015河南商丘二模,文9,平面向量数量积的运算,选择题)在△ABC中,已知|AB|=4,|AC|=1,S△ABC=‎3‎,则AB‎·‎AC的值为(　　)‎ A.-2 B.2 C.±4 D.±2‎ 解析:∵S△ABC=‎3‎‎=‎‎1‎‎2‎|AB||AC|sin A,‎ ‎∴sin A=‎3‎‎2‎.∴cos A=±‎1‎‎2‎.‎ ‎∴AB‎·‎AC=|AB|×|AC|×cos A ‎=4×1×‎±‎‎1‎‎2‎=±2.‎ 答案:D ‎4.(2015辽宁丹东二模,文4,平面向量数量积的运算,选择题)已知向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|a+b|=(　　)‎ A.‎5‎ B.2 C.‎3‎ D.1‎ 解析:∵向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,‎ ‎∴|a+b|=a‎2‎‎+‎b‎2‎‎=‎1‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=‎‎5‎.‎ 答案:A ‎5.(2015河南中原名校联盟模拟,文5,平面向量数量积的运算,选择题)已知向量a=(1,n),b=(-1,n),若2a-b与b垂直,则n2的值为(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 解析:向量a=(1,n),b=(-1,n),‎ 则2a-b=(3,n),若2a-b与b垂直,‎ 则(2a-b)·b=0,‎ 则有-3+n2=0,n2=3.‎ 答案:C ‎72‎ 平面向量数量积的应用 ‎6.(2015河南开封定位模拟,文6,平面向量数量积的应用,选择题)若|a|=‎2‎,|b|=2,(a-b)⊥a,则a,b的夹角是(　　)‎ A.‎5π‎12‎ B.π‎3‎ C.π‎6‎ D.‎π‎4‎ 解析:由题意可得(a-b)·a=a2-a·b=0,‎ 设a与b的夹角为θ,代入数据可得‎2‎ 2-‎2‎×2cos θ=0,即cos θ=‎2‎‎2‎,‎ 又θ∈[0,π],故θ=π‎4‎.‎ 答案:D ‎8.(2015河南商丘一模,文8,平面向量数量积的应用,选择题)已知平面向量a,b,满足a=(1,‎3‎),|b|=3,a⊥(a-2b),则|a-b|=(　　)‎ A.2 B.3 C.4 D.6‎ 解析:∵a=(1,‎3‎),∴|a|=2.‎ 又|b|=3,a⊥(a-2b),‎ ‎∴a·(a-2b)=|a|2-2a·b=0.‎ ‎∴|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=0+9=9.‎ ‎∴|a-b|=3.‎ 答案:B