数学理卷·2018届广东省百校联盟高三第二次联考

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数学理卷·2018届广东省百校联盟高三第二次联考

广东省百校联盟2018届高三第二次联考 理科数学 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数满足,则 ( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知,则 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 下表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温 的数据一览表.‎ 椅子该城市的各月最低温与最高温具有相关关系,根据该一览表,则下列结论错误的是( )‎ A.最低温与最高温为正相关 B.每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加 ‎ C.月温差(最高温减最低温)的最大值出现在1月 ‎ D.1月至4月的月温差(最高温减最低温)相对于7月至10月,波动性更大 ‎4. 已知命题是的必要不充分条件;命题若,则,则下列命题为真命题的上( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 在中,角的对边分别为,若,且,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.某几何体的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,则该几何体的表面积为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7. 将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线,则在上的单调递增区间是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8. 执行如图所示的程序框图,若输入的,则输出的( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 设满足约束条件,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10. 函数的部分图象大致是( )‎ ‎11. 过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点,为虚轴上的一个端点,且为钝角三角形,则此双曲线离心率的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12. 已知函数,若成立,则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.设平面向量与向量互相垂直,且,若,则 .‎ ‎14.在二项式的展开式中,其3项为,则 .‎ ‎15.如图,是正方体的棱上的一点,且平面,则异面直线与所成角的余弦值为 .‎ ‎16.已知点是抛物线上一点,为坐标原点,若是以点为圆心,的长为半径的圆与抛物线 的两个公共点,且为等边三角形,则的值是 .‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎(一)必考题(60分)‎ ‎17. 已知正项数列满足,数列的前项和满足.‎ ‎(1)求数列,的通项公式;‎ ‎(2)求数列 的前项和.‎ ‎18. 唐三彩,中国古代陶瓷烧制工艺的珍品,它吸取了中国国画,雕塑等工艺美术的特点,在中国文化中占有重要的历史地位,在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔,唐三彩的生产至今已由1300多年的历史,制作工艺蛇粉复杂,它的制作过程中必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程互相独立,某陶瓷厂准备仿制甲乙丙三件不同的唐三彩工艺品,根据该厂全面治污后的技术水平,经过第一次烧制后,甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为,经过第二次烧制后,甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为.‎ ‎(1)求第一次烧制后甲乙丙三件中恰有一件工艺品合格的概率;‎ ‎(2)经过前后两次烧制后,甲乙丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为,求随机变量的数学期望.‎ ‎19.如图,四边形是矩形,平面.‎ ‎(1)证明:平面平面;‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎20. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍,且椭圆经过点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设不与坐标轴平行的直线 交椭圆于两点,,记直线在轴上的截距为,‎ 求的最大值.‎ ‎21.函数 .‎ ‎(1)当时,讨论的单调性;‎ ‎(2)若函数有两个极值点,且,证明: .‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),曲线的参数方程为为参数)‎ ‎(1)将,的方程化为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;‎ ‎(2)以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线的极坐标方程为,若上的点对应的参数为,点上在,点为的中点,‎ 求点到直线距离的最小值.‎ ‎23.已知 .‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)若,求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: ACBAB 6-10: CBDAD 11、D 12:A 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解:(1)因为,所以,,‎ 因为,所以,所以,‎ 所以是以为首项,为公差的等差数列,‎ 所以,‎ 当时,,当时也满足,所以.‎ ‎(2)由(1)可知,‎ 所以.‎ ‎18.解:分别记甲乙丙第一次烧制后合格为事件,‎ ‎(1)设事件表示第一次烧制后恰好有一件合格,‎ 则.‎ ‎(2)因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为,‎ 所以随机变量,‎ 所以.‎ ‎19.(1)证明;设交于,‎ 因为四边形是矩形,,‎ 所以,‎ 又,所以,‎ 因为,‎ 所以,又平面.‎ 所以,而,所以平面平面;‎ ‎(2)建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 由题意可得,‎ 则,‎ 设平面的法向量,则,‎ 取,即 设平面的法向量,则,‎ 取,即 设平面与平面所成的二面角为,‎ 则 由图可知二面角为钝角,所以.‎ ‎20.解:(1)因为,所以椭圆的方程为,‎ 把点 的坐标代入椭圆的方程,得,‎ 所以,椭圆的方程为.‎ ‎(2)设直线的方程为,‎ 联立方程组 得,‎ 由,得,‎ 所以,‎ 所以 ‎ 由,得,‎ 令,所以,‎ ‎,即,‎ 当且仅当,即时,上式取等号,‎ 此时,,满足,‎ 所以的最大值为.‎ ‎21.解:函数的定义域为,‎ ‎(1)令,开口向上,为对称轴的抛物线,‎ 当时,‎ ‎①,即时,,即在上恒成立,‎ ‎②当时,由,得,‎ 因为,所以,当时,,即, ‎ 当或时,,即,‎ 综上,当时,在上递减,‎ 在和上递增,当时,在上递增.‎ ‎(2)若函数有两个极值点且,‎ 则必有,且,且在上递减,在和 上递增,‎ 则,‎ 因为是方程的两根,‎ 所以,即,‎ 要证 ‎ 又 ‎,‎ 即证对恒成立,‎ 设 ‎ 则 当时,,故,‎ 所以在上递增,‎ 故,‎ 所以,‎ 所以.‎ ‎22.解:(1)的普通方程为,‎ 它表示以为圆心,为半径的圆,‎ 的普通方程为,它表示中心在原点,焦点在轴上的椭圆.‎ ‎(2)由已知得,设,则,‎ 直线,点到直线的距离为 ,‎ 所以 ,即到直线的距离的最小值为.‎ ‎23.(1)证明:因为 而,‎ 所以.‎ ‎(2)因为 ,‎ 所以或,‎ 解得,所以的取值范围是.‎
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