【物理】2019届一轮复习人教版 机械振动 学案

【物理】2019届一轮复习人教版 机械振动 学案

‎[高考命题解读]‎ 分析 年份 高考(全国卷)四年命题情况对照分析 ‎1.考查方式 从近几年高考题来看，对于选修3－4内容的考查，形式比较固定，一般第(1)问为选择题，5个选项.从考查内容来看，机械振动和机械波、光学和电磁波的相关基础知识和基本方法都曾经命题.第(2)问命题主要以几何光学命题为主.‎ ‎2.命题趋势 从近几年高考命题来看，命题形式和内容比较固定，应该延续，但是题目的情景可能向着贴近生活的方向发展.‎ 题　号 命题点 ‎2014年 Ⅰ卷34题 第(1)问选择题，波动和振动图象的结合、波速公式的应用 第(2)问计算题，光经过半圆柱形玻璃砖的全反射问题 Ⅱ卷34题 第(1)问选择题，波动和振动图象的结合、波速公式的应用 第(2)问计算题，光经过平板玻璃的折射现象以及折射率的求解 ‎2015年 Ⅰ卷34题 第(1)问填空题，光的双缝干涉实验 第(2)问计算题，波的传播的周期性问题 Ⅱ卷34题 第(1)问选择题，光的折射、全反射、双缝干涉的综合问题 第(2)问计算题，波的传播，波长、频率与波速的关系 ‎2016年 Ⅰ卷34题 第(1)问选择题，波速公式的应用和对波的性质的理解 第(2)问计算题，光的折射和全反射，应用几何关系求解光学相关物理量 Ⅱ卷34题 第(1)问选择题，电磁波的基本特点 第(2)问计算题，质点的振动和波 动问题，波速公式的应用和振动位移函数式的书写 Ⅲ卷34题 第(1)问选择题，波的传播和质点的振动之间的关系 第(2)问计算题，光的折射现象和光路图问题 ‎2017年 Ⅰ卷34题 第(1)问填空题，机械波的叠加 第(2)问计算题，应用光的折射定律求折射率 Ⅱ卷34题 第(1)问选择题，光的双缝干涉实验 第(2)问计算题，应用光的折射定律求折射率 Ⅲ卷34题 第(1)问选择题，波的图象和波速公式的应用 第(2)问计算题，光的折射定律的应用 第1讲　机械振动 一、简谐运动 ‎1.简谐运动 ‎(1)定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动.‎ ‎(2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置.‎ ‎(3)回复力 ‎①定义：使物体返回到平衡位置的力.‎ ‎②方向：总是指向平衡位置.‎ ‎③来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力.‎ ‎2.简谐运动的两种模型 模型 弹簧振子 单摆 示意图 简谐 运动 条件 ‎①弹簧质量要忽略 ‎②无摩擦等阻力 ‎③在弹簧弹性限度内 ‎①摆线为不可伸缩的轻细线 ‎②无空气阻力等 ‎③最大摆角小于等于5°‎ 回复力 弹簧的弹力提供 摆球重力沿与摆线垂直方向(即切向)的分力 平衡 位置 弹簧处于原长处 最低点 周期 与振幅无关 T＝2π 能量 转化 弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒 重力势能与动能的相互转化，机械能守恒 自测1　(多选)关于简谐运动的理解，下列说法中正确的是(　　)‎ A.简谐运动是匀变速运动 B.周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量 C.简谐运动的回复力可以是恒力 D.弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能最大 E.单摆在任何情况下的运动都是简谐运动 答案　BD 二、简谐运动的公式和图象 ‎1.表达式 ‎(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反.‎ ‎(2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ0)，其中A代表振幅，ω＝2πf代表简谐运动的快慢，ωt＋φ0代表简谐运动的相位，φ0叫做初相.‎ ‎2.图象 ‎(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asin ωt，图象如图1甲所示.‎ ‎(2)从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acos ωt，图象如图乙所示.‎ 图1‎ 自测2　有一弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是(　　)‎ A.x＝8×10－3sin m B.x＝8×10－3sin m C.x＝8×10－1sin m D.x＝8×10－1sin m 答案　A 解析　振幅A＝0.8 cm＝8×10－3 m，ω＝＝4π rad/s.由题知初始时(即t＝0时)振子在正向最大位移处，即sin φ0＝1，得φ0＝，故振子做简谐运动的振动方程为：x＝8×10－3sin m，选项A正确.‎ 三、受迫振动和共振 ‎1.受迫振动 系统在驱动力作用下的振动.做受迫振动的物体，它做受迫振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，而与物体的固有周期(或频率)无关.‎ ‎2.共振 做受迫振动的物体，它的驱动力的频率与固有频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大，这就是共振现象.共振曲线如图2所示.‎ 图2‎ 自测3　(多选)如图3所示，A球振动后，通过水平细绳迫使B、C振动，振动达到稳定时，下列说法中正确的是(　　)‎ 图3‎ A.只有A、C的振动周期相等 B.C的振幅比B的振幅小 C.C的振幅比B的振幅大 D.A、B、C的振动周期相等 答案　CD 命题点一　简谐运动的规律 受力 特征 回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反 运动 特征 靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小 能量 特征 振幅越大，能量越大.在运动过程中，系统的动能和势能相互转化，机械能守恒 周期 性特征 质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为 对称 性特征 关于平衡位置O对称的两点，速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大小相等 例1　(多选)(2015·山东理综·38(1))如图4所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动.以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin (2.5πt) m .t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度.取重力加速度的大小g＝10 m/s2.以下判断正确的是(　　)‎ 图4‎ A.h＝1.7 m B.简谐运动的周期是0.8 s C.0.6 s内物块运动的路程是0.2 m D.t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反 答案　AB 解析　t＝0.6 s时，物块的位移为y＝0.1sin (2.5π×0.6) m＝－0.1 m，则对小球有h＋|y|＝gt2，解得h＝1.7 m，选项A正确；简谐运动的周期是T＝＝ s＝0.8 s，选项B正确；0.6 s内物块运动的路程是3A＝0.3 m，选项C错误；t＝0.4 s＝时，物块经过平衡位置向下运动，则此时物块与小球运动方向相同，选项D错误.‎ 变式1　如图5所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于A受力的说法中正确的是(　　)‎ 图5‎ A.物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力 B.物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力 C.物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力 D.物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力 答案　D 变式2　(多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝10sin t(cm)，则下列关于质点运动的说法中正确的是(　　)‎ A.质点做简谐运动的振幅为10 cm B.质点做简谐运动的周期为4 s C.在t＝4 s时质点的速度最大 D.在t＝4 s时质点的位移最大 答案　AC ‎‎ 命题点二　简谐运动图象的理解和应用 ‎1.可获取的信息：‎ ‎(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图6所示).‎ 图6‎ ‎(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移.‎ ‎(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度的大小和速度的方向，速度的方向也可根据下一时刻质点的位移的变化来确定.‎ ‎(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同，在图象上总是指向t轴.‎ ‎(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况.‎ ‎2.简谐运动的对称性：(图7) ‎ 图7‎ ‎(1)相隔Δt＝(n＋)T(n＝0,1,2，…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向，速度也等大反向.‎ ‎(2)相隔Δt＝nT(n＝1,2,3，…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同.‎ 例2　(2017·北京理综·15)某弹簧振子沿x轴的简谐运动图象如图8所示，下列描述正确的是(　　)‎ 图8‎ A.t＝1 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值 B.t＝2 s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值 C.t＝3 s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零 D.t＝4 s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值 答案　A 解析　t＝1 s时，振子位于正向位移最大处，速度为零，加速度为负向最大，故A正确；t＝2 s时，振子位于平衡位置并向x轴负方向运动，速度为负向最大，加速度为零，故B错误；t＝3 s时，振子位于负向位移最大处，速度为零，加速度为正向最大，故C错误；t＝4 s时，振子位于平衡位置并向x轴正方向运动，速度为正向最大，加速度为零，故D错误.‎ 例3　一质点做简谐运动，其位移和时间的关系如图9所示.‎ 图9‎ ‎(1)求t＝0.25×10－2 s时质点的位移；‎ ‎(2)在t＝1.5×10－2 s到t＝2×10－2 s的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能大小如何变化？‎ ‎(3)在t＝0到t＝8.5×10－2 s时间内，质点的路程、位移各多大？‎ 答案　(1)－ cm　(2)变大　变大　变小　变小 变大　(3)34 cm　2 cm 解析　(1)由题图可知A＝2 cm，T＝2×10－2 s，振动方程为x＝Asin (ωt－)＝－Acos ωt＝－2cos (t) cm＝－2cos (100πt) cm 当t＝0.25×10－2 s时，x＝－2cos cm＝－ cm.‎ ‎(2)由题图可知在t＝1.5×10－2 s到t＝2×10－2 s的振动过程中，质点的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大.‎ ‎(3)在t＝0到t＝8.5×10－2 s时间内，Δt＝T＝(4＋)T，可知质点的路程为s＝17A＝34 cm，位移为2 cm.‎ 变式3　质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图10所示，由图可知(　　)‎ 图10‎ A.振幅为4 cm，频率为0.25 Hz B.t＝1 s时速度为零，但质点所受合外力最大 C.t＝2 s时质点具有正方向最大加速度 D.该质点的振动方程为x＝2sin t(cm)‎ 答案　C 命题点三　单摆及其周期公式 ‎1.单摆的受力特征 ‎(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝－mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反.‎ ‎(2)向心力：细线的拉力和摆球重力沿细线方向分力的合力充当向心力，F向＝FT－mgcos θ.‎ ‎(3)两点说明 ‎①当摆球在最高点时，F向＝＝0，FT＝mgcos θ.‎ ‎②当摆球在最低点时，F向＝，F向最大，FT＝mg＋m.‎ ‎2.周期公式T＝2π的两点说明 ‎(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离.‎ ‎(2)g为当地重力加速度.‎ 例4　如图11甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置.设向右为正方向.图乙是这个单摆的振动图象.根据图象回答：‎ 图11‎ ‎(1)单摆振动的频率是多大？‎ ‎(2)开始时摆球在何位置？‎ ‎(3)若当地的重力加速度为10 m/s2，试求这个单摆的摆长是多少？(计算结果保留两位有效数字)‎ 答案　(1)1.25 Hz　(2)B点　(3)0.16 m 解析　(1)由题图乙知周期T＝0.8 s，则频率f＝＝1.25 Hz.‎ ‎(2)由题图乙知，t＝0时摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以开始时摆球在B点.‎ ‎(3)由T＝2π，得l＝≈0.16 m.‎ 变式4　(2017·上海单科·10)做简谐运动的单摆，其摆长不变，若摆球的质量增加为原来的倍，摆球经过平衡位置的速度减为原来的，则单摆振动的(　　)‎ A.周期不变，振幅不变 B.周期不变，振幅变小 C.周期改变，振幅不变 D.周期改变，振幅变大 答案　B 解析　由单摆的周期公式T＝2π可知，当摆长l不变时，周期不变，故C、D错误；由能量守恒定律可知mv2＝mgh，其摆动的高度与质量无关，因摆球经过平衡位置的速度减小，则最大高度减小，故振幅减小，选项B正确，A错误.‎ 命题点四　受迫振动和共振 ‎1.自由振动、受迫振动和共振的关系比较 振动 项目　　‎ 自由振动 受迫振动 共振 受力情况 仅受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用 振动周期 或频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0‎ 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T0或f驱＝f0‎ 振动能量 振动物体的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大 常见例子 弹簧振子或单摆(θ≤5°)‎ 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等 ‎2.对共振的理解 ‎(1)共振曲线：如图12所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A，它直观地反映了驱动力频率对某固有频率为f0的振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大.‎ 图12‎ ‎(2)受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换.‎ 例5　下表记录了某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动系统的固有频率为f固，则(　　)‎ 驱动力频率/Hz ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ 受迫振动振幅/cm ‎10.2‎ ‎16.8‎ ‎27.2‎ ‎28.1‎ ‎16.5‎ ‎8.3‎ A.f固＝60 Hz B.60 Hz＜f固＜70 Hz C.50 Hz＜f固≤60 Hz D.以上三个都不对 答案　C 解析　从如图所示的共振曲线可判断出f驱与f固相差越大，受迫振动的振幅越小；f驱与f固越接近，受迫振动的振幅越大.并可以从中看出f驱越接近f固，振幅的变化越慢.比较各组数据知f驱在50～60 Hz范围内时，振幅变化最小，因此50 Hz＜f固≤60 Hz，即C正确.‎ 变式5　如图13所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，其中A、B的摆长相等.当A摆振动的时候，通过张紧的绳子给B、C、D摆施加驱动力，使其余各摆做受迫振动.观察B、C、D摆的振动发现(　　)‎ 图13‎ A.C摆的频率最小 B.D摆的周期最大 C.B摆的摆角最大 D.B、C、D的摆角相同 答案　C 解析　由A摆摆动从而带动其它3个单摆做受迫振动，受迫振动的频率等于驱动力的频率，故其它各摆振动周期跟A摆相同，频率也相等，故A、B错误；受迫振动中，当固有频率等于驱动力频率时，出现共振现象，振幅达到最大，由于B摆的固有频率与A摆的相同，故B摆发生共振，振幅最大，故C正确，D错误.‎ ‎1.做简谐运动的物体，当它每次经过同一位置时，可能不同的物理量是(　　)‎ A.位移 B.速度 C.加速度 D.回复力 答案　B ‎2.做简谐运动的单摆摆长不变，若摆球质量减小为原来的，摆球经过平衡位置时速度增大为原来的2倍，则单摆振动的(　　)‎ A.频率、振幅都不变 B.频率、振幅都改变 C.频率不变，振幅改变 D.频率改变，振幅不变 答案　C ‎3.如图1所示，弹簧振子在a、b两点间做简谐振动，当振子从平衡位置O向a运动过程中(　　)‎ 图1‎ A.加速度和速度均不断减小 B.加速度和速度均不断增大 C.加速度不断增大，速度不断减小 D.加速度不断减小，速度不断增大 答案　C 解析　在振子由O到a的过程中，其位移不断增大，回复力增大，加速度增大，但是由于加速度与速度方向相反，故速度减小，因此选项C正确.‎ ‎4.如图2所示为某弹簧振子在0～5 s内的振动图象，由图可知，下列说法中正确的是(　　)‎ 图2‎ A.振动周期为5 s，振幅为8 cm B.第2 s末振子的速度为零，加速度为负向的最大值 C.从第1 s末到第2 s末振子的位移增加，振子在做加速度减小的减速运动 D.第3 s末振子的速度为正向的最大值 答案　D 解析　由题图图象可知振动周期为4 s，振幅为8 cm，选项A错误；第2 s末振子在最大位移处，速度为零，位移为负，加速度为正向的最大值，选项B错误；从第1 s末到第2 s末振子的位移增大，振子在做加速度增大的减速运动，选项C错误；第3 s末振子在平衡位置，向正方向运动，速度为正向的最大值，选项D正确.‎ ‎5.(多选)一个质点做简谐运动的图象如图3所示，下列说法正确的是(　　)‎ 图3‎ A.质点振动的频率为4 Hz B.在10 s内质点经过的路程是20 cm C.在5 s末，质点的速度为零，加速度最大 D.t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是 cm 答案　BCD 解析　由题图图象可知，质点振动的周期为T＝4 s，故频率f＝＝0.25 Hz，选项A错误；在10 s内质点振动了2.5个周期，经过的路程是10A＝20 cm，选项B正确；在5 s末，质点处于正向最大位移处，速度为零，加速度最大，选项C正确；由题图图象可得振动方程是x＝2sin(t) cm，将t＝1.5 s和t＝4.5 s代入振动方程得x＝ cm，选项D正确.‎ ‎6.(多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asint，则质点(　　)‎ A.第1 s末与第3 s末的位移相同 B.第1 s末与第3 s末的速度相同 C.第3 s末至第5 s末的位移方向都相同 D.第3 s末至第5 s末的速度方向都相同 答案　AD 解析　由关系式可知ω＝ rad/s，T＝＝8 s，将t＝1 s和t＝3 s代入关系式中求得两时刻位移相同，A对；作出质点的振动图象，由图象可以看出，第1 s末和第3 s末的速度方向不同，B错；由图象可知，第3 s末至第4 s末质点的位移方向与第4 s末至第5 s末质点的位移方向相反，而速度的方向相同，故C错，D对.‎ ‎7.一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图4所示，则(　　)‎ 图4‎ A.此单摆的固有周期约为0.5 s B.此单摆的摆长约为1 m C.若摆长增大，单摆的固有频率增大 D.若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动 答案　B 解析　由题图共振曲线知此单摆的固有频率为0.5 Hz，固有周期为2 s，故A错误；由T＝2π，得此单摆的摆长约为1 m，故B正确；若摆长增大，单摆的固有周期增大，固有频率减小，则共振曲线的峰将向左移动，故C、D错误.‎ ‎8.(多选)(2018·福建福州质检)一弹簧振子沿x轴振动，振幅为4 cm，振子的平衡位置位于x轴上的O点.图5甲上的a、b、c、d为四个不同的振动状态；黑点表示振子的位置，黑点上的箭头表示运动的方向.图乙给出的①②③④四条振动图线，可用于表示振子的振动图象的是(　　)‎ 图5‎ A.若规定状态a时t＝0，则图象为①‎ B.若规定状态b时t＝0，则图象为②‎ C.若规定状态c时t＝0，则图象为③‎ D.若规定状态d时t＝0，则图象为④‎ 答案　AD 解析　振子在状态a时t＝0，此时的位移为3 cm，且向x轴正方向运动，故选项A正确；振子在状态b时t＝0，此时的位移为2 cm，且向x轴负方向运动，选项B错误；振子在状态c时t＝0，此时的位移为－2 cm，选项C错误；振子在状态d时t＝0，此时的位移为－4 cm，速度为零，故选项D正确.‎ ‎9.(多选)如图6所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，则下列说法中正确的是(　　)‎ 图6‎ A.甲、乙两单摆的摆长相等 B.甲摆的振幅比乙摆大 C.甲摆的机械能比乙摆大 D.在t＝0.5 s时有正向最大加速度的是乙摆 E.由图象可以求出当地的重力加速度 答案　ABD 解析　由题图振动图象可以看出，甲摆的振幅比乙摆的大，两单摆的振动周期相同，根据单摆周期公式T＝2π可得，甲、乙两单摆的摆长相等，但不知道摆长是多少，不能计算出当地的重力加速度g，故A、B正确，E错误；两单摆的质量未知，所以两单摆的机械能无法比较，故C错误；在t＝0.5 s时，乙摆有负向最大位移，即有正向最大加速度，而甲摆的位移为零，加速度为零，故D正确.‎ ‎10.(多选)如图7所示为一个竖直放置的弹簧振子，物体沿竖直方向在A、B之间做简谐运动，O点为平衡位置，A点位置恰好为弹簧的原长.物体由C点运动到D点(C、D两点未在图上标出)的过程中，弹簧的弹性势能增加了3.0 J，重力势能减少了2.0 J.对于这段过程说法正确的是(　　)‎ 图7‎ A.物体的动能增加1.0 J B.C点的位置可能在平衡位置以上 C.D点的位置可能在平衡位置以上 D.物体经过D点的运动方向可能指向平衡位置 答案　BD ‎11.如图8所示为一弹簧振子的振动图象，试完成以下问题：‎ 图8‎ ‎(1)写出该振子简谐运动的表达式；‎ ‎(2)在第2 s末到第3 s末这段时间内，弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？‎ ‎(3)该振子在前100 s的总位移是多少？路程是多少？‎ 答案　见解析 解析　(1)由题图振动图象可得A＝5 cm，T＝4 s，φ0＝0‎ 则ω＝＝ rad/s 故该振子简谐运动的表达式为x＝5sin t cm ‎(2)由题图可知，在t＝2 s时，振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移不断变大，加速度也变大，速度不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大，当t＝3 s时，加速度达到最大值，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值.‎ ‎(3)振子经过一个周期位移为零，路程为4×5 cm＝20 cm，前100 s刚好经过了25个周期，所以前100 s振子的总位移x＝0，振子的路程s＝25×20 cm＝500 cm＝5 m.‎ ‎12.如图9所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，C为弧形槽最低点，R≫.甲球从弧形槽的圆心处自由下落，乙球从A点由静止释放，问：‎ 图9‎ ‎(1)两球第1次到达C点的时间之比；‎ ‎(2)若在圆弧的最低点C的正上方h处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时将乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点C处相遇，则甲球下落的高度h是多少？‎ 答案　(1)　(2)(n＝0,1,2…)‎ 解析　(1)甲球做自由落体运动 R＝gt12，所以t1＝ 乙球沿圆弧做简谐运动(由于≪R，可认为摆角θ＜5°).此运动与一个摆长为R的单摆运动模型相同，故此等效摆长为R，因此乙球第1次到达C处的时间为 t2＝T＝×2π＝，‎ 所以t1∶t2＝.‎ ‎(2)甲球从离弧形槽最低点h高处自由下落，到达C点的时间为t甲＝ 由于乙球运动存在周期性，所以乙球到达C点的时间为 t乙＝＋n＝(2n＋1)　(n＝0,1,2，…)‎ 由于甲、乙在C点相遇，故t甲＝t乙 联立解得h＝　(n＝0,1,2…).‎