高中数学讲义微专题91 复数

高中数学讲义微专题91 复数

微专题 91 复数 一、基础知识： 复数题目通常在高考中有所涉及，题目不难，通常是复数的四则运算 1、复数 的代数形 式为 ，其中 称为 的实部， 称为 的虚部（而不是 )， 2、几类特殊的复数： （1）纯虚数： 例如： ， 等 （2）实数： 3、复数的运算：设 （1） （2） （3） 注：乘法运算可以把 理解为字母，进行分配率的运算。只是结果一方面要化成标准形式， 另一方面要计算 （4） 注：除法不要死记公式而要理解方法：由于复数的标准形式是 ，所以不 允许分母带有 ，那么利用平方差公式及 的特点分子分母同时乘以 的共轭复数即可。 4、共轭复数： ， 对于 而言，实部相同，虚部相反 5、复数的模： ( ) 6、两个复数相等：实部虚部对应相等 7、复平面：我们知道实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数 都与平面直角坐标系上的点 一一对应，将这个平面称为复平面。横坐标代表复数的实部， 横轴称为实轴，纵轴称为虚轴。 8、处理复数要注意的几点： （1）在处理复数问题时，一定要先把复数化简为标准形式，即 （2）在实数集的一些多项式公式及展开在复数中也同样适用。例如：平方差公式，立方和差 公式，二项式定理等 二、典型例题 z  ,z a bi a b R   a z b z bi 0, 0a b  5i i 0b   1 2, , , ,z a bi z c di a b c d R     2 1i      1 2z z a c b d i            2 1 2z z a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i             i 2 1i            1 2 2 2 a bi c di ac bd bc ad iz a bi z c di c di c di c d            ,z a bi a b R   i 2 1i  2z z a bi  z 2 2z a b  2z z z  2 2z z  ,a bi a b R   ,a b  ,z a bi a b R   例 1：若复数 ，其中 是虚数单位，则复数 的模为（ ） A. B. C. D. 2 思路：需要求复数的模，那首先要化成标准形式 ，进行化简，目前需要处理的就是 分式，化简再求模即可 解： 答案：A 例 2： 已知复数 ，则 （ ） A. B. C. D. 思路：本题可直接带入计算，也可考虑先化简再求值 解： 答案：B 例 3： 设 是虚数单位，且 ，则实数 等于（ ） A. B. C. D. 思路：等号左边 ，若化简等号右边则比较麻烦。所以考虑利用等式性质两边同 乘 ,然后利用复数相等的性质求出 值 解： 答案：D 小炼有话说： （1） 的指数幂呈周期性变化（周期为 4)即 .故可依照周 期性的想法，将 的较高指数幂进行降次。 （2）对于呈分式形式的复数等式，一般两种处理方法：一是对分式本身进行化简，二是利用 等式性质进行“去分母”（尤其是分母形式较复杂时） 22 1z i i   i z 2 2 2 3 z a bi       2 122 2 2 1 11 1 1 iz i i i i ii i i            2z  1z i  2 2 1 z z z   2i 2i 2 2 2 22 2 1 1 1 11 21 1 1 z z z z z i iz z z i                i 2014 1 i ki ki   k 2 0 1 1 2014 2 1i i    1ki  k 2014 1 11 1 i k i ki ki k iki ki            1k   i 4 1 4 2 4 3 4, 1, , 1n n n ni i i i i i        i 例 4：复数 ，在复平面上对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象 限 D．第四象限 思路：将复数化为标准形式后再进行判断。 解： 在复平面上对应的点为 ，所以在第三象限 答案：C 例 5：（2013 天津河东一模，1）若 是纯虚数，则实数 的值是（ ） A. B. C. D. 2 思路：涉及到纯虚数的概念，所以首先把 化成标准形式，再根据纯虚数的定义即可求出 解： 由纯虚数可得 答案：C 例 6： 若复数 是纯虚数，则实数 的值是（ ） A. B. C. 或 D. 思路：纯虚数：实部为零且虚部不为零，所以要将 满足的条件写全 解： 复数 是纯虚数 答案：B 例 7： 已知复数 ， 是 的共轭复数，则 （ ） A. B. C. D. 思路：想到 ，进而只需将 化为标准形式后求模即可 解： ， 答案：A 3 2 1 iz i i   2 ( 1) 1 21 iz i i i ii           1, 2  1 a iz i   a 1 0 1 z a        1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a i i a a ia i a az ii i i              1 0 12 a a       2 3 2 1a a a i    a 1 2 1 2 1 a     2 3 2 1a a a i    2 3 2 0 2 1 0 a a a a          2 3 1 3 iz i   z z z z  1 4 1 2 1 2 2z z z  z  2 3 21 3 i iz i     2 1 4z  例 8：设 （ 是虚数单位），则 的值是____________ 思路：利用等式性质两边同时乘以 ，进而可对照实部虚部求出 解： 答案： 例 9：设 是复数， （其中 表示 的共轭复数），已知 的实部是 ，则 的虚部是___________ 思路： 要通过 来确定，所以考虑用待定系数法设 ，再参与运算 解： 设 的虚部是 1 答案：1 例 10：已知复数 满足 （ 是虚数单位），复数 的虚部为 ，且 是实数，则 ____________ 解：设 ， （目的：为了更加便于计算） 由于 是实数，所以 答案： 11 7, , 1 2 ia b R a bi i     i a b  1 2i ,a b   11 7 1 2 11 71 2 ia bi a bi i ii            2 11 52 2 11 7 2 7 3 a b aa b b a i i b a b                 8a b   8a b  1z 2 1 1z z iz  1z 1z 2z 1 2z 2z 1z 1z a bi  1z a bi     2 1 1z z iz a bi i a bi a b b a i           1a b    2z 1z   1 2 1 1z i i    i 2z 2 1 2z z 2z  2 2z a i  1 2z x yi     1 2 1 1z i i          1 1 1x yi i i x y x y i i           0, 1x y    1 2z i        1 2 2 2 2 2 4z z i a i a a i          1 2z z 4a  2 4 2z i   2 4 2z i 