2020届艺术生高考数学二轮复习课时训练:第六章 不等式、推理与证明 第2节

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2020届艺术生高考数学二轮复习课时训练:第六章 不等式、推理与证明 第2节

第六章 第2节 ‎1.不等式≤x-2的解集是(  )‎ A.(-∞,0]∪(2,4]   B.[0,2)∪[4,+∞)‎ C.[2,4) D.(-∞,2]∪(4,+∞)‎ 解析:B [原不等式可化为≤0.‎ 即 由标根法知,0≤x<2或x≥4.]‎ ‎2.已知函数f(x)=ax2+bx+c,不等式f(x)<0的解集为{x|x<-3或x>1},则函数y=f(-x)的图象可以为(  )‎ 解析:B [由f(x)<0的解集为{x|x<-3或x>1}知a<0,y=f(x)的图象与x轴交点为(-3,0),(1,0),‎ ‎∴f(-x)图象开口向下,与x轴交点为(3,0),(-1,0).]‎ ‎3.“00的解集是实数集R”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:A [当a=0时,1>0,显然成立;当a≠0时,故ax2+2ax+1>0的解集是实数集R等价于0≤a<1.因此,“00的解集是实数集R”的充分而不必要条件 ‎.]‎ ‎4.(2020·海拉尔区模拟)关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中,恰有3个整数,则a的取值范围是(   )‎ A.(4,5) B.(-3,-2)∪(4,5)‎ C.(4,5] D.[-3,-2)∪(4,5]‎ 解析:D [∵关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0,‎ ‎∴不等式化为(x-1)(x-a)<0,‎ 当a>1时,得1<x<a,此时解集中的整数为2,3,4,则4<a≤5,‎ 当a<1时,得a<x<1,此时解集中的整数为-2,-1,0,则-3≤a<-2,‎ 故a的取值范围是[-3,-2)∪(4,5].]‎ ‎5.若不等式组的解集不是空集,则实数a的取值范围是(   )‎ A.(-∞,-4] B.[-4,+∞)‎ C.[-4,20] D.[-40,20)‎ 解析:B [由x2-2x-3≤0,得-1≤x≤3.设f(x)=x2+4x-(1+a),根据已知可转化为存在x0∈[-1,3]使f(x0)≤0.易知函数f(x)在区间[-1,3]上为增函数,故只需f(-1)=-4-a≤0即可,解得a≥-4.]‎ ‎6.(2020·四平市模拟)已知不等式ax2-5x+b>0的解集为{x|-3<x<2},则不等式bx2-5x+a>0的解集为 ________ .‎ 解析:∵ax2-5x+b>0的解集为{x|-3<x<2},‎ ‎∴ax2-5x+b=0的根为-3、2,即-3+2=,-3×2=.解得a=-5,b=30.‎ 则不等式bx2-5x+a>0可化为30x2-5x-5>0,解得.‎ 答案: ‎7.若关于x的不等式4x-2x+1-a≥0在[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围为 ________ .‎ 解析:∵4x-2x+1-a≥0在[1,2]上恒成立,‎ ‎∴4x-2x+1≥a在[1,2]上恒成立.‎ 令y=4x-2x+1=(2x)2-2×2x+1-1=(2x-1)2-1.‎ ‎∵1≤x≤2,∴2≤2x≤4.‎ 由二次函数的性质可知:当2x=2,即x=1时,y有最小值0.∴a的取值范围为(-∞‎ ‎,0].‎ 答案:(-∞,0]‎ ‎8.若不等式x2-(2+m)x+m-1>0对任意m∈[-1,1]恒成立,则x的取值范围是 ________ .‎ 解析:把不等式化为(1-x)m+x2-2x-1>0.‎ 设f(m)=(1-x)m+x2-2x-1,则问题转化为关于m的一次函数.f(m)在区间[-1,1]上大于0恒成立,只需 即⇒ 解得x<-1或x>3,故x的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞).‎ 答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)‎ ‎9.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(1,t),记函数f(x)=ax2+(a-b)x-c.‎ ‎(1)求证:函数y=f(x)必有两个不同的零点;‎ ‎(2)若函数y=f(x)的两个零点分别为m,n,求|m-n|的取值范围.‎ 解:(1)证明:由题意知a+b+c=0,且->1.‎ 所以a<0且>1,所以ac>0.‎ 对于函数f(x)=ax2+(a-b)x-c有Δ=(a-b)2+‎4ac>0.所以函数y=f(x)必有两个不同零点.‎ ‎(2)|m-n|2=(m+n)2-4mn===2+8+4.‎ 由不等式ax2+bx+c>0的解集为(1,t)可知,方程ax2+bx+c=0的两个解分别为1和t(t>1),由根与系数的关系知=t,‎ 所以|m-n|2=t2+8t+4,t∈(1,+∞).所以|m-n|>,所以|m-n|的取值范围为(,+∞).‎ ‎10.已知函数f(x)=的定义域为R.‎ ‎(1)求a的取值范围;‎ ‎(2)若函数f(x)的最小值为,解关于x的不等式x2-x-a2-a<0.‎ 解:(1)∵函数f(x)=的定义域为R,‎ ‎∴ax2+2ax+1≥0恒成立,‎ 当a=0时,1≥0恒成立.‎ 当a≠0时,则有 解得0<a≤1,综上可知,a的取值范围是[0,1].‎ ‎(2)∵f(x)==,‎ ‎∵a>0,∴当x=-1时,f(x)min=,‎ 由题意得,=,∴a=,‎ ‎∴不等式x2-x-a2-a<0可化为 x2-x-<0.解得-<x<,‎ 所以不等式的解集为.‎
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