2017-2018学年河北省安平中学高二上学期第四次月考数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年河北省安平中学高二上学期第四次月考数学（理）试题（Word版）

‎ 河北安平中学2017—2018学年第一学期第四次月考 数学试题 （高二理科）‎ 考试时间 120分钟 试题分数 150分 ‎ 一、 选择题：（每题只有一个正确选项。共12个小题，每题5分，共60分。）‎ ‎1.列结论正确的是个数为（　　） ‎ ‎①y=ln2 则y′=； ②y= 则y′= ‎ ‎ ③y=e﹣x 则y′=﹣e﹣x； ④y=cosx 则y′=sinx． ‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎2.设函数y=f（x）在x=x0处可导，且=1，则f′（x0）等于（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C．1 D．﹣1‎ ‎3.一点沿直线运动，如果由起点起经过秒后距离，那么速度为零的时刻是（ ）．‎ A．秒末 B．秒末 C．秒末 D．秒末 ‎4.设函数f（x）在点x0附近有定义，‎ 且有f（x0+△x）﹣f（x0）=a△x+b（△x）2，其中a，b为常数，则（　　）‎ A．f'（x）=a B．f'（x）=b C．f'（x0）=a D．f'（x0）=b ‎5.若f（x）=ax4+bx2+c满足f′（1）=2，则f′（﹣1）=（　　）‎ A．﹣4 B．﹣‎2 ‎C．2 D．4‎ ‎6.函数在区间上的最小值（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎7.数在处有极值，在的值为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎8.函数f（x）=xlnx，则函数f（x）的导函数是（　　）‎ A．lnx B．‎1 ‎ C．1+lnx D．xlnx ‎9.已知f1（x）=sinx+cosx，fn+1（x）是fn（x）的导函数，即f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，fn+1（x）=fn′（x），n∈N*，则f2017（x）=（　　）‎ A．sinx+cosx B．sinx﹣cosx ‎ C．﹣sinx+cosx D．﹣sinx﹣cosx ‎10.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（　　）‎ A．﹣e B．﹣‎1 ‎C．1 D．e ‎11.函数的定义域为，，‎ 对任意，，则的解集为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎12.若函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），‎ 且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　）‎ A．函数f（x）有极大值f（﹣2），无极小值 B．函数f（x）有极大值f（1），无极小值 C．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）‎ D．函数f（x）有极大值f（1）和极小值f（﹣2）．‎ 二.填空题（共4个小题，每题5分，共20分。）‎ ‎13.已知f（x）=，则f′（x）=　 　．‎ 14. 如图，直线L是曲线y=f（x）在x=3处的切线，f'（x）表示函数f（x）的导函数，则f（3）+f'（3）的值为　　　　．‎ 15. 已知函数f（x）=x3﹣ax2+1在区间[0，2]内单调递减，则实数a的取值范围是　　　　　　．‎ 16. 已知在时有极值，则__________．‎ 三、 解答题：（解答题应写出必要的文字说明和演算步骤）‎ ‎17.（本小题10分）‎ 已知函数f（x）=x3﹣4x+m，（m∈R）．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求f（x）在[0，3]上的最值．‎ ‎18.（本小题12分）‎ 已知函数f（x）=x3+ax2+bx在x=﹣与x=1处都取得极值．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）求曲线y=f（x）在x=2处的切线方程．‎ ‎19. （本小题12分）‎ 已知函数f（x）=‎ ‎（1）求函数y=f（x）在点（1，0）处的切线方程；‎ ‎（2）设实数k使得f（x）＜kx恒成立，求k的取值范围；‎ ‎20.（本小题12分）‎ 已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为﹣3．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若过点A（2，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．‎ ‎21.（本小题12分）‎ 已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx ‎（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若函数f（x）在（0，）上无零点，求a最小值．‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知函数f（x）=（x﹣1）2﹣．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点x1，x2，证明x1+x2＞2．‎ 高二理班数学答案 BABCB CDCAB BA ‎ 13. 14. 15.[3，+∞） 16.‎ ‎17.（本小题10分）解：（Ⅰ）f′（x）=x2﹣4=（x﹣2）（x+2）‎ 由f′（x）＞0得x＞2，或x＜﹣2‎ 由f′（x）＜0得﹣2＜x＜2‎ 所以，f（x）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，2）递减，在（2，+∞）递增；‎ ‎（Ⅱ）由f′（x）=0得x=2或x=﹣2，‎ ‎∴f（x）的极小值是f（2）=﹣+m，‎ f（x）的极大值是f（﹣2）=+m；‎ 又∵f（0）=m，f（3）=﹣3+m ‎∴f（x）在[0，3]的最大值为f（0）=m，最小值是f（2）=﹣+m．‎ ‎18.（本小题12分）解：（1）f（x）=x3+ax2+bx，f′（x）=3x2+2ax+b，‎ 由f′（）=﹣a+b=0，f′（1）=3+‎2a+b=0，‎ 得a=﹣，b=﹣2，‎ 经检验，a=﹣，b=﹣2符合题意；‎ ‎（2）由（1）得f′（x）=3x2﹣x﹣2，‎ 曲线y=f（x）在x=2处的切线方程斜率k=f′（2）=8，‎ 又∵f（2）=2，‎ ‎∴曲线y=f（x）在x=2处的切线方程为y﹣2=8（x﹣2），‎ 即8x﹣y﹣14=0为所求．‎ 19． ‎（本小题12分）解：‎ ‎（1）∵f（x）=，∴f′（x）= …2 分 ‎∴f′（1）=1，‎ ‎∴曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=x﹣1；‎ ‎（2）设h（x）==（x＞0），则h′（x）=（x＞0）‎ 令h′（x）=0，解得：x=；‎ 当x在（0，+∞）上变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：‎ x ‎（0，）‎ ‎（，+∞）‎ h′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ h（x）‎ ‎↗‎ ‎↘‎ 由上表可知，当x=时，h（x）取得最大值，‎ 由已知对任意的x＞0，k＞h（x）恒成立 ‎∴k的取值范围是（，+∞）．‎ ‎20.（本小题12分）解：（Ⅰ）f'（x）=3ax2+2bx+c 依题意 又f'（0）=﹣3∴c=﹣3∴a=1∴f（x）=x3﹣3x ‎（Ⅱ）设切点为（x0，x03﹣3x0），‎ ‎∵f'（x）=3x2﹣3∴f'（x0）=3x02﹣3‎ ‎∴切线方程为y﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（x﹣x0）‎ 又切线过点A（2，m）‎ ‎∴m﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（2﹣x0）‎ ‎∴m=﹣2x03+6x02﹣6‎ 令g（x）=﹣2x3+6x2﹣6‎ 则g'（x）=﹣6x2+12x=﹣6x（x﹣2）‎ 由g'（x）=0得x=0或x=‎2g（x）极小值=g（0）=﹣6，g（x）极大值=g（2）=2‎ 画出草图知，当﹣6＜m＜2时，m=﹣2x3+6x2﹣6有三解，‎ 所以m的取值范围是（﹣6，2）．‎ ‎21.（本小题12分）解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，‎ 则f′（x）=1﹣，由f′（x）＞0，得x＞2，‎ 由f′（x）＜0，得0＜x＜2，‎ 故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）．‎ ‎（Ⅱ）因为f（x）＜0在区间（0，）上恒成立不可能，‎ 故要使函数f（x）在（0，）上无零点，只要对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，‎ 即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立．‎ 令l（x）=2﹣，x∈（0，），则l′（x）=，‎ 再令m（x）=2lnx+﹣2，x∈（0，），[]‎ 则m′（x）=﹣+=＜0，‎ 故m（x）在（0，）上为减函数，于是m（x）＞m（）=2﹣2ln2＞0，‎ 从而l（x）＞0，于是l（x）在（0，）上为增函数，‎ 所以l（x）＜l（）=2﹣4ln2，‎ 故要使a＞2﹣恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），‎ 综上，若函数f（x）在（0，）上无零点，则a的最小值为2﹣4ln2．‎ ‎22.（本小题12分）解：（Ⅰ），…‎ f'（x）=0⇒x=1，当x∈（﹣∞，1）时，f'（x）＜0；‎ 当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0．‎ 所以函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增.‎ ‎（Ⅱ）证明：，f（0）=1，不妨设x1＜x2，‎ 又由（Ⅰ）可知0＜x1＜1，x2＞1. 2﹣x2＜1，‎ 又函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，‎ 所以x1+x2＞2⇔x1＞2﹣x2等价于f（x1）＜f（2﹣x2），‎ 即0=f（x1）＜f（2﹣x2）．‎ 又，而，‎ 所以，…‎ 设g（x）=xe2﹣x﹣（2﹣x）ex，则g'（x）=（1﹣x）（e2﹣x﹣ex）．…‎ 当x∈（1，+∞）时g'（x）＞0，而g（1）=0，故当x＞1时，g（x）＞0．‎ 而恒成立，‎ 所以当x＞1时，，‎ 故x1+x2＞2．‎