2018-2019学年安徽省屯溪第一中学高二上学期开学考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年安徽省屯溪第一中学高二上学期开学考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省屯溪第一中学高二上学期开学考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知两个非空集合，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合A ,B ,求出二者的交集即可.‎ ‎【详解】‎ 集合A中的不等式x2﹣2x﹣3＜0，解得：﹣1＜x＜3，即M=（﹣1，3）；‎ ‎；‎ ‎∴‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎2．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ）‎ A． , B． ，‎ C． ， D． ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别判断两个函数定义域和对应法则是否一致即可．‎ ‎【详解】‎ 对于A，函数f（x）==|x|，g（x）=x，两个函数的对应法则和定义域不相同，不是相等函数；‎ 对于B，函数f（x）=x+1的定义域为{x|x≠1}‎ ‎，两个函数的定义域不相同，不是相等函数;‎ 对于C，函数g（x）==|x|，两个函数的对应法则和定义域相同，是相等函数;‎ 对于D, 由，解得x≥1，即函数f（x）的定义域为{x|x≥1}，‎ 由x2﹣1≥0，解得x≥1或x≤﹣1，即g（x）的定义域为{x|x≥1或x≤﹣1}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数．‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查判断两个函数是否为相等函数，判断的标准是判断两个函数的定义域和对应法则是否完全相同．‎ ‎3．数和的最大公约数是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用更相减损术求612与486的最大公约数即可.‎ ‎【详解】‎ ‎612﹣486=126，‎ ‎486﹣126=360，‎ ‎360﹣126=234，‎ ‎234﹣126=108，‎ ‎126﹣108=18，‎ ‎108﹣18=90，‎ ‎90﹣18=72．‎ ‎72﹣18=36,‎ ‎36﹣18=18‎ 因此612与486的最大公约数是18．‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 更相减损术的方法和步骤是：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止．‎ ‎4．化成六进制，其结果是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用“除k取余法”是将十进制数除以k，然后将商继续除以k，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ ‎729÷6=121，余数是3，‎ ‎121÷6=20，余数是1，‎ ‎20÷6=3，余数是2．‎ ‎3÷6=0，余数3‎ 故729（10）=．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．比较基础．‎ ‎5．函数的单调递增区间为（ ）.‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二次函数的性质和复合函数的单调性及函数的定义域可得结论．‎ ‎【详解】‎ 由题可得＞0，解得x＜或x＞1，‎ 由二次函数的性质和复合函数的单调性可得 函数的单调递增区间为：（﹣∞，）‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数函数的单调性和复合函数的单调性，属基础题．‎ ‎6．记函数的定义域为，在区间上随机取一个数，则 的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．‎ ‎【详解】‎ 由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，‎ 则D=[﹣2，3]，‎ 则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P==，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，如果输入,则输出的的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【详解】‎ 若输入a=1，b=6，‎ 则a＞50不成立，循环，a=1+6=7，‎ 则a＞50不成立，循环，a=7+6=13，‎ 则a＞50不成立，循环，a=13+6=19，‎ 则a＞50不成立，循环，a=19+6=25，‎ 则a＞50不成立，循环，a=25+6=31，‎ 则a＞50不成立，循环，a=31+6=37，‎ 则a＞50不成立，循环，a=37+6=43，‎ 则a＞50不成立，循环，a=43+6=49，‎ 则a＞50不成立，循环，a=49+6=55，‎ 则a＞50成立，输出a=55．‎ 故选：C ．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎8．在中，内角所对的边分别为，已知，.‎ 则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a，b代入计算，即可求出cosA的值.‎ ‎【详解】‎ 将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，‎ 代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，‎ ‎∴cosA===‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．‎ ‎9．变量满足，若直线经过该可行域，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据约束条件画出可行域，再利用直线kx﹣y+2=0过定点（0，2），再利用k的几何意义，只需求出直线kx﹣y+2=0过点B（2，4）时，k值即可．‎ ‎【详解】‎ 直线kx﹣y+2=0过定点（0，2），‎ 作可行域如图所示，‎ 由得B（2，4）．‎ 当定点（0，2）和B点连接时，斜率最大，此时k==1，‎ 则k的最大值为1．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．‎ ‎10．设数列，都是等差数列，分别是，的前项的和，且，则（ ）.‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的通项公式推导出=，由此能求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎∵等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，且=‎ ‎∴==‎ ‎===．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的两项比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．‎ ‎11．设定义域为的单调函数，对于任意的，都有，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 单调函数的函数值和自变量的关系是一一对应的，所以根据已知条件知道存在唯一的实数t0，使得f（t0）=6，所以再根据f[f（x）﹣x2]=6即可得到f（6﹣t20）=6．所以根据f（x）为单调函数得到6﹣t20=t0，解出t0=2，即f（2）=6，所以根据f[f（4）﹣16]=6便得到2=f（4）﹣16，这便可求出f（4）．‎ ‎【详解】‎ ‎∵f（x）为定义在（0，+∞）上的单调函数；‎ ‎∴6对应着唯一的实数设为t0，使f（t0）=6，t0＞0；‎ ‎∴；‎ ‎∴6﹣t20=t0；‎ 解得t0=2，或﹣3（舍去）；‎ ‎∴f（2）=6；‎ 又∵f[f（4）﹣16]=6；‎ ‎∴2=f（4）﹣16；‎ ‎∴f（4）=18．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 考查单调函数的自变量和函数值的对应关系为：一一对应，注意本题的函数f（x）的定义域，注意对条件f[f（x）﹣x2]=6的运用，以及解一元二次方程．‎ ‎12．已知函数满足对任意，,都有成立，则的取值范围是（ ）．‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若对任意x1≠x2，都有＜0成立，则函数f（x）是单调减函数；故，解得a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 若对任意x1≠x2，都有＜0成立，‎ 则函数f（x）是单调减函数；‎ 故，‎ 解得：0＜a≤‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性是解答的关键．‎ 二、填空题 ‎13．已知，，，则向量在向量上的投影是__________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量的数量积运算表示出，再由条件和向量投影的概念求出向量在向量上的投影．‎ ‎【详解】‎ 设与的夹角是θ，‎ 因为||=6，=﹣15，所以=||||cosθ=﹣15，‎ 则||cosθ=，‎ 所以向量在向量上的投影是，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题重点考查了向量数量积的运算，以及向量投影的概念，属于中档题．‎ ‎14．若，且，则__________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】试题分析：由已知得，两边平方得，即 ‎，整理得，又，。‎ ‎【考点】同角三角函数基本关系式及二倍角公式。‎ ‎15．若方程有两解，则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 方程有两解，即y=与y=k的图象有两个交点，将两个图象画出，即得k的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵方程=k有两解，∴函数y=与y=k的图象有两个交点，‎ 在同一坐标系中画出y=与y=k的图象，如图：‎ ‎∴k的取值范围是：（0，2）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了方程根的存在问题，解题的关键是根据题意正确的画出图象，结合图象解答问题．‎ ‎16．已知，若恒成立，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用基本不等式求得的最小值，然后根据恒成立，求得m2+2m＜8，进而求得m的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎≥2=8‎ 若恒成立，则使8＞m2+2m恒成立，‎ ‎∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于基础题．‎ 三、解答题 ‎17．幂函数图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足 的的范围.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：由幂函数单调递减得，结合图象关于轴对称即为偶函数，即可求得，利用幂函数的图像即可解不等式.‎ 试题解析：‎ 在是减函数，‎ ‎，又 ‎ 当时，符合题意，‎ 当时，不符合题意，舍去，‎ ‎，借助图象得 ‎ 或 或或 综上： ‎ 点睛: 本题考查幂函数的图象和性质,属于基础题.幂函数的图象一定在第一象限内，一定不在第四象限，至于是否在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．对于函数f(x)＝xα,当时,函数在单调递减;当时,函数在单调递增;当时,函数为常函数.‎ ‎18．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：‎ 广告费用x(万元)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 销售额y(万元)‎ ‎24‎ ‎37‎ ‎49‎ ‎58‎ ‎(1) 如果x与y具有线性相关关系，求出回归直线方程； ‎ ‎(2) 预报广告费用为9万元时销售额约为多少万元？‎ ‎（注：）‎ ‎【答案】（1） ； （2）万元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用公式计算回归直线方程的系数，可得回归直线方程；‎ ‎（2）代入x=9计算y的值，可得预报销售额．‎ ‎【详解】‎ ‎(1) ；.‎ ‎ ‎ ‎(2)当时，（万元）‎ 预报广告费用为9万元时销售额约为万元.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性回归方程的求法及利用回归直线方程计算预报变量，熟练掌握最小二乘法求回归系数是解题的关键．‎ ‎19．已知函数.‎ ‎ ⑴求函数的最小正周期和单调递减区间；‎ ‎ ⑵当函数的定义域是时，求其值域.‎ ‎【答案】（1）；； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1‎ ‎）利用二倍角、辅助角公式，化简函数，即可求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；‎ ‎（2）先确定，再求函数f（x）在区间上的值域．‎ ‎【详解】‎ ‎⑴，‎ 所以 ,令，‎ 所以 ‎ 故函数的最小正周期为，‎ 函数的单调递减区间为.‎ ‎⑵由，则，所以，‎ 所以 的值域为 .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎20．已知数列的前项和为，.‎ ‎⑴求数列的通项公式；‎ ‎⑵数列满足，，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1） ； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由再写一式，两式相减，即可求数列{an}的通项公式；（2）由条件得到，进而利用错位相减法求和即可.‎ ‎【详解】‎ ‎⑴当时，‎ ‎ 当时，‎ 所以.‎ ‎⑵依题意：数列是等比数列，即.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故数列的前项和 .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的通项公式的求法，考查利用错位相减法求和，是基础题．‎ ‎21．设不等式的解集为.‎ ‎（1）如果，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎【答案】（1）； ‎ ‎（2）当时，解集是；当时，解集是；‎ 当时，解集是；当时，解集是；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对a+2分类讨论，结合二次函数的图象与性质得到实数的取值范围；‎ ‎（2）对a分类讨论，解含有参数的二次不等式》‎ ‎【详解】‎ ‎⑴，若；‎ ‎ 若 ‎ ‎ ‎ 或 ‎ 或 所以实数的取值范围是 .‎ ‎⑵若时，‎ ‎ 若时，的解集是；‎ 若时，；‎ ‎ 若时，；‎ ‎ 若时，或 ‎【点睛】‎ ‎（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函 数的图象写出不等式的解集．‎ ‎（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类．‎ ‎22．已知函数在上有定义，,当且仅当时，，且对于任意都有，‎ 试证明：①是奇函数；②在上单调递减.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）在（﹣1，1）上的奇偶性；‎ ‎（2）根据函数单调性的定义即可判断f（x）在（0，1）上的单调性.‎ ‎【详解】‎ ‎⑴由 ‎ 令 令 ‎ ‎ 所以是奇函数；‎ ‎⑵，‎ ‎ ‎ 即 又当且仅当时，‎ ‎ 所以 即，所以在上单调递减.‎ ‎【点睛】‎ 证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.‎