数学文卷·2019届北京师大附中上学期高二年级期末考试（2018-01）

数学文卷·2019届北京师大附中上学期高二年级期末考试（2018-01）

北京师大附中2017-2018学年上学期高二年级期末考试数学试卷（文科）‎ 说明：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.‎ ‎2.请将答案填写在答题纸上，考试结束后，请监考人员只将答题纸收回.‎ 一、选择题（每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的—项，请将答案填在答题纸上）‎ ‎1.已知命题：，，则¬p是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎2.关于直线a，b以及平面M，N下列命题中正确的是（ ）‎ A.若a∥M，b∥M，则a∥b B.若a∥M，b⊥a，则b⊥M C.若，且a⊥b，则a⊥M D.若a⊥M，a∥N，则M⊥N ‎3.如果命题“p或q”是真命题，“非p”是假命题，那么（ ）‎ A.命题p一定是假命题 B.命题q一定是假命题 C.命题q一定是真命题 D.命题q是真命题或者是假命题 ‎4.已知直线l1:ax+(a+1)y+1=0，l2:x+ay+2=0，则“a=-2”是“l1⊥l2”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.设函数f(x)=xsinx的导函数为f'(x)，则f'(x)等于（ ）‎ A.sinx+xcosx B.xsinx+xcosx C.xcosx-xsinx D.sinx-xcosx ‎6.已知双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7.已知点A(6,0)，抛物线C:y2=4x的焦点为F，点P在抛物线C上，若点F恰好在PA 的垂直平分线上，则PA的长度为（ ）‎ A. B. C.5 D.6‎ ‎8.已知点A(-1,1).若曲线G上存在两点B，C，使△ABC为正三角形，则称G为Γ型曲线.给定下列四条曲线：‎ ‎①y=-x+3(0≤x≤3)； ②；‎ ‎③； ④；‎ 其中，Γ型曲线的个数是（ ）‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎ ‎ 二、填空题（每小题5分，共30分，请将答案填在答题纸上）‎ ‎9.函数f(x)=ex-x-1的零点个数是________.‎ ‎10.若点P(2,2)为抛物线y2=2px上一点，则抛物线焦点坐标为________；点P到抛物线的准线的距离为________.‎ ‎11.若函数f(x)=alnx-x在区间(0,2)上单调递增，则实数a的取值范围是________.‎ ‎12.已知点F，B分别为双曲线(a>0,b>0)的焦点和虚轴端点，若线段FB的中点在双曲线C上，则双曲线C的离心率是________.‎ ‎13.如图，在三棱锥A-BCD中，，BD=2，平面ABD⊥平面BCD，O为BD中点，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且AP=CQ，则三棱锥P-QCO体积的最大值为________.‎ ‎ ‎ ‎14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-ax+a，其中a∈R.‎ ‎①f(-1)=________；‎ ‎②若f(x)的值域是R，则a的取值范围是________.‎ ‎ ‎ 三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步驟）‎ ‎15.（本小题13分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间[-3,4]上的最大值和最小值.‎ ‎16.（本小题13分）已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程是，O为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若过点A(2,0)的直线l与抛物线相交于B，C两点，求证：∠BOC=90°.‎ ‎17.（本小题14分）在Rt△ABF中，AB=2BF=4，C，E分别是AB，AF的中点（如图1）.将此三角形沿CE对折，使平面AEC⊥平面BCEF（如图2），已知D是AB的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：CD∥平面AEF；‎ ‎（Ⅱ）求：三棱锥C-EBD的体积.‎ ‎ ‎ ‎18.（本小题13分）已知函数，a∈R.‎ ‎（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点P(1,y0)处的切线平行于直线y=-x+1，求函数y=f(x)的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若a>0，且对x∈(0,2e]时，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围.‎ ‎19.（本小题14分）已知椭圆(a>b>0)的右顶点为A(2,0)，离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若经过点(1,0)直线l与椭圆C交于点E、F，且，求直线l的方程；‎ ‎（Ⅲ）过定点M(0,2)的直线l1与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）.设直线l1的斜率k>0，在x轴上是否存在点P(m,0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形.如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由；‎ ‎20.（本小题13分）已知函数f(x)=(x2-x)lnx.‎ ‎（Ⅰ）求证：1是函数f(x)的极值点：‎ ‎（Ⅱ）设g(x)是函数f(x)的导函数，求证：g(x)>-1.‎ 参考答案 ‎―、选择题（每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，请将答案填在答题纸上）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ C D D A A B B B 二、填空题（每小题5分，共30分，请将答案填在答题纸上）‎ ‎9.1； 10，； 11.a≥2‎ ‎12. ； 13. ； 14（l）-1（2）(-∞,0]∪[4,+∞)；‎ 三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15.解（1）增区间：(-∞,-2)和(-2,2)，减区间：(2,+∞).‎ 极大值：； 极小值：‎ ‎（2）最大值：， 最小值：‎ ‎16.（Ⅰ）y2=2x；（Ⅱ）∠BOC=90°‎ ‎17.（Ⅰ）略；（Ⅱ）‎ ‎18.（1）直线y=-x+1的斜率k=-1，函数y=f(x)的导数为，‎ f′(1)=-a+1=-1，即a=2.‎ ‎∴，.‎ ‎∵f(x)的定义域为(0,+∞).由f′(x)>0，得x>2；由f′(x)<0，得00，f(x)>0对x∈(0,2e]恒成立，即对x∈(0,2e]恒成立.‎ 即a>x(1-lnx)对x∈(0,2e]恒成立，‎ g(x)=x(1-lnx)=x-xlnx，x∈(0,2e]. g'(x)=l-lnx-1=-lnx，‎ 当00，g(x)为增函数，‎ 当l0)，‎ 由，得(3+4k2)x2+16kx+4=0.‎ 设C(x1,y1)，H(x2,y2)，则.‎ 可知GH的中点，由垂直可得 解得.即.由判别式知，所以.‎ 故存在满足题意的点且m的取值范围是.‎ ‎20.（Ⅰ）证明：‎ 证法1：f(x)=(x2-x)lnx的定义域为(0,+∞)‎ 由f(x)=(x2-x)lnx得 ‎，∴f′(1)=0‎ 当x>1时，(2x-1)lnx>0，x-1>0，∴f′(x)>0，故f(x)在(1,+∞)上单调递增；‎ 当时，(2x-1)lnx<0，x-1<0，∴f′(x)<0，故f(x)在上单调递减：‎ 所以1是函数f(x)的极值点.‎ 证法2：（根据极值的定义直接证明）‎ f(x)=(x2-x)lnx的定义域为(0,+∞)‎ ‎∵，∴‎ 当x>1时，x(x-l)>0，lnx>0，∴f(x)>0，即f(x)>f(1)；‎ 当00，即f(x)>f(1)；‎ 根据极值的定义，1是f(x)的极值点.‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，g(x)=(2x-1)lnx+x-1‎ 证法1：，x∈(0,+∞)，‎ 令，x∈(0,+∞)，∴，故h(x)在(0,+∞)上单调递增.‎ 又h(1)=2>0，，又h(x)在(0,+∞)上连续，‎ ‎∴使得h(x0)=0，即g′(x0)=0，‎ ‎∴.（）‎ g′(x)，g(x)随x的变化情况如下：‎ x ‎(0,x0)‎ x0‎ ‎(x0,+∞)‎ g′(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ g(x)‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎∴g(x)min=g(x0)=(2x0-1)lnx0+x0-1‎ 由（）式得，代入上式得 令，，‎ ‎，故t(x)在上单调递减.‎ ‎∴t(x)>t(1)，又t(1)=-1，∴t(x)>-1.即g(x0)>- 1 ∴g(x)>-1.‎ 证法2：g(x)=(2x-1)lnx+x-1=2xlnx-lnx+x-1，x∈(0,+∞)，‎ 令h(x)=2xlnx，t(x)=-lnx+x-1，x∈(0,+∞)，‎ h'(x)=2(lnx+1)，令h'(x)=0得·h'(x)，h(x)随x的变化情况如下：‎ x h'(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ h(x)‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎∴，即，当且仅当时取到等号.‎ ‎，令t'(x)=0得x=1. t'(x)，t(x)随x的变化情况如下：‎ x ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1,+∞)‎ t'(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ t(x)‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎∴t(x)min=t(1)=0，吉x-1-lnx≥0，当且仅当x=l时取到等号.‎ ‎∴.即g(x)>-1.‎