2016年广东省中山市华侨中学高考模拟试卷数学文

2016年广东省中山市华侨中学高考模拟试卷数学文

2016 年广东省中山市华侨中学高考模拟试卷数学文 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.设集合 M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则 M∪N=( ) A.[0，1] B.(0，1] C.[0，1) D.(-∞，1] 解析：求解一元二次方程化简 M，求解对数不等式化简 N，然后利用并集运算得答案. 由 M={x|x2=x}={0，1}， N={x|lgx≤0}=(0，1]， 得 M∪N={0，1}∪(0，1]=[0，1]. 答案：A. 2.给定函数① 1 2yx＝ ，②  1 2 1y l o g x ＝ ，③y=|x-1|，④y=2x+1，其中在区间(0，1)上单调 递减的函数序号是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 解析：本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型， 在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质； ① 是幂函数，其在(0，+∞)上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求； ②中的函数是由函数 向左平移 1 个单位长度得到的，因为原函数在(0，+∞) 内为减函数，故此项符合要求； ③中的函数图象是由函数 y=x-1 的图象保留 x 轴上方，下方图象翻折到 x 轴上方而得到的， 故由其图象可知该项符合要求； ④中的函数图象为指数函数，因其底数大于 1，故其在 R 上单调递增，不合题意. 答案：B. 3.设 a，b∈R，则“(a-b)3b2＞0”是“a＞b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：根据不等式之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. (a-b)3b2＞0 与 a＞b，b≠0，显然(a-b)3b2＞0a＞b，反之不成立，即 “(a-b)3b2＞0”是“a ＞b”的充分不必要条件. 答案：A. 4.设变量 x，y 满足约束条件 1 1 24 xy xy xy      ，则目标函数 z=3x+y 的最小值为( ) A.11 B.3 C.2 D. 13 3 解析：作出不等式对应的平面区域如图， 由 z=3x+y，得 y=-3x+z， 平移直线 y=-3x+z，由图象可知当直线 y=-3x+z，经过点 A 时，直线 y=-3x+z 的截距最小， 此时 z 最小. 由 1 24 xy xy    ＝ ＝ ，解得 5 3 2 3 x y     ＝ ＝ ，即 A( 5 3 ， 2 3 )， 此时 z 的最小值为 52133 333z  . 答案：D 5.一个袋子中有号码为 1、2、3、4、5 大小相同的 5 个小球，现从袋中任意取出一个球，取 出后不放回，然后再从袋中任取一个球，则第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数 球的概率为( ) A. 3 5 B. 4 5 C. 3 20 D. 3 10 解析：1、2、3、4、5 大小相同的 5 个小球，从袋中任取一个球，则第一次取得号码为奇数 的概率为 3 5 ， 第二次取得号码为偶数球的概率为 21 42 ， 故第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数球的概率为 3 1 3 5 2 10 . 答案：D. 6.一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为 12 58 3  ，则正视图与侧视图中 x 的值为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 解析：由三视图知， 该空间几何体为圆柱及四棱锥， 且圆柱底面半径为 2，高为 x， 四棱锥底面为正方形，边长为 22，高为 2 2325 ， 故体积为 2184 52521233x （ ） ， 故 x=3. 答案：C. 7.一个样本容量为 10 的样本数据，它们组成一个公差不为 0 的等差数列{an}，若 a3=8，且 a1，a3，a7 成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( ) A.13，12 B.13，13 C.12，13 D.13，14 解析：设公差为 d，由 a3=8，且 a1，a3，a7 成等比数列，可得 64=(8-2d)(8+4d)=64+16d-8d2， 即，0=16d-8d2，又公差不为 0，解得 d=2 此数列的各项分别为 4，6，8，10，12，14，16，18，20，22， 故样本的中位数是 13，平均数是 13. 答案：B 8.曲线 y=e-2x+1 在点(0，2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D.1 解析：根据导数的几何意义求出函数 f(x)在 x=0 处的导数，从而求出切线的斜率，再用点 斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与 y 轴和直线 y=x 的交点，根据三角形的面积公 式求出所求即可. ∵y=e-2x+1，∴y'=(-2)e-2x. ∴y'|x=0=(-2)e-2x|x=0=-2 ∴曲线 y=e-2x+1 在点(0，2)处的切线方程为 y-2=-2(x-0)即 2x+y-2=0 令 y=0 解得 x=1，令 y=x 解得 x=y= 2 3 . ∴切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为 1211233 . 答案：A 9.已知双曲线 22 221xy ab(a＞0，b＞0)与抛物线 y2=8x 有一个公共的焦点 F，且两曲线的一 个交点为 P，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为( ) A.x± 3 y=0 B. 3 x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0 解析：由于双曲线 22 221xy ab(a＞0，b＞0)与抛物线 y2=8x 有一个公共的焦点 F，且抛物线 y2=8x 的焦点坐标(2，0)， 故双曲线的半焦距 c=2，又|PF|=5，设 P(m，n)， 由抛物线的定义知|PF|=m+2， ∴m+2=5，m=3， ∴点 P 的坐标(3， 24 ). ∴ 22 22 4 9 2 4 1 ab ab    ＝ ＝ ，解得： 2 2 1 3 a b   ＝ ＝ ， 则双曲线的渐近线方程为 30xy ＝ . 答案：B. 10.若[x]表示不超过 x 的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出的 S 值为( ) A.4 B.5 C.7 D.9 解析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，求出该程序运行后输出的 S 的值. 模拟程序框图的运行过程，如下； S=0，n=0，S=0+[ 0 ]=0，0＞4，否； n=1，S=0+[ 1 ]=1，1＞4，否； n=2，S=1+[ 2 ]=2，2＞4，否； n=3，S=2+[ 3 ]=3，3＞4，否； n=4，S=3+[ 4 ]=5，4＞4，否； n=5，S=5+[ 5 ]=7，5＞4，是； 输出 S=7. 答案：C. 11.已知 S，A，B，C 是球 O 表面上的点，SA⊥平面 ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC＝ 2 ，则球 O 的表面积等于( ) A.4π B.3π C.2π D.π 解析：∵已知 S，A，B，C 是球 O 表面上的点， ∴OA=OB=OC=OS. 又 SA⊥平面 ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC＝ 2 ， ∴球 O 的直径为 2R=SC=2，R=1， ∴表面积为 4πR2=4π. 答案：A. 12.若函数   sinxfx x ，并且 2 33ab＜ ＜ ＜ ，则下列各结论中正确的是( ) A.     2 abf afabf   ＜ ＜ B.    2 abf ab f f b  ＜ ＜ C.    2 abfabff a   ＜ ＜ D.    2 abf b f f ab    ＜ ＜ 解析：由导数可判断   sinxfx x 在 3( 2 3 ) , 上是减函数，再由基本不等式可判断出 2 abab ＜ ，从而由函数的单调性比较函数值的大小即可. ∵ ， ∴   2 xcosx sinxfx x  ， 当 x∈ 2( 3 ] ， 时，可判断 xcosx-sinx 是减函数， 故 3 2 1 032xcosxsinx ＜ ＜ ， 当 x∈ 时，xcosx-sinx＜0； 故 在 是减函数， 而由 2 33ab＜ ＜ ＜ 知 2 abaabb ＜ ＜ ＜ ， 故     2 abfafabf   ＞ ＞ ，    2 abfbffab     ＜ ＜ . 答案：D. 二、填空题：本大概题共 4 小题，每小题 5 分. 13.数列{an}的首项为 3，{bn}为等差数列且 bn=an+1-an(n∈N*).若 b3=-2，b10=12，则 a8= . 解析：先利用等差数列的通项公式分别表示出 b3 和 b10，即 b3=b1+2d＝-2，b10=b1+9d＝12，即 1 1 22 912 bd bd    ＝ ＝ ，解得 1 6 2 b d    . ∵bn=an+1-an， ∴b1+b2+…+bn=an+1-a1， ∴a8=b1+b2+…+b7+3=  667 2  +3=3. 答案：3 14.已知向量 a ＝(x-1，2)，b ＝(4，y)，若 ab ，则 16x+4y 的最小值为 . 解析：根据向量垂直的充要条件：数量积为 0，得到 x，y 满足的等式： ∵ ab ， a ＝(x-1，2)， b ＝(4，y) ∴4(x-1)+2y=0 即 4x+2y=4 ∵ 424241642222228xyxyxy ＝ ＝ ＝ . 当且仅当 24x=22y 即 4x=2y=2 时取等号. ∴16x+4y 的最小值为 8. 答案：8 15.已知直线 2 xy  与双曲线 22 221xy ab ＝ (a＞0，b＞0)交于两点，则该双曲线的离心率的取 值范围是 . 解析：把直线 代入双曲线 (a＞0，b＞0)， 并整理，得 22 2 22 4 4 abx ba ＝ ， ∵直线 与双曲线 (a＞0，b＞0)交于两点， ∴4b2＞a2，即 2 2 4 ab ＞ ， ∴ 22 2222 5 44 aacaba ＞ ， ∴ 5 2ca＞ ， ∴ 5 2 ce a ＝ ＞ . ∴该双曲线的离心率的取值范围( 5 2 ，+∞). 答案：( ，+∞). 16.如图甲，在△ABC 中，AB⊥AC，AD⊥BC，D 为.垂足，则 AB2=BD·BC，该结论称为射影定 理.如图乙，在三棱锥 A-BCD 中，AD⊥平面 ABC，AO⊥平面 BCD，O 为垂足，且 O 在△BCD 内， 类比射影定理，探究 S△ABC、S△BCO、S△BCD 这三者之间满足的关系是 . 解析：结论：S△ABC 2＝S△BCO·S△BCD. 证明如下 在△BCD 内，延长 DO 交 BC 于 E，连接 AE， ∵AD⊥平面ABC，BC 平面ABC， ∴BC⊥AD， 同理可得：BC⊥AO ∵AD、AO 是平面 AOD 内的相交直线， ∴BC⊥平面 AOD ∵AE、DE  平面 AOD ∴AE⊥BC 且 DE⊥BC ∵△AED 中，EA⊥AD，AO⊥DE ∴根据题中的已知结论，得 AE2=EO·ED 两边都乘以( 1 2 BC)2，得 2()(111 · · · ·22) ()2BC AEBC EOBC ED ∵AE、EO、ED 分别是△ABC、△BCO、△BCD 的边 BC 的高线 ∴S△ABC= 1 2 BC·AE，S△BCO = BC·EO，S△BCD= BC·ED 所以有 S△ABC 2＝S△BCO·S△BCD，结论成立. 答案：S△ABC 2＝S△BCO·S△BCD. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知向量 m =(sinx，-1)， n =(cosx，3). (Ⅰ)当 ∥ 时，求 32 sinx cosx sinx cosx   的值. 解析：(Ⅰ)由 mn，可得 1 3tanx  ，再由 1 3 2 3 2 sinx cosx tanx sinx cosx tanx  ，运算求得结果.  答案：(Ⅰ)由 mn，可得 3sinx=-cosx，于是 1 3tanx  . ∴ 1 1123 132329 323 sinxcosxtanx sinxcosxtanx      . (Ⅱ)已知在锐角△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边， 3 c=2asin(A+B)，函数    f x m n m ，求 ()8fB  的取值范围. 解析：(Ⅱ)在△ABC 中，由 c=2asin(A+B)利用正弦定理求得 sinA 3 2 ，可解得 A= 3  . 由△ABC 为 锐 角 三 角 形 ， 得 62B＜ ＜ ， 利 用 两 个 向 量 的 数 量 积 公 式 求 得 函 数   2 2 32 42fxsinx    .由此可得 2()2 3282fBsinB ，再根据 B 的范围求出 sin2B 的范围，即可求得 ()8fB  的取值范围. 答案：(Ⅱ)∵在△ABC 中，A+B=π-C，于是 sin(A+B)=sinC， 由 c=2asin(A+B)利用正弦定理得： sinC=2sinAsinC， ∴sinA ，可解得 A= . 又△ABC 为锐角三角形，于是 ， ∵函数     22() 2)1(f xm n msinx cosxsinxsin x sinxcosx ， ， 21223 22222 2 4 cos xsin x sinx     . ∴ 332288 22()[ ()] 224 22f Bsin Bsin B      . 由 得 23 B ＜ ＜ ， ∴ 0 ＜ sin2B ≤ 1 ，得 22 2222 3 3 32 2sin B   ＜ ，即 ()8fB  的 取 值 范 围 233 2(]2 2， . 18.某班同学利用寒假在 5 个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调 查，以计算每户的碳月排放量.若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低 碳族”.若小区内有至少 75%的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称 为“非低碳小区”.已知备选的 5 个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区. (Ⅰ)求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率. 解析：(Ⅰ)从 5 个小区中任选两个小区，列出所有可能的结果，然后找出选出的两个小区恰 有一个为非低碳小区的基本事件，根据古典概型的概率公式解之即可. 答案：(Ⅰ)设三个“非低碳小区”为 A，B，C，两个“低碳小区”为 m，n， 用(x，y)表示选定的两个小区，x，y∈{A，B，C，m，n}， 则从 5 个小区中任选两个小区，所有可能的结果有 10 个，它们是(A，B)，(A，C)，(A，m)， (A，n)，(B，C)，(B，m)，(B，n)，(C，m)，(C，n)，(m，n). 用 D 表示：“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件，则 D 中的结果有 6 个，它 们是：(A，m)，(A，n)，(B，m)，(B，n)，(C，m)，(C，n). 故所求概率为   63 105PD＝ ＝ . (Ⅱ)假定选择的“非低碳小区”为小区 A，调查显示其“低碳族”的比例为 1 2 ，数据如图 1 所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图 2 所示，问这时小 区 A 是否达到“低碳小区”的标准？ 解析：(Ⅱ)根据图 1 可知月碳排放量不超过 300 千克的成为“低碳族”，由图 2 可求出三个 月后的低碳族的比例，从而可判定三个月后小区 A 是否达到了“低碳小区”标准. 答案：(Ⅱ)由图 1 可知月碳排放量不超过 300 千克的成为“低碳族”. 由图 2 可知，三个月后的低碳族的比例为 0.07+0.23+0.46=0.76＞0.75， 所以三个月后小区 A 达到了“低碳小区”标准. 19.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PD⊥底面 ABCD，E 是 AB 上一点.已知 PD= 2 ，CD=4，AD= 3 . (Ⅰ)若∠ADE= 6  ，求证：CE⊥平面 PDE. 解析：(Ⅰ)在 Rt△DAE 中，求出 BE=3.在 Rt△EBC 中，求出∠CEB= .证明 CE⊥DE.PD⊥CE. 即可证明 CE⊥平面 PDE. 答案：(Ⅰ)在 Rt△DAE 中，AD= 3 ，∠ADE= ， ∴ 3 331AEAD tanADE . 又 AB=CD=4，∴BE=3. 在 Rt△EBC 中，BC=AD= 3 ，∴ 3 3 BCtanCEB BE ，∴ 6CEB . 又 3AED ，∴ 2DEC ，即 CE⊥DE. ∵PD⊥底面 ABCD，CE  底面 ABCD， ∴PD⊥CE. ∴CE⊥平面 PDE. (Ⅱ)当点 A 到平面 PDE 的距离为 2 21 7 时，求三棱锥 A-PDE 的侧面积. 解析：(Ⅱ)证明平面 PDE⊥平面 ABCD.过 A 作 AF⊥DE 于 F，求出 AF.证明 BA⊥平面 PAD，BA ⊥PA.然后求出三棱锥 A-PDE 的侧面积 32 6 5S 侧 . 答案：(Ⅱ)∵PD⊥底面 ABCD，PD  平面 PDE， ∴平面 PDE⊥平面 ABCD. 如图，过 A 作 AF⊥DE 于 F， ∴AF⊥平面 PDE， ∴AF 就是点 A 到平面 PDE 的距离，即 2 2 1 7AF  . 在 Rt△DAE 中，由 AD·AE=AF·DE，得 2221337AEAE，解得 AE=2. ∴ 1132 6222APDSPDAD ， 1132322ADESAD AE ， ∵BA⊥AD，BA⊥PD，∴BA⊥平面 PAD， ∵PA  平面 PAD，∴BA⊥PA. 在 Rt△PAE 中，AE=2， 222 53PAPDAD ， ∴ 1122 52 5APES PA AE     . ∴三棱锥 A-PDE 的侧面积 32 6 5S   侧 . 20.已知 F1，F2 是椭圆 22 221xy ab(a＞b＞0)的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的 一点， 2 1 2 0AF F F＝ ，若椭圆的离心率等于 2 2 . (Ⅰ)求直线 AO 的方程(O 为坐标原点). 解析：(Ⅰ)根据椭圆的离心率 e= ，即 c＝ a，可得 b2＝ 1 2 a2，因此设椭圆方程为 x2+2y2=a2.再设点 A(x0，y0)，因为向量 2AF 、 12FF 的数量积为 0，得到 AF2、F1F2 互相垂直， 所以 x0=c，将 A(c，y0)，代入椭圆方程，化简可得 y0＝ 1 2 a，得到 A 的坐标，从而得到直线 AO 的斜率为 2 2 ，最后根据直线 AO 过原点，得直线 AO 的方程为 y= x. 答案：(Ⅰ)∵ 212 0A F F F ＝ ，∴AF2⊥F1F2， 又∵椭圆的离心率 2 2 ce a ， ∴c＝ a，可得 b2＝ a2， 设椭圆方程为 x2+2y2=a2，设 A(x0，y0)，由 AF2⊥F1F2，得 x0=c ∴A(c，y0)，代入椭圆方程，化简可得 y0＝ 1 2 a(舍负) ∴ 2 22 aaA   ， ，可得直线 AO 的斜率 KOA＝ 因为直线 AO 过原点，故直线 AO 的方程为 2 2yx (Ⅱ)直线 AO 交椭圆于点 B，若△ABF2 的面积等于 42，求椭圆的方程. 解析：(Ⅱ)连接 AF1，BF1，AF2，BF2，由椭圆的对称性可知：S△ABF1=S△ABF2=S△AF1F2，可用△AF1F2 的面积列式，解之得 a2=16，c2= a2=8，所以 b2=a2-c2=8，最终得到椭圆方程为 22 116 8 xy ＝ . 答案：(Ⅱ)连接 AF1，BF1，AF2，BF2， 由椭圆的对称性可知：S△ABF1=S△ABF2=S△AF1F2， ∴ 12 1 242 2AF F AS c y    ，即 1 2 24ac  又∵ 2 2ca＝ ∴ 22 44 2a  ，解之得 a2=16，c2= a2=8， ∴b2=a2-c2=8，故椭圆方程为 22 116 8 xy ＝ 21.已知函数   321 232 afxxxx (a∈R). (Ⅰ)当 a=3 时，求函数 f(x)的单调区间. 解析：(Ⅰ)先求当 a=3 时函数的导数 f′(x)，并将其因式分解，便于解不等式，再由 f′(x) ＞0，得函数的单调增区间，由 f′(x)＜0，得函数的单调减区间. 答案：(Ⅰ)当 a=3 时，   3213232f x x x x    ，得 f'(x)=-x2+3x-2. 因为 f'(x)=-x2+3x-2=-(x-1)(x-2)， 所以当 1＜x＜2 时，f'(x)＞0，函数 f(x)单调递增； 当 x＜1 或 x＞2 时，f'(x)＜0，函数 f(x)单调递减. 所以函数 f(x)的单调递增区间为(1，2)，单调递减区间为(-∞，1)和(2，+∞). (Ⅱ)若对于任意 x∈[1，+∞)都有 f′(x)＜2(a-1)成立，求实数 a 的取值范围. 解析：(Ⅱ)方法 1：由 ，得 f'(x)=-x2+ax-2，原问题转化为：对 于任意 x∈[1，+∞)都有 x2-ax+2a＞0 成立，令 h(x)=x2-ax+2a，结合二次函数的性质得到关 于 a 的不等关系，从而求出实数 a 的取值范围. 方法 2：由 ，得 f'(x)=-x2+ax-2，问题转化为，对于任意 x∈[1， +∞)都有[f'(x)]max＜2(a-1).下面利用导数工具研究其单调性和最大值，即可得出实数 a 的 取值范围. 答案：(Ⅱ)方法 1：由 ，得 f'(x)=-x2+ax-2， 因为对于任意 x∈[1，+∞)都有 f'(x)＜2(a-1)成立， 即对于任意 x∈[1，+∞)都有-x2+ax-2＜2(a-1)成立， 即对于任意 x∈[1，+∞)都有 x2-ax+2a＞0 成立， 令 h(x)=x2-ax+2a， 要使对任意 x∈[1，+∞)都有 h(x)＞0 成立， 必须满足△＜0 或   0 12 10 a h      ＞ . 即 a2-8a＜0 或 2 80 12 10 aa a a       ＞ . 所以实数 a 的取值范围为(-1，8). 方法 2：由 ，得 f'(x)=-x2+ax-2， 因为对于任意 x∈[1，+∞)都有 f'(x)＜2(a-1)成立， 所以问题转化为，对于任意 x∈[1，+∞)都有[f'(x)]max＜2(a-1). 因为   2 2 224 aafxx    ＝ ，其图象开口向下，对称轴为 2 ax＝ . ① 2 a ＜1 时，即 a＜2 时，f'(x)在[1，+∞)上单调递减， 所以 f'(x)max=f'(1)=a-3， 由 a-3＜2(a-1)，得 a＞-1，此时-1＜a＜2. ②当 2 a ≥1 时，即 a≥2 时，f'(x)在[1， 2 a ]上单调递增，在( 2 a ，+∞)上单调递减， 所以   2 224max aafxf     ＝ ＝ ， 由 2 24 a  ＜2(a-1)，得 0＜a＜8，此时 2≤a＜8. 综上①②可得，实数 a 的取值范围为(-1，8). (Ⅲ)若过点(0， 1 3 )可作函数 y=f(x)图象的三条不同切线，求实数 a 的取值范围. 解析：(Ⅲ)先将过点(0， )可作曲线 y=f(x)的三条切线转化为：方程 32211 0323tat＝ 有三个不同的实数解，下面利用导数研究函数 g(x)的零点，从而求得 a 的范围. 答案：(Ⅲ)设点 P(t， 321 232 attt )是函数 y=f(x)图象上的切点， 则过点 P 的切线的斜率为 k=f'(t)=-t2+at-2， 所以过点 P 的切线方程为   3 2 21 2232 ay t t t t at x t      ＝ . 因为点(0， 1 3 )在切线上， 所以   3 2 211 2 2 03 3 2 at t t t at t       ＝ ， 即 32211 0323tat＝ . 若过点(0， )可作函数 y=f(x)图象的三条不同切线， 则方程 有三个不同的实数解. 令   322 1 1 3 2 3g t t at＝ ，则函数 y=g(t)与 t 轴有三个不同的交点. 令 g'(t)=2t2-at=0，解得 t=0 或 t＝ 2 a . 因为   10 3g ＝ ， 311 2 24 3 aga  ＝ ， 所以必须 31102243 aga  ＝ ＜ ，即 a＞2. 所以实数 a 的取值范围为(2，+∞). 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则安所做的第一题计分.作答时请写 清题号.[选修 4-1：几何证明选讲] 22.如图，△ABC 是直角三角形，∠ABC=90°，以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E，点 D 是 BC 边的中点，连接 OD 交圆 O 于点 M. (Ⅰ)求证：O、B、D、E 四点共圆. 解析：(Ⅰ)连接 BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到 BE⊥EC，从而得出 DE=BD= 1 2 BC， 由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到 O、B、 D、E 四点共圆. 答案：(Ⅰ)连接 BE、OE， 则∵AB 为圆 0 的直径，∴∠AEB=90°，得 BE⊥EC， 又∵D 是 BC 的中点， ∴ED 是 Rt△BEC 的中线，可得 DE=BD. 又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB. 可得∠OED=∠OBD=90°， 因此，O、B、D、E 四点共圆. (Ⅱ)求证：2DE2=DM·AC+DM·AB. 解析：(Ⅱ)延长 DO 交圆 O 于点 H，由 (Ⅰ)的结论证出 DE 为圆 O 的切线，从而得出 DE2=DM·DH， 再将 DH 分解为 DO+OH，并利用 OH= 1 2 AB 和 DO= 1 2 AC，化简即可得到等式 2DE2=DM·AC+DM·AB 成立. 答案：(Ⅱ)延长 DO 交圆 O 于点 H， ∵DE⊥OE，OE 是半径，∴DE 为圆 O 的切线. 可得 DE2=DM·DH=DM·(DO+OH)=DM·DO+DM·OH. ∵OH= 1 2 AB，OD 为△ABC 的中位线，得 DO= AC， ∴DE2＝DM·( AC)+DM·( AB)，化简得 2DE2=DM·AC+DM·AB. [选修 4-4：坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 5 2 3 2 2 2 xt yt     ＝ ＝ (t 为参数)，在极坐标系(与 直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，圆 C 的 方程为ρ＝2 5 sinθ. (Ⅰ)求圆 C 的圆心到直线 l 的距离. 解析：(Ⅰ)圆 C 的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标公式进行化简就可求出直角坐标方程， 最后再利用三角函数公式化成参数方程. 答案：(Ⅰ)由ρ＝2 sinθ，可得 22 520xyy ＝ ，即圆 C 的方程为   22 55xy ＝ . 由 可得直线 l 的方程为 5 30xy  ＝ . 所以，圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 0355 2 2 3 2   ＝ . (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B.若点 P 的坐标为(3， )，求|PA|+|PB|. 解析：(Ⅱ)将直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得即 t2-3 2 t+4＝0，根据两交 点 A，B 所对应的参数分别为 t1，t2，利用根与系数的关系结合参数的几何意义即得. 答案： (Ⅱ)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得 22 3522 22tt  ＝ ，即 2 3 4 02tt＝ . 由于  2 3 4 42 20   ＝ ＞ .故可设 t1、t2 是上述方程的两个实根， 所以 12 12 4 23tt tt    ＝ ＝ ，又直线 l 过点 P(3， 5 )， 故由上式及 t 的几何意义得|PA|+|PB|＝|t1|+|t2|＝t1+t2＝3 2 . [选修 4-5：不等式证明选讲] 24.已知函数 f(x)=|x-1|+|x+1|. (Ⅰ)求不等式 f(x)≥3 的解集. 解析：(Ⅰ)分类讨论，去掉绝对值，即可求不等式 f(x)≥3 的解集. 答案：(Ⅰ)x＜-1 时，不等式可化为 1-x-x-1≥3，∴x≤ 3 2 ； -1≤x≤1 时，不等式可化为 1-x+x+1≥3，不成立； x＞1 时，不等式可化为 x-1+x+1≥3，∴x≥ 3 2 ； ∴不等式 f(x)≥3 的解集为{x|x≤ 或 x≥ }. (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f(x)＞a2-x2+2x 在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围. 解析：(Ⅱ)分类讨论，去掉绝对值，利用不等式 f(x)＞a2-x2+2x 在 R 上恒成立，即可求实数 a 的取值范围. 答案：(Ⅱ)x＜-1 时，不等式 f(x)＞a2-x2+2x 可化为 a2＜(x-2)2-4，∴ a2＜5，∴ 55a ＜ ＜ ； -1≤x≤1 时，不等式 f(x)＞a2-x2+2x 可化为 a2＜(x-1)2+1，∴a2＜1，∴-1＜a＜1； x＞1 时，不等式 f(x)＞a2-x2+2x 可化为 a2＜x2，∴a2＜1，∴-1＜a＜1， ∴ .