2020届二轮复习函数的单调性课件（69张）（全国通用）
【
知识梳理
】
1.
增函数、减函数
定义
:
在函数
y=f(x)
的定义域内某个区间
A
上的任意两个自变量
x
1
,x
2
:
(1)
增函数
:
当
x
1
f(x
2
)
2.
单调性
若函数
y=f(x)
在定义域的某个子集上是
_______
或
_______,
则称函数
y=f(x)
在这个子集上具有单调性
.
增加的
减少的
3.
函数的最值
前提
设函数
y=f(x)
的定义域为
D,
如果存在实数
M
满足
条件
(1)
对于任意
x∈D,
都有
________;
(2)
存在
x
0
∈D,
使得
_______.
(3)
对于任意
x∈D,
都有
________;
(4)
存在
x
0
∈D,
使得
_______.
结论
M
为最大值
M
为最小值
f(x)≤M
f(x
0
)=M
f(x)≥M
f(x
0
)=M
【
常用结论
】
函数单调性的常用结论
(1)
对∀
x
1
,x
2
∈D(x
1
≠x
2
),
>0⇔f(x)
在
D
上是
增加的
,
<0⇔f(x)
在
D
上是减少的
.
(2)
对勾函数
y=x+
(a>0)
在
(-∞,-
]
和
[
,+∞)
上是增加的
,
在
[-
,0)
和
(0,
]
上是减少的
.
(3)
在区间
D
上
,
两个增函数的和仍是增函数
,
两个减函
数的和仍是减函数
.
(4)
函数
f(g(x))
的单调性与函数
y=f(u)
和
u=g(x)
的单
调性的关系是“同增异减”
.
【
基础自测
】
题组一
:
走出误区
1.
判断正误
(
正确的打“√”
,
错误的打“
×”)
(1)
若定义在
R
上的函数
f(x),
有
f(-1)f(x
2
),
而不是区间上的两个特殊值
.
(2)×.
单调区间是定义域的子区间
,
如
y=x
在
[1,+∞)
上是增加的
,
但它的递增区间是
R,
而不是
[1,+∞).
(3)×.
多个单调区间不能用
“
∪
”
符号连接
,
而应用
“
,
”
或
“
和
”
连接
.
(4)√.
由单调性的定义可知是正确的
.
2.
若函数
f(x)=|2x+a|
在
[3,+∞)
是增加的
,
则
a
的值为
________.
【
解析
】
由图像
(
图略
)
易知函数
f(x)=|2x+a|
在
上是增加的
,
令
=3,
得
a=-6.
答案
:
-6
3.
函数
f(x)=
的最大值为
________.
【
解析
】
当
x≥1
时
,
函数
f(x)=
为减少的
,
所以
f(x)
在
x=1
处取得最大值
,
为
f(1)=1;
当
x<1
时
,
易知函数
f(x)=-x
2
+2
在
x=0
处取得最大值
,
为
f(0)=2.
故函数
f(x)
的最大值为
2.
答案
:
2
题组二
:
走进教材
1.(
必修
1·P39·
练习
·T2
改编
)
函数
y=
在
[2,3]
上的最小值为
(
)
A.2 B.
C.
D.-
【
解析
】
选
B.
因为
y=
在
[2,3]
上是减少的
,
所以
y
min
=
2.(
必修
1·P58·T1
改编
)
若函数
y=x
2
-2ax+1
在
(-∞,2]
上是减少的
,
则实数
a
的取值范围是
(
)
A.(-∞,-2] B.[-2,+∞)
C.[2,+∞) D.(-∞,2]
【
解析
】
选
C.
函数
y=x
2
-2ax+1
图像的对称轴为
x=a,
要使该函数在
(-
∞
,2]
上是减少的
,
需
a≥2.
3.(
必修
1·P56·T8
改编
)
设定义在
[-1,7]
上的函数
y=f(x)
的图像如图所示
,
则函数
y=f(x)
的增区间为
________.
【
解析
】
由图可得
,x∈[-1,1]
时从左向右图像上升
, x∈[1,5]
时从左向右图像下降
.x∈[5,7]
时
,
从左向右图像上升
.
所以函数
f(x)
的增区间为
[-1,1],[5,7].
答案
:
[-1,1],[5,7]
考点一 函数的单调性
(
区间
)
【
题组练透
】
1.f(x)=
在
(
)
A.(-∞,1)∪(1,+∞)
上是增加的
B.(-∞,1)∪(1,+∞)
上是减少的
C.(-∞,1)
和
(1,+∞)
上是增加的
D.(-∞,1)
和
(1,+∞)
上是减少的
【
解析
】
选
C.f(x)
的定义域为
{x|x≠1}.
又
f(x)=
= -1,
根据函数
y=-
的单调性及有关性质
,
可知
f(x)
在
(-
∞
,1)
和
(1,+
∞
)
上是增加的
.
2.
下列函数中
,
满足“∀
x
1
,x
2
∈(0,+∞)
且
x
1
≠x
2
,
(x
1
-x
2
)·[f(x
1
)-f(x
2
)]<0”
的是
(
)
A.f(x)=2
x
B.f(x)=|x-1|
C.f(x)=
-x D.f(x)=ln(x+1)
【
解析
】
选
C.
由
(x
1
-x
2
)·[f(x
1
)-f(x
2
)]<0
可知
,f(x)
在
(0,+
∞
)
上是减少的
,A
、
D
选项中
,f(x)
为增函数
;B
中
,f(x)=|x-1|
在
(0,+
∞
)
上不单调
,
对于
f(x)= -x,
因为
y=
与
y=-x
在
(0,+
∞
)
上是减少的
,
因此
f(x)
在
(0,+
∞
)
上是减少的
.
3.
函数
y=f(x)(x∈R)
的图像如图所示
,
则函数
g(x)=f(log
a
x)(00,20,
从而
f(x
2
)-f(x
1
)>0,
即
f(x
2
)>f(x
1
),
故当
a∈(1,3)
时
,f(x)
在
[1,2]
上是增加的
.
方法二
:(
导数法
)
因为
f′(x)=2ax-
因为
1≤x≤2,
所以
1≤x
3
≤8,
又
10,
所以
f′(x)>0,
所以函数
f(x)=ax
2
+ (
其中
10,x>0),
若
f(x)
在
上的值域为
,
则
a=________.
世纪金榜导学号
【
解析
】
(1)
方法一
:(
换元法
)
令
t= ,
且
t≥0,
则
x=t
2
+1,
所以原函数变为
y=t
2
+1+t,t≥0.
配方得
又因为
t≥0,
所以
y≥ + =1.
故函数
y=x+
的最小值为
1.
方法二
:
因为函数
y=x
和
y=
在定义域内均为增加的
,
故函数
y=x+
在其定义域
[1,+∞)
内为增加的
,
所以当
x=1
时
y
取最小值
,
即
y
min
=1.
答案
:
1
故函数的值域为
答案
:
(3)
由反比例函数的性质知函数
f(x)=
(a>0,x>0)
在 上是增加的
,
所以
答案
:
【
误区警示
】
利用换元法解题时易漏掉求新换元的范围而将所求值域扩大致错
.
【
规律方法
】
求函数最值的常用方法
(1)
单调性法
:
先确定函数的单调性
,
再由单调性求最值
.
(2)
图像法
:
先作出函数的图像
,
再观察其最高点、最低点
,
求出最值
.
(3)
换元法
:
对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数
,
再用相应的方法求最值
.
(4)
分离常数法
:
对于分式的分子、分母中都含有变量的求值域
,
变成只有分子或分母有变量的情况
,
再利用函数的观点求值域
.
【
对点训练
】
1.
已知函数
f(x)=
则
f(x)
的最小值是
________.
【
解析
】
当
x≤1
时
,f(x)
min
=0,
当
x>1
时
,f(x)
min
=2 -6,
当且仅当
x=
时取到最小值
,
又
2 -6<0,
所以
f(x)
min
=2 -6.
答案
:
2
-6
2.
函数
y=|x+1|+|x-2|
的值域为
________.
【
解析
】
函数
y=
作出函数的图像如图
所示
.
根据图像可知
,
函数
y=|x+1|+|x-2|
的
值域为
[3,+∞).
答案
:
[3,+∞)
3.
函数
y=
的值域为
________.
【
解析
】
因为 ≠
0,
所以
3+ ≠3,
所以函数
y=
的值域为
{y|y∈R
且
y≠3}.
答案
:
{y|y∈R
且
y≠3}
考点三 函数单调性的应用
【
明考点
·
知考法
】
函数单调性的应用多以选择题或填空题的形式呈现
,
试题难度一般较大
.
命题角度
1
比较大小问题
【
典例
】
已知函数
f(x)
的图像关于直线
x=1
对称
,
当
x
2
>
x
1
>1
时
,[f(x
2
)-f(x
1
)](x
2
-x
1
)<0
恒成立
,
设
a=
,
b=f(2),c=f(e),
则
a,b,c
的大小关系为
世纪金榜导学号
(
)
A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c
【
尝试解答
】
选
D.
因为
f(x)
的图像关于直线
x=1
对称
.
由此可得
由
x
2
>x
1
>1
时
,[f(x
2
)-f(x
1
)](x
2
-x
1
)<0
恒成立
,
知
f(x)
在
(1,+∞)
上是减少的
.
因为
1<2<
>f(e),
所以
b>a>c.
【
状元笔记
】
比较函数值大小的方法
:
将自变量转化到同一个单调区间内
,
然后利用函数的单调性解决
.
命题角度
2
解函数不等式问题
【
典例
】
f(x)
是定义在
(0,+∞)
上的单调增函数
,
满足
f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,
当
f(x)+f(x-8)≤2
时
,x
的取值范围是 世纪金榜导学号
(
)
A.(8,+∞) B.(8,9]
C.[8,9] D.(0,8)
【
解析
】
选
B.2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),
由
f(x)+f(x-8)
≤2,
可得
f[x(x-8)]≤f(9),
因为
f(x)
是定义在
(0,+∞)
上的增函数
,
所以有 解得
80
的解集为
______.
【
解析
】
因为
y=f(x)
是定义在
R
上的奇函数
,
且
y=f(x)
在
(0,+∞)
上是增加的
.
所以
y=f(x)
在
(-∞,0)
上也是增加的
,
由
f =0,
知
f =-f =0.
故原不等式
>0
可化为
>f
或
f <
或
- < <0,
解得
0f(h(x))
的形式
,
再根据函数的单调性去掉“
f”,
得到一般的不等式
g(x)>h(x)(
或
g(x)0,
那么实数
m
的取值范围是
(
)
【
解析
】
选
A.
因为
f(x)
是定义域为
(-1,1)
的奇函数
,
所以
-10
可转化为
f(m-2)>-f(2m-3),
所以
f(m-2)>f(-2m+3),
所以 所以
1
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